2023-2024學年甘肅省武威市民勤縣第一中學高一上學期第二次月考數(shù)學試題含答案

這是一份2023-2024學年甘肅省武威市民勤縣第一中學高一上學期第二次月考數(shù)學試題含答案，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，單空題，問答題，證明題，應用題等內容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．已知全集，集合，，，0，1，，那么等于（ ）
A．，1，B．，C．，D．，，
【答案】A
【分析】由全集，求出的補集，再結合集合的交集的運算，即可求解.
【詳解】由題意，全集，集合，可得
又由，所以則.
故選：.
【點睛】本題主要考查了集合的交集、補集的概念及運算，其中解答中熟記集合的交集和補集的概念及運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.
2．若兩個正實數(shù)，滿足，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．D．
【答案】D
【分析】由題意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范圍．
【詳解】正實數(shù)，滿足，
，
當且僅當即且時取最小值8，
恒成立，，
解關于的不等式可得
故選：．
【點睛】本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問題和不等式的解法，屬中檔題．
3．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)的奇偶性和時，函數(shù)的符號，運用排除法得選項．
【詳解】∵∴，∴為奇函數(shù)，故排除A，B；
當時，，故排除D，
故選：C．
【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.
4．計算的值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算法則，直接計算可得答案.
【詳解】.
故選：D.
5．已知定義在上的偶函數(shù)，且當時，單調遞減，則關于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)具有奇偶性的定義域關于原點對稱，求得的值，把不等式轉化為，根據(jù)單調性和定義域，得出相應的不等式組，即可求解.
【詳解】由題意，定義在上的偶函數(shù)，可得，解得，
即函數(shù)的定義域為，
又由函數(shù)當時，單調遞減，
則不等式可化為，
可得不等式組，解得，即不等式的解集為.
故選：D.
【點睛】求解函數(shù)不等式的方法：
1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調性的定義，
具體步驟：①將函數(shù)不等式轉化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調性去掉對應法則“”轉化為形如：“”或“”的常規(guī)不等式，從而得解.
2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時，常將不等式問題轉化為兩函數(shù)的圖象上、下關系問題，從而利用數(shù)形結合求解.
6．一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過 （ ）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結果精確到）
A．小時B．小時C．小時D．小時
【答案】A
【分析】根據(jù)已知關系式可得不等式，結合對數(shù)運算法則解不等式即可求得結果.
【詳解】設應在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，
則，整理可得：，
，
，，
，即應在用藥小時后再向病人的血液補充這種藥.
故選：A.
7．冪函數(shù)在R上單調遞增，則函數(shù)的圖象過定點（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（-3，1）D．（-3，2）
【答案】D
【分析】由函數(shù)為冪函數(shù)且在R上單調遞增，可得，再由指數(shù)函數(shù)過定點，即可得函數(shù)所過的定點.
【詳解】解：因為為冪函數(shù)且在R上單調遞增，
所以，解得，
所以，
又因為指數(shù)函數(shù)恒過定點，
所以恒過定點.
故選：D.
8．設是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先由，判斷出在上是增函數(shù)，然后再根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調性即可求出的解集.
【詳解】解： 對任意的，都有 ，
在上是增函數(shù)，
令，
則，
為偶函數(shù)，
在上是減函數(shù)，
且，
，
當時，，
即，解得：，
當時，，
即，解得：，
綜上所述：的解集為：.
故選：A.
【點睛】方法點睛：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
二、多選題
9．下列說法正確的有（ ）
A．設，，且，則實數(shù)；
B．若是的真子集，則實數(shù)；
C．集合若，則實數(shù)；
D．設集合至多有一個元素，則；
【答案】ABD
【分析】根據(jù)集合元素的性質可判斷A的正誤，根據(jù)集合的包含關系分別計算BCD中參數(shù)的值或范圍，從而可判斷它們的正誤.
【詳解】對于A，因為，故（無解舍去）或，故，故A正確.
對于B，因為是的真子集，故為非空集合，
故，故B正確.
對于C，，
若，則，滿足；
若，則，又，故或即或，
綜上，或或，故C錯誤.
對于D，因為至多有一個元素，故或，
所以，故D正確.
故選：ABD.
10．下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若．則D．若，，則
【答案】BC
【分析】A選項，可舉出反例；BD選項，利用不等式的性質進行推導或計算；C選項，作差法比較大小.
【詳解】A選項，若，滿足，但，A錯誤；
B選項，因為，所以，，
故兩邊同乘以得，，B正確；
C選項，，
因為，所以，
故，所以，C正確；
D選項，若，，則，
則，即，D錯誤.
故選：BC
11．下列說法中正確的有（ ）
A．命題，則命題p的否定是
B．“”是“”的必要條件
C．若命題“”是真命題，則a的取值范圍為
D．“”是“關于x的方程有一正一負根”的充要條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定、充分必要條件，函數(shù)恒成立問題等逐項判斷即可.
【詳解】對于A，命題，則命題p的否定是，故A正確；
對于B，不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯誤；
對于C，，即，
即，故a的取值范圍為，故C正確；
對于D，關于x的方程有一正一負根，
所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件，故D正確.
故選：ACD.
12．已知函數(shù)的定義域是，且，當時，，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．
D．不等式的解集為
【答案】ABD
【分析】利用賦值法求得，判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調性定義結合抽象函數(shù)的性質，可判斷函數(shù)的單調性，判斷B;利用，可求得C中式子的值，判斷C；求出，將轉化為，即可解不等式組求出其解集，判斷D.
