中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型--旋轉(zhuǎn)“手拉手”模型

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?中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：
相似模型--旋轉(zhuǎn)“手拉手”模型（基礎(chǔ)+培優(yōu)）
一、單選題
1．如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，由“”可證，可得，，利用勾股定理分別求出，的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，
??
，
，
，
設(shè)，，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，與中，，，，交于D，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（????）個(gè)
??
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】通過證明，可判斷①；根據(jù)，，得出，即可判斷②；根據(jù)，得出，則，即可判斷③；根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，即可判斷④．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，故①不正確；
∵，，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，故④不正確，
綜上：正確的有②③，共2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，并熟練運(yùn)用．
3．如圖，已知，添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)分析即可得到答案．
【詳解】解：，
，即，
A、，
，
故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，
，
故此選項(xiàng)不符合題意；
C、由，
不能得到，
故此選項(xiàng)符合題意；
D、，
，
故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
4．如圖，在矩形中，，，將矩形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，其中交于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F，連接，，，則的值為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，求得，，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，即可求得．
【詳解】∵四邊形是矩形，，，
∴，
∵矩形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，
∴，
∵，
∴
∴為等腰直角三角形
∴
同理為等腰直角三角形
∴
∴
∴
又∵，，，
∴
∴
∴，
∴
∴
在中，
∴
故
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
5．如圖，已知和有公共頂點(diǎn)，且，，，則 度．
??
【答案】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)題意證明，得到，得到，從而證明，進(jìn)而得到．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，即，
，且，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形找到相似三角形并證明是解答本題的關(guān)鍵．
6．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝2，連接AF，BD，在正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD+AD的最小值為 ．

【答案】/
【分析】在AC上截取一點(diǎn)M，使得CM=．利用相似三角形的性質(zhì)證明DM=AD，推出BD+AD=BD+DM，推出當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，即可解決問題；
【詳解】解：如圖，在AC上截取一點(diǎn)M，使得CM=．連接DM，BM．

∵CD=2，CM=，CA=3，
∴CD2=CM?CA，
∴，
∵∠DCM=∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴，
∴DM=AD，
∴BD+AD=BD+DM，
∴當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，
∴最小值=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
7．如圖，在和中，，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線，交于點(diǎn)F，連接，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，證明，進(jìn)而推出，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形中位線定理以及斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出，進(jìn)而求出的最小值．
【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，

則，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴，
∴的最小值為：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，斜邊上的中線．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．

三、解答題
8．若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．
????
(1)知識(shí)理解：
如圖①，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．
①若，，，則 ；
②若，，，則 ；
(2)知識(shí)運(yùn)用：
如圖②，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；
(3)拓展提高：
如圖③，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求．
【答案】(1)①27°；②
(2)見解析
(3)

【分析】（1）①依據(jù)和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可得到；
②依據(jù)，可得，根據(jù)，，，即可得出；
（2）依據(jù)，即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，，即可得到，進(jìn)而得出和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；
（3）利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【詳解】（1）①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，
，
，
又，，
；
②，
，
，，，
，
，
故答案為：；；
（2），，
，
，即，
又，
，
，
又，，
，
，
，
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與構(gòu)成位似圖形，
和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；
（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
由題意得：，
，
，
，
，
由勾股定理可得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．在解答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．
9．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：
??
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．求證：．
(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接．判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為12，，求正方形的邊長．
【答案】(1)證明見解答過程
(2)和的數(shù)量關(guān)系為：；理由見解答過程
(3)

【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；
（2）證明，則，由得到，則，即可證明結(jié)論；
（3）連接，證明，得到，求出，設(shè)，則，在中，，則，求出，即可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵與都是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：和的數(shù)量關(guān)系為：；
理由如下：
在等腰中，，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接，如圖3所示：
??
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴正方形的邊長．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖1，中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中是點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，且，連接，．
??
(1)求證：；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的面積；
【答案】(1)見詳解
(2)

【分析】（1）可證，從而可證，可得，可求，即可得證；
（2）過作交于，可求，可證，可得，可求，即可求解．
【詳解】（1）證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
．
（2）解：如圖，過作交于，
??
由旋轉(zhuǎn)得：，
，，
，
，
，
由（1）同理可證，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
，

