青海省海東市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題(含答案)

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一、選擇題
1、已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2、( )
A.B.C.D.
3、若函數(shù),則( )
A.B.C.D.
4、如圖是一個(gè)算法的程序框圖,若輸入的,則輸出的( )
A.0B.1C.2D.3
5、已知雙曲線的離心率是，則雙曲線的離心率是( )
A.3B.C.D.
6、如圖,在直三棱柱中,,且分別是棱的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7、某電子廠質(zhì)檢員從A、B兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)檢,測(cè)得該產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)如下：;.若該產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi),則該產(chǎn)品質(zhì)量為優(yōu)等品,則( )
A.樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同
B.樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的平均值相同
C.樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的極差相同
D.樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)相同
8、已知,則( )
A.B.C.D.
9、在正四棱錐中,,則該四棱錐內(nèi)切球的表面積是( )
A.B.C.D.
10、已知函數(shù)(,且),則下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)
B.當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)
C.的單調(diào)性與a有關(guān)
D.若不等式的解集是,則
11、已知A,B均為拋物線上的點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),且,則直線AB的斜率為( )
A.B.C.D.
12、已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、解答題
13、已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若,,則_______________.
14、已知x,y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_________.
15、窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的前紙,它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022年虎年新春來(lái)臨之際,人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,中心為O,四個(gè)半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖2）,若P在的中點(diǎn),則___________.
16、已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則滿足的最小正整數(shù)x的值為_(kāi)______________.
17、在等比數(shù)列{}中,.
(1)求{}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
18、網(wǎng)購(gòu)是目前很流行也很實(shí)用的購(gòu)物方式.某購(gòu)物網(wǎng)站的銷(xiāo)售商為了提升顧客購(gòu)物的滿意度,隨機(jī)抽取100名顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,根據(jù)顧客對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站評(píng)分的分?jǐn)?shù)（滿分：100分）,按,,,,分成5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)顧客對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）;
(2)若采用分層抽樣的方法從對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分在和內(nèi)的顧客中抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人,求抽取的2人中恰有1人對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分在內(nèi)的概率.
19、如圖,在直三棱柱中,是等邊三角形,,D是棱AB的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面.
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
20、已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓W所截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓W的方程;
(2)直線與橢圓W交于A,B兩點(diǎn),連接交橢圓W于點(diǎn)C,若,求直線AC的方程.
21、已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)若在點(diǎn)A處的切線為,函數(shù)的圖象在點(diǎn)B處的切線為,,求直線AB的方程.
22、在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程是.
(1)求曲線C的普通方程,并說(shuō)明它表示何種曲線;
(2)若直線l與曲線C有公共點(diǎn),求a的取值范圍.
23、已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若恒成立,求a的取值范圍.
參考答案
1、答案：D
解析：解可得,所以.
所以.
故選：D.
2、答案：D
解析：.
故選：D
3、答案：C
解析：由題意可得,則.
故選：C.
4、答案：D
解析：由題意可得.
故選：D
5、答案：D
解析：由題意可得，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：D.
6、答案：A
解析：如圖,在棱上取一點(diǎn)F,使得,取的中點(diǎn)M,連接BM,DF,,
由于M,E分別是棱,的中點(diǎn),所以,故四邊形為平行四邊形,進(jìn)而,
又因?yàn)镈,F是BC,CM的中點(diǎn),所以,所以,則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.
設(shè),則,,
從而,,
,
故,
故異面直線與所成角的余弦值是.
故選：A.
7、答案：D
解析：對(duì)于A選項(xiàng),樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中,優(yōu)等品有3件,B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中,優(yōu)等品有4件,A錯(cuò);
對(duì)于B選項(xiàng),樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為
,
生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為
,B錯(cuò);
對(duì)于C選項(xiàng),樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為,
B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為,C錯(cuò);
對(duì)于D選項(xiàng),樣本中A、B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)均為1.46,D對(duì).
故選：D.
8、答案：C
解析：由,得.
因?yàn)?
故,即,
則.
故選：C
9、答案：C
解析：過(guò)點(diǎn)P作平面ABCD,則O為正方形ABCD的中心,連接OA,如圖,
因?yàn)?所以,所以,
則四棱錐的體積,
四棱錐的表面積.
設(shè)四棱錐內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,
由,可得,即,
解得,故四棱錐內(nèi)切球的表面積是.
故選：C.
10、答案：B
解析：當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,且.
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù),
所以在上是減函數(shù),則錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,且.
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù),
所以在上是增函數(shù),則正確;
定義域?yàn)镽,,
所以,為R上的偶函數(shù).
又由前面分析知,當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知,在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知,在上是減函數(shù).
所以,可知,當(dāng)且時(shí),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
從而的單調(diào)性與a無(wú)關(guān),故C錯(cuò)誤;
因?yàn)椴坏仁降慕饧?
由前面分析知,為R上的偶函數(shù). 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
所以,所以,解得或,則D錯(cuò)誤.
故選：B.
