《變量與函數(shù)》教案

這是一份《變量與函數(shù)》教案，共6頁(yè)。
變量與函數(shù) 教學(xué)目標(biāo) 1.概括并理解函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2.用解析法和列表法表示函數(shù)關(guān)系，確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值． 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：概括并理解函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，用解析法和列表法表示函數(shù)關(guān)系，確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值． 難點(diǎn)：探究在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在觀察具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)的概念． 課前準(zhǔn)備 電腦、多媒體、課件 教學(xué)過程 （一）變量與常量的概念 1．出示上節(jié)課題目，導(dǎo)入新課. （1）電影票的售價(jià)為10元/張，第一場(chǎng)售出150張票，第二場(chǎng)售出205張票，第三場(chǎng)售出310張票，三場(chǎng)電影的票房收入各多少元．設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元. 在以上的變化過程中，有幾個(gè)量？變量是_______,常量是________ 有三個(gè)量，分別是票價(jià)、張數(shù)和票房收入， 張數(shù)和票房收入是變量，票價(jià)是常量. （2）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢擴(kuò)大，在這一過程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10 cm，20 cm，30 cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？ 在以上的變化過程中，有幾個(gè)量？變量是_______,常量是________ 有三個(gè)量，分別是半徑、周長(zhǎng)和π 半徑和周長(zhǎng)是變量，π是常量 （3）用10 m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3 m，3.5 m，4 m，4.5 m時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少？ 在以上的變化過程中，有哪幾個(gè)量？變量是_______,常量是________ 矩形的周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)和鄰邊長(zhǎng)， 邊長(zhǎng)和鄰邊長(zhǎng)是變量，矩形的周長(zhǎng)是常量． （二）函數(shù)的概念 1．繼續(xù)探究 上面出示的問題（1）~（3）中是否各有兩個(gè)變量？同一問題中的變量之間有什么聯(lián)系？也就是說當(dāng)其中一個(gè)變量確定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量是否隨之確定一個(gè)值呢？ 首先，師生一起分析變化過程（1）中變量之間的關(guān)系． 情境問題中有兩個(gè)變量t、s．s是怎樣隨t的具體變化而變化呢？用數(shù)值進(jìn)行說明． 當(dāng)t的值取定后，s的值有一個(gè)并且只有一個(gè)．也就是說，當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，s有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 然后，教師引導(dǎo)學(xué)生類比情景問題中變量之間的關(guān)系的分析，對(duì)問題（1）（2）（3）進(jìn)行分析，并得出結(jié)論： 變化過程（1）有兩個(gè)變量x、y，當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 變化過程（3）有兩個(gè)變量r、S，當(dāng)r取定一個(gè)值時(shí)，S有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 變化過程（4）有兩個(gè)變量x、y，當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí)，y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 2．歸納小結(jié) 由以上探究我們可以歸納這樣的結(jié)論： 上面每個(gè)問題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 3．再次討論 其實(shí)，在一些用圖或表格表達(dá)的問題中，也能看到兩個(gè)變量間的關(guān)系．我們來看下面兩個(gè)問題，通過觀察、思考、討論后回答： （1）下圖是體檢時(shí)的心電圖．其中橫坐標(biāo)x表示時(shí)間，縱坐標(biāo)y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個(gè)變量．在心電圖中，對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的對(duì)應(yīng)值嗎？ （2）在下面的我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個(gè)變量x與y．對(duì)于表中每個(gè)確定的年份x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y嗎？ 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)在問題（1）的心電圖中，對(duì)于x的每個(gè)確定值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)；在問題（2）中，對(duì)于表中每個(gè)確定的年份x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y． 4．形成概念 一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．如果當(dāng)x＝a時(shí)，y＝b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值． 