適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加減運算的坐標(biāo)表示教師用書新人教A版必修第二冊

6.3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 6.3.3　平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示 1.平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個　　　　分別為i,j,取{i,j}作為基底,對于平面內(nèi)的任意一個向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=　　　　,有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作　　　　.? 2.平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則: a+b=　　　　　　　;? a-b=　　　　　　　.? 3.若O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 則=　　　　,=　　　　,? =　　　　.? 一、單選題 1.(教材改編題)已知向量a,b滿足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),則a,b的坐標(biāo)分別為(　　) A.(4,0),(-2,6) B.(-2,6),(4,0) C.(2,0),(-1,3) D.(-1,3),(2,0) 2.如圖,{e1,e2}是一個基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),則向量a的坐標(biāo)為 (　　) A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(-3,-1) 3.已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量= (　　) A.(-7,-4) B.(1,2) C.(-1,4) D.(1,4) 4.如果將=,,繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到,則的坐標(biāo)是 (　　) A.-, B.,- C.(-1,) D.-, 二、多選題 5.已知=(-2,4),則下列說法不正確的是 (　　) A.A點的坐標(biāo)是(-2,4) B.B點的坐標(biāo)是(-2,4) C.當(dāng)B是原點時,A點的坐標(biāo)是(-2,4) D.當(dāng)A是原點時,B點的坐標(biāo)是(-2,4) 6.以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三個點為頂點作平行四邊形,則第四個頂點D的坐標(biāo)可以是(　　) A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(-2,-1) 三、填空題 7.(教材改編題)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,向量的坐標(biāo)是　　　　.? 8.已知在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),若=,則點D的坐標(biāo)為　　　　.? 四、解答題 9.已知長方形ABCD的長為4、寬為3,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,i是x軸上的單位向量,j是y軸上的單位向量,試求和的坐標(biāo). 10.(1)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b的坐標(biāo); (2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=,=,求M,N及的坐標(biāo). 一、選擇題 1.已知向量a=,b=,c=,若=a+b+c,且A(1,1),則向量的終點B的坐標(biāo)為 (　　) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 2.已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點,點C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=45°,設(shè)=λ+(1-λ)(λ∈R),則λ的值為 (　　) A. B. C. D. 二、填空題 3.如圖,在?ABCD中,AC為一條對角線,若=(2,4),=(1,3),則=　　　　.? 4.已知平行四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D的坐標(biāo)依次為(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),則msinα+ncosα的最大值為　　　　.? 三、解答題 5.如圖所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點C作CE⊥AB于點E,用向量的方法證明:DE∥BC. 6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四邊形OABC為平行四邊形. (1)求向量a,b的坐標(biāo). (2)求向量的坐標(biāo). (3)求點B的坐標(biāo). 6.3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 6.3.3　平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示 必備知識·落實 1.單位向量　xi+yj　a=(x,y) 2.(x1+x2,y1+y2)　(x1-x2,y1-y2) 3.(x1,y1)　(x2,y2)　(x2-x1,y2-y1) 知能素養(yǎng)·進階 【基礎(chǔ)鞏固組】 1.C　2a=(a+b)+(a-b)=(4,0),于是a=(2,0),所以b=(-1,3). 2.A　因為e1,e2分別是與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量,由題圖可知a=e1+3e2,根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a=(1,3). 3.A　設(shè)C(x,y),因為=(-4,-3),所以(x,y-1)= (-4,-3),所以x=-4,y-1=-3, 所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2). 所以=(-4-3,-2-2)=(-7,-4). 4.D　設(shè)繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到的的坐標(biāo)為(x,y), 則x=||cos(120°+30°)=-,y=||·sin(120°+30°)=,由此可知B點坐標(biāo)為,故的坐標(biāo)是. 5.ABC　只有當(dāng)向量起點與原點重合時,向量坐標(biāo)與向量終點坐標(biāo)相同. 6.ACD　設(shè)D(x,y),若=,則(1,-1)=(x-3,y-2),即 解得即D(4,1); 若=,則(1,-1)=(3-x,2-y), 即 解得即D(2,3); 若=, 則(-2,-2)=(x,y-1), 即 解得即D(-2,-1). 7.【解析】因為A(2,2),B(1,1), 所以=(-1,-1). 答案:(-1,-1) 8.【解析】設(shè)D(x,y),因為=, 所以所以 答案:(1,1) 9.【解析】由題圖知,CB⊥x軸,CD⊥y軸, 因為AB=4,AD=3,所以=4i+3j, 所以=(4,3). 因為=+=-+, 所以=-4i+3j,所以=(-4,3). 10.【解析】(1)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2); (2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則=(x1+3,y1+4)=(1,8),x1=-2,y1=4; =(x2+3,y2+4)=(6,3),x2=3,y2=-1, 所以M(-2,4),N(3,-1),=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5). 【素養(yǎng)提升組】 1.A　=a+b+c=++=, 設(shè)終點為B,則=, 所以所以 所以終點B的坐標(biāo)為(9,1). 2.C　如圖所示,因為∠AOC=45°, 所以設(shè)C(x,-x),則=(x,-x). 又因為A(-3,0),B(0,2), 所以λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ), 所以?λ=. 3.【解析】=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),=+=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案:(-3,-5) 4.【解析】因為四邊形ABCD為平行四邊形,則=, 即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即得m=1,n=-2,得msinα+ncosα=sin α-2cos α=sin(α+φ),其中tan φ=-2,故msinα+ncosα的最大值為. 答案: 5.【證明】如圖,以E為原點,AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)||=1,則||=1,||=2. 因為CE⊥AB,而AD=DC,所以四邊形AECD為正方形,所以可求得各點坐標(biāo)分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1), D(-1,1). 因為=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1), 所以=,所以∥,即DE∥BC. 6.【解析】(1)過A點作AM⊥x軸于點M,如圖. 則OM=OA·cos 45°=4×=2, AM=OA·sin 45°=4×=2, 所以A(2,2),故a=(2,2). 因為∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°, 所以∠COy=30°.又OC=AB=3, 所以C, 所以==, 即b=. (2)=-=. (3)=+ =(2,2)+ =. 所以B.