高中數學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.3 導數在研究函數中的應用優(yōu)秀課時練習

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1．（3分）（2023·全國·高三專題練習）函數fx=x-3ex，則fx的單調增區(qū)間是（ ）
A．-∞,2B．2,+∞C．-∞,3D．3,+∞
【解題思路】求出給定函數的導數，解導數大于0的不等式作答.
【解答過程】函數fx的定義域為R，求導得：f'x=x-2ex，由f'x>0，解得x>2，
所以fx的單調增區(qū)間是2,+∞.
故選：B.
2．（3分）（2022·山東高三階段練習）已知f(x)=x2-2x+1x，則f(x)在12,3上的最大值為（ ）
A．12B．43C．-1D．0
【解題思路】對fx求導得f'x=1-x-2，令其為0，得到其單調性，最后得到最大值.
【解答過程】f(x)=x2-2x+1x=x+1x-2，且x∈12,3，
f'x=1-x-2，令f'x=0，x=1（負舍），
∵x∈12,1，f'x0可得f'x=1x+2ax-2=2ax2-2x+1x，
令g(x)=2ax2-2x+1，則g(0)=1 ，
當a=0時，g(x)=-2x+1=0,x=12，當00，
此時要使函數fx=lnx+ax2-2x在0,1上存在極大值點，需滿足g(1)x在0,1上恒成立，即a>xex恒成立，
令g(x)=xex，則g'(x)=1-xex>0，即g(x)在0,1上遞增，
故a≥g(1)=1e，
故a的取值范圍為1e,+∞.
故選：D.
8．（3分）（2022·全國·高二課時練習）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加1萬元銷售額y（單位：萬元）與蓮藕種植量x（單位：萬千克）滿足y=-16x3+ax2+x（a為常數），若種植3萬千克，銷售利潤是232萬元，則要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕（ ）
A．6萬千克B．8萬千克C．7萬千克D．9萬千克
【解題思路】由已知求參數a，再利用導數研究函數的單調性，進而確定銷售利潤最大時每年需種植蓮藕量.
【解答過程】設當蓮藕種植量為x萬千克時，銷售利潤為g(x)萬元，則g(x)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2（00，當x∈(8,10)時，g'(x)0；當x∈-43,1時，f'x1時，g't>0恒成立，∴gt在1,+∞上單調遞增；
∵t=ex在0,+∞上單調遞增，
∴根據復合函數單調性可知：gex在0,+∞上為增函數，A正確；
對于B，當x>1時，lnx2>ln1=0，又a為正實數，∴ax>a>0，
∵f'x=ex-1，∴當x>0時，f'x>0恒成立，∴fx在0,+∞上單調遞增，
則由fax≥flnx2得：ax≥lnx2，即a≥2lnxx，
令hx=2lnxxx>1，則h'x=21-lnxx2，
∴當x∈1,e時，h'x>0；當x∈e,+∞時，h'x0恒成立，故hx=2lnx+x在(0,+∞)單調遞增，
得到2lnx+x=t∈R，
故2a=tet有兩個不同的根，
令gt=tet，則g't=1-tet，t∈R，
當t>1時，g't0，
所以f(x)在R上單調遞增，
f(m?4x+1)+f(m-2x)≥5等價于f(m?4x+1)+f(m-2x)≥f(m-2x)+f(2x-m)，
即f(m?4x+1)≥f(2x-m)恒成立，
所以m?4x+1≥2x-m，即m≥2x-14x+1(x>0)恒成立，
令2x-1=t (t>0)，可得m≥t(t+1)2+1=tt2+2t+2，
而tt2+2t+2=1t+2t+2≤122+2=2-12，當且僅當t=2時取等號，
所以m≥2-12，即實數m的最小值為2-12.
故答案為：2-12.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2022·山東·高二階段練習）已知函數fx=xlnx-12mx2-xm∈R．
(1)若m=0，求函數fx的單調區(qū)間；
(2)若函數fx在0,+∞上是減函數，求實數m的取值范圍．
【解題思路】(1)先對函數f(x)求導，利用導數判斷函數的單調區(qū)間；
(2)已知函數fx在0,+∞上是減函數，可知知f'x≤0恒成立，利用參數分離法,求lnxx的最大值即可求解.
【解答過程】（1）當m=0時，fx=xlnx-x,x∈(0,+∞)，
f'x=lnx,∴f'(x)=0,x=1.
f'x0?x∈0,e，φ'xe知，
函數φx在0,e上遞增，在e,+∞上遞減，
∴φxmax=φe=1e，∴m≥1e．
18．（6分）（2022·上海市高二期末）求函數f(x)=13x3-x+2．
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；
(2)求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最值．
【解題思路】（1）求導，計算導數大于0的解為原函數的單調遞增區(qū)間，導數小于0為單調遞減區(qū)間，遞增遞減的轉折點為極大值點，遞減遞增的轉折點為極小值點；（2）由第一小問的單調性，寫出[-2,2]上的極值點和端點函數值，比較其大小可得最值.
【解答過程】（1）f(x)=13x3-x+2,∴ f'(x)=x2-1，
令f'(x)>0，得x1；令f'(x)0)，
則F'(x)=2x2+1x-3(x>0)，
令F'(x)=0，得x=1或x=-23（舍去）
當x∈(0,1)時，F'(x)>0，則F(x)單調遞增，
當x∈(1,+∞)時，F'(x)0，求證：2lnx1+3lnx2>8ln2-5
【解題思路】（1）由題知u'(x)=1x-a，進而分a≤0和a>0兩種情況討論求解即可；
（2）由題知lnx1=ax1-1lnx2=ax2-1，a=lnx1-lnx2x1-x2，進而將問題轉化為證2x1x2+3?lnx1x2x1x2-1>8ln2，再令x1x2=t，則t∈0,12，進而證明(2t+3)lntt-1>8ln2，再構造函數g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求解最小值即可證明.
【解答過程】（1）解：由已知u'(x)=1x-a，
當a≤0時，u'(x)≥0在(0,+∞)恒成立，u(x)在(0,+∞)上單調遞增；
當a>0時，由u'(x)=1x-a=0得x=1a，
若08ln2-5，
只需證明a2x1+3x2-5>8ln2-5，即證a2x1+3x2>8ln2，
只需證2x1+3x2lnx1-lnx2x1-x2>8ln2，即證2x1x2+3?lnx1x2x1x2-1>8ln2，
令x1x2=t，而x22-x1>0，則t∈0,12，只需證明(2t+3)lntt-1>8ln2，
令函數g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求導得：g'(t)=-5lnt+2t-3t+1(t-1)2
令函數h(t)=-5lnt+2t-3t+1，t∈0,12，
求導得h'(t)=2t2-5t+3t2=(t-1)(2t-3)t2>0，
則函數h(t)在0,12上單調遞增，于是有h(t)0，
若x0，
若x0，eax>1，所以f'x0，所以b?-xlnx對x∈1,+∞時恒成立，
令Gx=-xlnx(x>1)
G'x=1-lnx(lnx)2，令G'x>0，則1