據(jù)此可以認(rèn)為：上面問題（1）中時(shí)間t是自變量，路程s是t的函數(shù)．當(dāng)t＝1時(shí)的函數(shù)值s＝60；當(dāng)t＝2時(shí)的函數(shù)值s＝120；當(dāng)t＝2.5時(shí)的函數(shù)值s＝150；…．同樣地，在以上心電圖問題中，時(shí)間x是自變量，心臟部位的生物電流y是x的函數(shù)；在人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份x是自變量，人口數(shù)y是x的函數(shù)．當(dāng)x＝2 010時(shí)，函數(shù)值y＝13.71億． 從上面的學(xué)習(xí)中可知許多問題中的變量之間都存在函數(shù)關(guān)系． 5．鞏固概念 下圖是一只螞蟻在豎直的墻面上的爬行圖，請(qǐng)問：螞蟻離地高度h是離起點(diǎn)的水平距離t的函數(shù)嗎？為什么？螞蟻離起點(diǎn)的水平距離t是離地高度h的函數(shù)嗎？為什么？ 學(xué)生獨(dú)立思考后，小組討論，師生共同得出答案： 螞蟻離地高度h不是離起點(diǎn)的水平距離t的函數(shù)，因?yàn)樵谖浵伵佬羞^程中雖有兩個(gè)變量t、h，但當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，h有多個(gè)值與其對(duì)應(yīng)． 螞蟻離起點(diǎn)的水平距離t是離地高度h的函數(shù)，因?yàn)樵谖浵伵佬羞^程中有兩個(gè)變量t、h，當(dāng)h取定一個(gè)值時(shí)，t有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)． 設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，探究在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在觀察具體問題中變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)的概念． （三）例題解析 例1一水管以均勻的速度向容積為100立方米的空水池中注水，注水的時(shí)間t與注入的水量Q如下表： 請(qǐng)從表中找出t與Q之間的函數(shù)關(guān)系式，且求當(dāng)t＝5分15秒時(shí)，水池中的水量Q的值． 解：∵水管是勻速流出水于池中，速度是(4÷2)＝2，即每分鐘2立方米， ∴函數(shù)解析式為Q＝2t，自變量t為非負(fù)數(shù)． 又∵水池容積為100立方米，時(shí)間不能超過100÷2＝50(分鐘)， ∴0≤t≤50． 當(dāng)t＝5分15秒時(shí)，Q＝2×＝， 即當(dāng)t為5分15秒時(shí)，水量為立方米． 例2　汽車油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km． （1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子； （2）指出自變量x的取值范圍； 解：（1）行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數(shù)． 行駛路程為x時(shí)耗油為：0.1x． 油箱中的油量為：50－0.1x． 所以函數(shù)關(guān)系式為：y＝50－0.1x． （2）僅從式子y＝50－0.1x看，x可以取任意實(shí)數(shù)，但是考慮到x代表的實(shí)際意義是行駛路程，所以不能取負(fù)數(shù)，并且行駛中耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現(xiàn)有汽油50 L，即0.1x≤50，x≤500． 因此自變量x的取值范圍是： 0≤x≤500． 設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用解析法表示函數(shù)關(guān)系，使學(xué)生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)；聯(lián)系求代數(shù)式的值的知識(shí)，探索求函數(shù)值的方法． （四）課堂練習(xí) 1．下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出函數(shù)的解析式． （1）改變正方形的邊長(zhǎng)x，正方形的面積S隨之改變． （2）秀水村的耕地面積是，這個(gè)村人均占有耕地面積y（單位：m2）隨這個(gè)村人數(shù)n的變化而變化． 2.甲乙兩地相距520km ，一輛汽車一80km/h的速度從甲地開往乙地，行駛t(h)后停車加油. （1）寫出汽車距乙地的路程s(km)與行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求出自變量t的取值范圍. 答案：1．（1）正方形的邊長(zhǎng)x是自變量，正方形的面積S是x的函數(shù)． 函數(shù)關(guān)系式：． （2）這個(gè)村人口數(shù)n是自變量，人均占有耕地面積y是n的函數(shù)． 函數(shù)關(guān)系式： 2.(1)S=520-80t (2)0≤t≤6.5 設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)自變量、函數(shù)等概念的理解，掌握用解析式法表示變量間的單值對(duì)應(yīng)以及函數(shù)自變量取值范圍的確定． （五）課堂小結(jié) （1）在一個(gè)變化過程中，什么是變量？什么是常量？舉一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的例子并指出其變量和常量． （2）在一個(gè)變化過程中，對(duì)于變量x和y而言，滿足什么對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，y才是x的函數(shù)？?jī)蓚€(gè)變量滿足“一對(duì)多”的關(guān)系是函數(shù)嗎？并舉例說明對(duì)函數(shù)概念中“對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)． （3）函數(shù)的表示方法有哪些？自變量的取值范圍如何確定？受哪些因素的限制？如何確定函數(shù)值？ 設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)函數(shù)等概念的理解． （六）板書設(shè)計(jì) 1.變量、常量、函數(shù)的概念 2.自變量的取值范圍 3.函數(shù)解析式年份人口數(shù)/億198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71t(分鐘)2468……Q（立方米）481216……