2023-2024學年湖南省常德市第一中學高一上學期10月月考數(shù)學試題含答案

2023-2024學年湖南省常德市第一中學高一上學期10月月考數(shù)學試題 一、單選題 1．設(shè)全集，集合，，則（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用補集和并集的概念計算即可. 【詳解】∵全集，集合，， ∴， ∴． 故選：D． 2．命題“，”的否定得（????） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】將“”改為“”，只否定結(jié)論. 【詳解】命題“，”的否定是“，”. 故選：A． 3．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【詳解】試題分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要條件． 解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”， “x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”． ∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要條件． 故選A． 點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的應用，解題時要注意基本不等式的合理運用． 4．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的左邊，即可得到答案； 【詳解】由題意得：， 故選：C 5．若實數(shù)、、滿足,則下列不等式正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用取特殊值的方法和差比的比較法即可選出正確答案. 【詳解】選項A：當時,顯然滿足,但是,顯然不成立； 選項B：,因為, 所以,故本結(jié)論成立； 選項C：當時,顯然不成立； 選項D：當時,不等式能成立,但是此時不成立. 故選B 【點睛】本題考查了利用已知不等式判斷有關(guān)不等式是否成立問題,利用特殊值法、差比的比較法、不等式的性質(zhì)是解決這類問題的常用方法. 6．已知，，且，則的最小值為（????） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】B 【解析】利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開利用基本不等式求解． 【詳解】，，又，且， ， 當且僅當，解得，時等號成立， 故的最小值為10． 故選：B． 【點睛】本題考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙運用，難度一般，靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵. 7．若，，定義且，則（????） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分別解不等式，根據(jù)的定義直接計算即可. 【詳解】由已知，， 則， 故或， 故選：B. 8．，，若對任意的，存在，使，則a的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分別求出兩個函數(shù)在上的值域，然后由條件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解. 【詳解】函數(shù)， 因為，所以在的值域為， 函數(shù)在的值域為， 因為對任意的，存在，使， 所以， 所以，解得． 故選：A． 二、多選題 9．集合，則下列關(guān)系錯誤的是（???? ） A． B． C． D．? 【答案】AB 【分析】先將集合M，N進行化簡，然后根據(jù)元素的關(guān)系判斷集合的關(guān)系． 【詳解】 時，表示所有奇數(shù)，表示所有整數(shù)， 所以且?，所以CD正確. 故選：AB 10．已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（????） A．的定義域為R B．的值域為 C．若，則x的值是 D．的解集為 【答案】BC 【分析】求出分段函數(shù)的定義域可判斷A；求出分段函數(shù)的值域可判斷B；分、兩種情況令求出可判斷C；分、兩種情況解不等式可判斷D. 【詳解】函數(shù)的定義域是，故A錯誤； 當時，，值域為，當時，，值域為，故的值域為，故B正確； 當時，令，無解，當時，令，得到，故C正確； 當時，令，解得，當時，令，解得，故的解集為，故D錯誤． 故選：BC． 11．若不等式的解集為，則下列說法正確的是（????） A． B． C．關(guān)于的不等式解集為 D．關(guān)于的不等式解集為 【答案】ABD 【分析】先由題意及根與系數(shù)的關(guān)系得到，，即可判斷A、B；對于C、D：把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解. 【詳解】因為不等式的解集為， 所以，故，此時，所以A正確, B正確； ，解得：或.所以D正確；C錯誤. 故選：ABD 12．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則關(guān)于函數(shù)和的敘述中正確的是（????） A． B．函數(shù)的值域為 C．方程的解集為R D．若，則 【答案】ACD 【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義結(jié)合選項逐項分析即可得出結(jié)果. 【詳解】根據(jù)高斯函數(shù)的定義：對于A，顯然正確； 對于B，因為，函數(shù)的值域為[0，1），所以B錯誤； 對于C，因為函數(shù)的值城為[0，1），所以對任意的x，方程的解集為R.所以C正確； 對于D，∵.∴，即，所以D正確. 故選：ACD. 三、填空題 13．設(shè)函數(shù)，則 . 【答案】 【解析】先求出，再求出的值即可 【詳解】解：因為， 所以， 故答案為： 【點睛】此題考查分段函數(shù)求值，求值時要注意自變量的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題 14．已知函數(shù)的定義域為，求的定義域 ． 【答案】 【分析】由題可列式，解出即可. 【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為， 則函數(shù)滿足，解得，即， 即函數(shù)的定義域為． 故答案為：. 15．已知命題p：“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 【分析】由題意可知命題的否定為真命題，再由不等式恒成立討論的取值即可求解. 【詳解】由題可得“，恒成立”是真命題 當時，則有恒成立，符合題意； 當時，則有，解得. 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是. 