函數(shù)的概念習(xí)題課教案

這是一份函數(shù)的概念習(xí)題課教案，共9頁。
《函數(shù)的概念及其表示習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計 教學(xué)目標(biāo) 1．復(fù)習(xí)函數(shù)的概念以及構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域；在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；能用分段函數(shù)正確表示一些相關(guān)的函數(shù)問題，構(gòu)建函數(shù)性質(zhì)的概念及其表示的知識結(jié)構(gòu)． 2．能應(yīng)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類與整合的思想進(jìn)行抽象概括、運算求解，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)． 教學(xué)重難點 教學(xué)重點：理解函數(shù)的概念，結(jié)合實際問題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，掌握分段函數(shù)的表示及其圖象． 教學(xué)難點：在具體的問題中，如何抓住條件，解決問題． 課前準(zhǔn)備 用軟件制作動畫；PPT課件． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 問題1：請同學(xué)們?yōu)g覽第3.1節(jié)（課本P60～P71）的內(nèi)容，你能梳理一下本小節(jié)的學(xué)習(xí)過程嗎？ 師生活動：學(xué)生先獨立閱讀思考，老師根據(jù)學(xué)生的回答補(bǔ)充． 預(yù)設(shè)的答案：答案如圖1． 圖1 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，構(gòu)建函數(shù)的概念及其表示的知識結(jié)構(gòu)． 引語：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，這節(jié)課我們一起來夯實與之相關(guān)的基本概念．（板書：函數(shù)的概念及其表示習(xí)題課） 二、新知探究 1．函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素 例1 （習(xí)題3.1 P72第1題） 求下列函數(shù)的定義域： （1）f(x)＝ eq \f(3x,x－4)； （2）f(x)＝ eq \r(x2)； （3）f(x)＝ eq \f(6,x2－3x＋2)； （4）f(x)＝ eq \f(\r(4－x),x－1) ． 師生活動：老師先引導(dǎo)學(xué)生回憶求定義域的一般步驟，然后學(xué)生獨立完成，老師點評． 追問：求解函數(shù)定義域的一般步驟是什么？（第一步：根據(jù)解析式有意義轉(zhuǎn)化成不等式；第二步：解不等式或不等式組求得原來函數(shù)的定義域．） 預(yù)設(shè)的答案： （1）要使該函數(shù)有意義，則需x－4≠0． 解得：x≠4． 所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞)． （2）要使該函數(shù)有意義，則需x2≥0． 解得：x∈R． 所以函數(shù)f(x)的定義域為R． （3）要使該函數(shù)有意義，則需x2－3x＋2≠0． 解得：x≠1且x≠2． 所以函數(shù)f(x)的定義域為 {x|x≠1且x≠2}． （4）要使該函數(shù)有意義，則需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x≥0,x－1≠0))． 解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4,x≠1))． 所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，1)∪(1，4]． 設(shè)計意圖：例1借助求解函數(shù)的定義域，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，訓(xùn)練學(xué)生運用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行運算求解的能力． 例2 （習(xí)題3.1 P72第2題） 下列哪一組中的函數(shù)f(x)與g(x)是同一個函數(shù)？ （1）f(x)＝x－1，g(x)＝ eq \f(x2,x) －1； （2）f(x)＝x2，g(x)＝( eq \r(x))4； （3）f(x)＝x2，g(x)＝ eq \r(3,x6)． 追問：判斷兩個函數(shù)是否相等的一般的步驟是什么？（第一步，求兩個函數(shù)的定義域．第二步，判斷定義域是否相同．若否，則不是相等函數(shù)，結(jié)束判斷；若是，則進(jìn)行第三步．第三步，化簡兩個函數(shù)的解析式，若解析式也相同，則為相等函數(shù)；若解析式不相同，則不是相等函數(shù)．） 師生活動：老師先引導(dǎo)學(xué)生回憶判斷函數(shù)是否相等的一般步驟，然后學(xué)生獨立完成，老師點評． 預(yù)設(shè)的答案：第（3）組中，二者的定義域均為R，且 eq \r(3,x6)＝x2，因此解析式也相同，所以f(x)＝x2與g(x)＝ eq \r(3,x6)是同一個函數(shù)． 第（1）組中，f(x)＝x－1的定義域為R，g(x)＝ eq \f(x2,x)－1的定義域為{x|x≠0}，定義域不同，所以不是同一個函數(shù)． 第（2）組中，f(x)＝x2的定義域為R，g(x)＝( eq \r(x))4的定義域為{x|x≥0}，定義域不同，所以不是同一個函數(shù)． 設(shè)計意圖：例2借助判斷函數(shù)是否相等，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，訓(xùn)練學(xué)生運用化歸與轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行運算求解的能力． 例3 （習(xí)題3.1P74第16題） 給定數(shù)集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，① （1）任給u∈A，對應(yīng)關(guān)系f使方程①的解v與u對應(yīng)，判斷v＝f(u)是否為函數(shù)并說明理由； （2）任給v∈B，對應(yīng)關(guān)系g使方程①的解v與u對應(yīng)，判斷u＝g(v)是否為函數(shù)并說明理由． 