11、答案：A
解析：當(dāng)直線AB的斜率大于0時(shí),如圖,過(guò)A,B作準(zhǔn)線l的垂線,
垂足分別為D,E,過(guò)B作,G為垂足,
因?yàn)?所以可設(shè),,
因?yàn)锳,B均在C上,所以,,
,故,
則,
當(dāng)直線AB的斜率小于0時(shí),同理可得,
故直線AB的斜率為,
故選：A.
12、答案：A
解析：設(shè),則.
因?yàn)?所以,即,
所以在R上單調(diào)遞減.
不等式等價(jià)于不等式,即.
因?yàn)?所以,所以.
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減,所以,解得.
故選：A.
13、答案：
解析：由正弦定理,得.
故答案為：.
14、答案：2
解析：作出可行域,如圖所示,
畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)的圖像,
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí),取得最大值,
,解得,即,
所以的最大值為.
故答案為：2.
15、答案：8
解析：方法一：
圖3
如圖3,取BC中點(diǎn)為E,連結(jié)PO,顯然PO過(guò)E點(diǎn).
易知,,,
則,,.
所以,.
圖4
如圖4,延長(zhǎng)PO交AD于F,易知F是AD的中點(diǎn),且.
則,,
在中,,.
所以,.
所以,.
故答案為：8.
方法二：
圖5
取BC中點(diǎn)為E,連結(jié)PO,顯然PO過(guò)E點(diǎn).
易知,,,
如圖5,取AB中點(diǎn)為G,顯然,,.
在中,,.
又G為AB中點(diǎn),則.
所以,.
故答案為：8.
16、答案：1
解析：由題意得函數(shù)的最小正周期,
解得,
所以.
又,
所以,
即,
所以,
解得，
由,得,
所以,
所以，
由,
可得,
則或,
即或.
① 由,
可得,
解得,
此時(shí)正整數(shù)x的最小值為2;
② 由,
可得,
解得,
此時(shí)正整數(shù)x的最小值為1.
綜上所述,滿足條件的正整數(shù)x的最小值為1.
故答案為：1.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）由題設(shè),,則的公比,
所以.
（2）由（1）知：,
所以.
18、答案：(1)中位數(shù)為72
(2)
解析：（1）因?yàn)?
所以顧客對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分的中位數(shù)在內(nèi).
設(shè)顧客對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分的中位數(shù)為m,則,
解得,即估計(jì)顧客對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分的中位數(shù)為72.
（2）由頻率分布直方圖可知顧客評(píng)分在和內(nèi)的頻率分別是0.1和0.05,則采用分層抽樣的方法抽取的6人中,對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分在內(nèi)的有4人,記為a,b,c,d,對(duì)該購(gòu)物網(wǎng)站的評(píng)分在內(nèi)的有2人,記為e,f.
從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種.
其中符合條件的情況有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,共8種,
故所求概率.
19、答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：（1）證明：由直三棱柱的定義可知平面ABC.
因?yàn)槠矫鍭BC,所以;
因?yàn)槭堑冗吶切?,且D是棱AB的中點(diǎn),所以.
因?yàn)锳B,平面,且,所以平面.
因?yàn)槠矫?所以平面平面.
（2）連接,
由題意可得的面積.
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形,且D是棱AB的中點(diǎn),所以.
由（1）可知平面,則三棱錐的體積
因?yàn)镈是棱AB的中點(diǎn),且,所以,則.
由（1）可知平面,平面 ,則,
從而的面積.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,則三棱錐的體積.
因?yàn)?所以,解得,
即點(diǎn)到平面的距離為.
20、答案：(1);
(2)或.
解析：（1）由題意知,設(shè)過(guò)且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn),則,
解得,所以,所以.
因?yàn)闄E圓W的離心率,所以.
因?yàn)?所以,,故橢圓W的方程為.
（2）由題意知,直線AC不垂直于y軸,設(shè)直線AC的方程為,,,
聯(lián)立方程組消去x并整理得,
所以,,
所以
.
因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AC的距離,且O是線段AB的中點(diǎn),
所以點(diǎn)B到直線AC的距離為2d,
所以.
由,解得,所以,故直線AC的方程為,
即或.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）,
,則,
所以曲線在處的切線方程為,即.
（2）設(shè),令,則.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在時(shí)取得最大值2,即.
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,取得最小值2.
因?yàn)?所以,得，.
即,
所以直線AB的方程為,即.
22、答案：(1),曲線C表示圓的（右上的）
(2)
解析：（1）由（為參數(shù)）,得,
因?yàn)?所以曲線C的普通方程為.
故曲線C表示圓的（右上的）.
（2）由,得,
當(dāng)直線l與圓相切時(shí),,則,
當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.
結(jié)合曲線C的形狀可知,若直線l與曲線C有公共點(diǎn),則a的取值范圍是.
23、答案：(1)
(2)
解析：（1）因?yàn)?br>所以等價(jià)于或或
解得,故不等式的解集為.
（2）因?yàn)?
所以,所以或,
解得,故a的取值范圍是