故答案為： 16．已知函數(shù)，若在上的值域為，則實數(shù)t的取值范圍為 ． 【答案】 【分析】根據(jù)題意分析可得：在上的值域為，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性分析運算. 【詳解】當時，則，即在上的值域為； 當時，則， 可得：在上的值域為， ∵開口向下，對稱軸為，則有： ①當，即時， 在上單調(diào)遞減，則，不合題意，舍去； ②當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則，解得， 又∵，則， ∴； ③當，即時，在上單調(diào)遞增，且， 則在上的值域為，不合題意，舍去； 綜上所述：實數(shù)t的取值范圍為. 故答案為：. 四、解答題 17．已知集合. (1)求; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合并集計算即可；（2）根據(jù)題意得，即可得到方程求出的值，驗證即可. 【詳解】（1）由題知， 由，解得或，所以， 由，解得或，所以， 所以. （2）因為， 所以， 所以，解得或， 當時，，與矛盾， 當時，，滿足題意， 綜上可得，， 所以的值. 18．已知a，b為正實數(shù)，且滿足． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】根據(jù)題意整理可得，令，利用分離常數(shù)結(jié)合基本不等式運算求解. 【詳解】（1）∵，則，可得， 令，則， ∴， 又∵，當且僅當，即時等號成立， ∴， 故ab的最大值為8. （2）由（1）可知：， 令，則， ∴，當且僅當，即時等號成立， 故的最小值為. 19．全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號.連云港市黃海路社區(qū)響應號召，在全面開展“創(chuàng)文”的基礎(chǔ)上，對一塊空閑地進行改造，計劃建一面積為的矩形市民休閑廣場.為此社區(qū)黨委開會討論確定方針：既要占地最少，又要美觀實用.初步?jīng)Q定在休閑廣場的東西邊緣都留有寬為的草坪，南北邊緣都留有的空地栽植花木. (1)設(shè)占用空地的面積為（單位：），矩形休閑廣場東西距離為（單位：，），試用表示的函數(shù)； (2)當為多少時，占用空地的面積最少？并求最小值. 【答案】(1)； (2)當休閑廣場東西距離為40m時，用地最小值為4880m2. 【分析】（1）根據(jù)矩形面積公式求得的表達式. （2）利用基本不等式求得的最小值以及此時的值. 【詳解】（1）因為廣場面積須為，所以矩形廣場的南北距離為， 所以. （2）由（1）知， 當且僅當時，等號成立. 答：當休閑廣場東西距離為時，用地最小值為4880m2. 20．已知. （1）若關(guān)于的不等式的解集為或，求實數(shù)的值； （2）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，求正整數(shù)的值. 【答案】（1）；（2）1或2. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，結(jié)合韋達定理可得； （2）根據(jù)是正數(shù)，求得不等式的解，然后考慮正整數(shù)解的情況可得的值． 【詳解】解： （1）若不等式的解集為，則 ， . （2）不等式即有兩整數(shù)解， ，又為正整數(shù)， 則解集必含，兩整數(shù)解為，或，. 當時，整數(shù)解為，，，不符合； 或 21．已知定義在上的奇函數(shù)，且. (1)求函數(shù)的解析式; (2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）; (3)解不等式. 【答案】(1) (2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析； (3) 【分析】（1）由題意得，又，求解、，即可得出答案； （2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，通分、因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立； （3）根據(jù)單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可，需注意函數(shù)的定義域. 【詳解】（1）定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得， 又，即，解得， ，經(jīng)檢驗符合題意； （2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下： 任取、且， 則 ， 因為，則，， 故，即， 因此函數(shù)在上是增函數(shù). （3），， ，解得，不等式的解集為． 22．已知二次函數(shù) （1）若在的最大值為，求的值； （2）若對任意實數(shù)，總存在，使得．求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】由解析式可知為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)； （1）分別在和兩種情況下，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可確定最大值點，由最大值構(gòu)造方程求得結(jié)果； （2）將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，分別在、、和，根據(jù)單調(diào)性可得，將看做關(guān)于的函數(shù)，利用恒成立的思想可求得結(jié)果. 【詳解】由解析式知：為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)， （1）當，即時，在上單調(diào)遞減， ，不合題意； 當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ， 又，，在的最大值為， ，解得：； 綜上所述：. （2）若對任意實數(shù)，總存在，使得， 則對恒成立， ①當時，在上單調(diào)遞增， ， 當時，單調(diào)遞增， ，； ②當，即時，在上單調(diào)遞減， ， 當時，單調(diào)遞減， ，； ③當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ， 當時，又，， 令，則在上單調(diào)遞增， ，解得：； ④當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ， 當時，在上單調(diào)遞減， ，解得：； 綜上所述：的取值范圍為. 【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)二次函數(shù)最值求解參數(shù)值、恒成立問題的求解，本題解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為對恒成立，從而通過對于函數(shù)單調(diào)性的討論得到最值.