追問1：判斷某個給定的對應(yīng)關(guān)系是否函數(shù)的依據(jù)是什么？（函數(shù)的概念，具體內(nèi)容是：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．） 師生活動：老師引導(dǎo)學(xué)生尋找判斷的依據(jù)，學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的概念獨立判斷，老師點評． 預(yù)設(shè)答案：（1）根據(jù)u2＋2v＝0，可得v＝－ eq \f(u2,2)，任給u∈A，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系v＝－ eq \f(u2,2)，在數(shù)集B中都能找到唯一的元素v＝－ eq \f(u2,2)與之對應(yīng)，所以是函數(shù)． （2）根據(jù)u2＋2v＝0，可得u＝± eq \r(－2v)，任給v∈B且v≠0，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系u＝± eq \r(－2v)，在數(shù)集A中都能找到兩個元素u＝± eq \r(－2v)與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)． 追問2：結(jié)合v＝f(u)和u＝g(v)的圖象驗證你的判斷，其中v＝f(u)和u＝g(v)的圖象分別如圖2和圖3． 圖 2 圖3 圖4 圖5 （根據(jù)圖4，在橫軸上任取一點u＝u0，過該點作橫軸的垂線，與曲線有且僅有一個交點（u0，v0），即對于任意的u0∈R，按照對應(yīng)關(guān)系①有唯一的v0與之對應(yīng)，所以v＝f(u)是函數(shù)．根據(jù)圖5，在橫軸負(fù)半軸上任取一點v＝v0，過該點作橫軸的垂線，與曲線有兩個交點（v0，u0）、（v0，－u0），即對于任意的v0∈(－∞，0)，按照對應(yīng)關(guān)系①有兩個值與之對應(yīng)，所以u＝g(v)不是函數(shù)．） 追問3：根據(jù)方程u2＋2v＝0，寫出一個對應(yīng)關(guān)系h使它成為u關(guān)于v的函數(shù)．（u＝－ eq \r(－2v)或u＝ eq \r(－2v)．） 設(shè)計意圖：通過例3對函數(shù)概念進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的概念，感受函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的多樣性． 2．求函數(shù)的解析式 例4 （1）已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； （2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； （3）已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)． 師生活動：第（1）小題大部分學(xué)生能比較順利地完成，其它兩個小題需要老師合理的引導(dǎo)、講解、示范以及學(xué)生的模仿練習(xí)完成． 預(yù)設(shè)答案： （1）由f(x)是二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 由f(0)＝1，得c＝1， 則f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x 這個式子對于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1， 解析式為f(x)＝x2－x＋1． （2）方法一：令x＋1＝t，則x=t－1． 將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 則解析式為f(x)＝x2－5x＋6． 方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， 即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， 則解析式為f(x)＝x2－5x＋6． （3）因為對于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2 ……②， 所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2 ……③， 2×③－②得：3f(x)＝－9x－2， 則解析式為f(x)＝－3x－ eq \f(2,3)． 教師點撥： 第（1）題中的方法叫待定系數(shù)法，適用于當(dāng)函數(shù)類型給定，且函數(shù)某些性質(zhì)已知時求函數(shù)解析式的題型． 第（2）題中的方法一叫換元法，適用于已知函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的解析式的題型．具體步驟為：令g(x)＝t，并反解出x，然后x把代入f(g(x))中，求出f(t)，從而求出f(x)； 第（2）題中的方法二叫湊配法，適用于已知函數(shù)f(g(x))的解析式，且f(g(x))的表達(dá)式可變形為關(guān)于g(x)的形式，從而將式子兩端的g(x)看成一個整體代換為函數(shù)的自變量，從而求出f(x)； 在這兩種方法中，都要注意函數(shù)的定義域，方法一中函數(shù)的定義域為新元t的取值范圍；方法二中函數(shù)的定義域為g(x)的值域． 第（3）題中的方法叫方程組法，適用于當(dāng)函數(shù)f(x)滿足形如af(x)＋bf(－x)＝g(x)（a≠b且ab≠0）或af(x)＋bf( eq \f(1,x))＝g(x)（a≠b且ab≠0）等關(guān)系時，我們可以用－x或 eq \f(1,x)代替關(guān)系式中的x，將得到的新式子與原關(guān)系式聯(lián)立方程組，經(jīng)消元后將f(x)從方程組中解出來． 設(shè)計意圖：解析式是高中階段函數(shù)的主要表示方法，同時也是我們研究函數(shù)的主要依據(jù)．但函數(shù)解析式較為抽象，求解析式對于高一學(xué)生是一個難點，例4涉及了四種常見的求函數(shù)解析式的方法，幫助學(xué)生初步理解抽象問題的處理方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)． 3．分段函數(shù) 例5 （習(xí)題3.1P73第13題） 函數(shù)f(x)＝[x]的函數(shù)值，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．