【詳解】對于A，令 ，得，所以，故A正確；
對于B，令，得，所以，
任取，且，則，
因為，所以，所以，
所以在上是減函數(shù)，故B正確；
對于C，
，故C錯誤；
對于D，因為，且，所以，
所以，
所以等價于，
又在上是減函數(shù)，且，所以 ，
解得，故D正確,
故選:ABD．
三、填空題
13．設且關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知不等式的解集確定出的關系以及的正負，然后求解對應一元二次不等式的解集即可.
【詳解】因為的解集為，所以，所以，
所以，解得，
故答案為：.
14．設是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，， .
【答案】/0.5
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)和函數(shù)具有的對稱性，有，所以，可求值.
【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，有，
由，設，則，，
得，則函數(shù)周期為2，
所以.
故答案為：
四、單空題
15．已知函數(shù)在上任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】可判斷在上單調遞增，列出式子即可求解.
【詳解】由函數(shù)在上任意，都有成立，
則在上單調遞增，所以，解得.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍，需滿足分段函數(shù)每部分分別單調，還應注意在分段處的函數(shù)值大小問題，這是容易漏掉的地方.
五、填空題
16．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意都有，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先求解出、、、時的解析式，然后作出與的圖象，根據(jù)圖象的交點橫坐標確定出符合條件的的取值范圍.
【詳解】當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
且，
作出的大致圖象如下圖所示：
由圖象可知：若，對于任意都有顯然不成立，所以，
由圖象可知，當時，令，則有，解得或，
結合圖象可知，若對于任意都有成立，則有，
故答案為：.
【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)圖象與性質的綜合運用，采用數(shù)形結合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉化能使問題轉化為更簡單的問題，常見的圖象應用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質.
六、問答題
17．（1）已知，則的值.
（2）若，，用a，b表示
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用和立方差公式可得答案；
（2）由，所以，代入可得答案.
【詳解】（1）∵，
，
由立方差公式得
（2）由，所以，
則.
18．已知函數(shù)的定義域為.
（1）求實數(shù)的取值集合；
（2）設為非空集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意可知，在上恒成立，再對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求出結果；
（2）由命題的關系與集合間的包含關系得：是的必要不充分條件，所以，由此列出關系式，即可求出結果.
【詳解】（1）可知，在上恒成立，
當時，，成立；
當時，，解得；
綜上所述，. 所以集合
（2）因為，是的必要不充分條件. 所以，
故,解得
所以，實數(shù)的取值范圍是.
七、證明題
19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)用定義證明在上是增函數(shù)；
(3)解不等式：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由解出，可確定函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)的單調性；
（3）利用奇偶性和單調性解不等式.
【詳解】（1）由題意，得，
∴（經(jīng)檢驗符合題意），故．
（2）證明 任取，且，
則．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函數(shù)．
（3）由（2）知在上是增函數(shù)，又在上為奇函數(shù)，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集為．
八、問答題
20．已知函數(shù)．
(1)若，求的單調區(qū)間
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【答案】(1)函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；
(2)1；
(3)0.
【分析】（1）根據(jù)復合函數(shù)單調性判斷，結合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質判斷單調區(qū)間；
（2）由（1）及題設知，即可求參數(shù)值；
（3）根據(jù)復合函數(shù)的值域，結合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質確定參數(shù)值即可.
【詳解】（1）當時，，
令，由在上單調遞增，在上單調遞減，
而在R上單調遞減，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
即的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以應有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3時，a為1．
（3）由指數(shù)函數(shù)的性質知，要使的值域為，
應使的值域為R，
因此只能（因為若，則為二次函數(shù)，其值域不可能為R），
故a的值為0．
九、應用題
21．佩戴口罩能起到一定預防新冠肺炎的作用，某科技企業(yè)為了滿足口罩的需求，決定開發(fā)生產口罩的新機器.生產這種機器的月固定成本為萬元，每生產臺，另需投入成本（萬元），當月產量不足70臺時，（萬元）；當月產量不小于70臺時，（萬元）.若每臺機器售價萬元，且該機器能全部賣完.
（1）求月利潤（萬元）關于月產量（臺）的函數(shù)關系式；
（2）月產量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤？并求出其利潤.
【答案】（1）；（2）當月產量為臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為萬元.
【解析】（1）根據(jù)題意分別列出當及時，關于的解析式即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質計算當時，的最大值，根據(jù)基本不等式求解當時的最大值，然后比較得出最值.
【詳解】（1）當時，；
當時，
∴
（2）當時，；
當時，取最大值萬元；
當時， ，
當且僅當時，取等號
綜上所述，當月產量為臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為萬元.
【點睛】本題考查函數(shù)的實際應用問題，考查基本不等式的實際應用，難度一般.解答時，根據(jù)題目條件列出函數(shù)的解析式是關鍵.
十、問答題
22．設函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的值域；
(2)設函數(shù)，若對，，，求實數(shù)a取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求函數(shù)值域；
（2）將問題轉化為的值域為值域的子集求解.
【詳解】（1）∵，又∵，，
∴，當且僅當，即時取等號，
所以，
即函數(shù)的值域為.
（2）∵，
設，因為，所以，函數(shù)在上單調遞增，
∴，即，
設時，函數(shù)的值域為A.由題意知，
∵函數(shù)
①當，即時，函數(shù)在上遞增，
則，即 ，∴
②當時，即時，函數(shù)在上的最大值為，中的較大者，
而且，不合題意，
③當，即時，函數(shù)在上遞減，
則，即 ，滿足條件的不存在，
綜上所述，實數(shù)a取值范圍為.
【點睛】對于雙變量雙函數(shù)類似，，的問題轉化為值域包含值域的問題.