當(dāng)x∈(－2.5，3]時，寫出函數(shù)f(x)的解析式，并畫出函數(shù)f(x)的圖象． 預(yù)設(shè)答案：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3，－2.5＜x＜－2，,－2，－2≤x＜－1，,－1，－1≤x＜0，,0，0≤x＜1，,1，1≤x＜2，,2，2≤x＜3，,3，x＝3．,)) 函數(shù)f(x)的圖象如圖6． 圖6 追問1：設(shè)函數(shù)g(x)＝x－[x]，x∈(－2.5，3]，寫出函數(shù)g(x)的解析式，并畫出函數(shù)g(x)的圖象．（g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，－2.5＜x＜－2，,x＋2，－2≤x＜－1，,x＋1，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，,x－1，1≤x＜2，,x－2，2≤x＜3，,0，x＝3．,)) 函數(shù)g(x)的圖象如圖7．） 圖7 追問2：求函數(shù)f(x)與g(x)的值域．（函數(shù)f(x)的值域為{－3，－2，－1，0，1，2，3}，函數(shù)g(x)的值域為[0，1)．） 追問3：求方程g(x)＝0.5的解集.（當(dāng)－2.5＜x＜－2時，令g(x)＝0.5，則x＋3＝0.5，解得x＝－2.5，－2.5?(－2.5，－2)，此時方程無解；當(dāng)－2＜x＜－1時，令g(x)＝0.5，則x＋2＝0.5，解得x＝－1.5，－1.5∈[－2，－1)，此時方程的解為x＝－1.5；同理可以求得其他區(qū)間內(nèi)的解．綜上，方程g(x)＝0.5的解集為{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．） 設(shè)計意圖：例4加深學(xué)生對分段函數(shù)的了解，訓(xùn)練學(xué)生運用分類與整合、數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行運算求解的能力，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 三、歸納小結(jié)，布置作業(yè) 問題2：回憶本節(jié)課的內(nèi)容，請你回答以下幾個問題： （1）你能談?wù)剬瘮?shù)的對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識嗎？ （2）你能談?wù)労瘮?shù)圖象在解決問題中的作用嗎？ 師生活動：師生一起總結(jié)． 預(yù)設(shè)的答案：（1）對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心要素，只要滿足：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么f：A→B就為從集合A到集合B的一個函數(shù)；它的表現(xiàn)形式多種多樣：文字語言、解析式、表格、圖象、方程等，可以根據(jù)需要靈活選擇． （2）函數(shù)圖象很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，依托函數(shù)圖象可以更直觀地尋求問題的解決思路和要點． 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生提煉本節(jié)課的主要內(nèi)容和方法． 作業(yè)布置：教科書復(fù)習(xí)參考題3第1，2，7，8，13題． 四、目標(biāo)檢測設(shè)計 1．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（ ） A．y＝|x|，u＝ eq \r(v2)  B．y＝ eq \r(x2) ，s＝( eq \r(t))2 C．y＝ eq \f(x2－1,x－1) ，m＝n＋1 D．y＝ eq \r(x＋1)· eq \r(x－1)，y＝ eq \r(x2－1) 設(shè)計意圖：考查對函數(shù)概念的理解． 2．函數(shù)y＝ eq \r(x＋1)＋ eq \f(1,2－x)定義域是___________． 設(shè)計意圖：考查函數(shù)定義域的求解． 3．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x＞0，,))若f(x)＝10，則x＝___________． 設(shè)計意圖：考查對分段函數(shù)的了解，以及運用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行運算求解的能力． 4．某位同學(xué)要在暑假的八月上旬完成一定量的英語單詞的記憶，計劃是：第一天記憶300個單詞；第一天后的每一天，在復(fù)習(xí)前面記憶的單詞的基礎(chǔ)上增加50個新單詞的記憶量． （1）該同學(xué)記憶的單詞總量y是關(guān)于記憶天數(shù)x的函數(shù)嗎？如果是，你能用哪些方法表示這個函數(shù)；如果不是，請你說明理由． 設(shè)計意圖：考查對函數(shù)概念的理解，以及運用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行抽象概括的能力． 參考答案： 1．A． 2．[－1，2)∪(2，＋∞)． 3．－3． 4．解：用x表示記憶天數(shù)，用y表示記憶的單詞總量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}． 該同學(xué)記憶的單詞總量y是關(guān)于記憶天數(shù)x的函數(shù)．原因如下：對于數(shù)集A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中的任一個天數(shù)x，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系y＝50x＋250，在數(shù)集B＝{300，350，400，450，500，550，600，650，700，750}中，都有唯一的單詞總量y與之對應(yīng)． 用解析法可將該函數(shù)表示為 y＝50x＋250，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}． 用列表法可將該函數(shù)表示為 用圖象法可將該函數(shù)表示為圖8． 圖8 記憶天數(shù)x12345678910記憶的單詞總量y300350400450500550600650700750