，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，面積轉(zhuǎn)化，掌握性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．
11．（1）問題發(fā)現(xiàn)，如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，連接．
??
(1)①求的值；
②求的度數(shù)．
(2)拓展探究，如圖2，在中，．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，連接，請判斷與的數(shù)量關(guān)系以及與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①1；②
(2)，，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到；
（2）根據(jù)已知條件得到，由相似三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
【詳解】（1），，
，
，
，，
，
，
在與中，
，
，
，，
，
故答案為：1，；
（2），；
理由是：，，
，
，
，
，
，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，點(diǎn)A在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點(diǎn)P、M．求證：
??
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）由題意可得，，，即可證；
（2）由可得，即可證，可得．
【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
13．（1）如圖①在內(nèi)，，，D是內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合．D旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連接、，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，如圖②，當(dāng)，延長交于點(diǎn)F，若，時(shí)，求的長．
（3）如圖③，在和中，，，連接、填空：
①線段與的數(shù)量關(guān)系是______________；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E到的距離的長為2，則線段的長為__________．

【答案】（1），理由見解析（2）；（3）①；②
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)一步證明即可證明；
（2）要求的長，根據(jù)矩形的判定定理可得四邊形是矩形，則，在中根據(jù)勾股定理可求得的長，根據(jù)，，即可求解；
（3）①要求線段與的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；②要求線段的長，在中求出的長，再根據(jù)即可求解．
【詳解】解：（1），理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得
∵，
∴，
∴．
（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴；

（3）①∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

②∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．在中，，．點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．

(1)【猜想觀察】如圖①，若，交于點(diǎn)，則的值是______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是______；
(2)【類比探究】如圖②，若，與，分別相交于點(diǎn)，，求的值及的度數(shù)；
(3)【解決問題】如圖③，當(dāng)時(shí)，若，，三點(diǎn)在同一直線上，且，交于點(diǎn)，，求的長．
【答案】(1)，
(2)；
(3)

【分析】（1）延長交于，根據(jù)證，即可得出，然后根據(jù)角相等得出即可；
（2）先證，根據(jù)線段比例關(guān)系得出的值，然后根據(jù)角的等量代換得出，即可，
（3）設(shè)，則，證，根據(jù)比例關(guān)系得出方程求解即可．
【詳解】（1）解：延長交于，

，
，，
，
，
即，
在和中，

，
，
，
在和中，且，
，
故答案為：，；
（2）線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
是等腰直角三角形，
，，

，，
，


又，
即，
，


，，
；
（3）設(shè)，則，
，


，
，
，
，
，
又，
，

即，

解得或（舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
15．已知和都是等腰三角形，，．
??
(1)當(dāng)時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：　 　；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)不在邊上時(shí)，判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：　 ??；
(3)在（1）的條件下，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長度．
【答案】(1)①；②，見解析
(2)
(3)或

【分析】（1）①根據(jù)題意可得，，進(jìn)而得出答案；
②運(yùn)用“”證明即可得出結(jié)論；
（2）證明即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論即可：①點(diǎn)D在的上方；②點(diǎn)D在的下方；進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：①∵和都是等邊三角形，
∴，，
∴．
故答案為：；
②．
理由如下：
∵和都是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2），
在等腰直角三角形中：，
在等腰直角三角形中：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）分兩種情況討論：①如圖（1），點(diǎn)D在的上方，
??
延長交于點(diǎn)H，
∵，，
∴為的中垂線，
∴，
∴，，
∴，
由（1）可知；
②如圖（2），點(diǎn)D在的下方．
??
同理可得，
∴．
綜上所述，AD的長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型是解本題的關(guān)鍵．
16．某校數(shù)學(xué)興趣小組在一次學(xué)習(xí)活動(dòng)中，對一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：
??
(1)發(fā)現(xiàn)問題∶如圖1，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，使，，連接，求證：．
(2)類比探究：如圖2，在等腰中，，，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，M是正方形的中心，連接，若正方形的邊長為12，，求的面積．
【答案】(1)詳見解析
(2)存在最小值，5
(3)

【分析】（1）由，推證 進(jìn)而證得，從而．
（2）連接，易證，得，再證，從而??，得，確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑，即N在的邊上運(yùn)動(dòng)，由垂線段最短及直角三角形性質(zhì)知時(shí)，最小，的最小值==5；
（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，如圖，由正方形性質(zhì)可證得 ，，所以 ，于是， ；設(shè)由勾股定理求得 ，在中，，進(jìn)一步求得三角形面積．
【詳解】（1）解：∵
∴
∴
??
∵．
∴．
???∴．
（2）存在最小值．
理由：連接，在等腰與等腰中

∴
??
∴
∴
∵
∴
∴??
∴
∴點(diǎn)N在的邊上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，最小，的最小值==5
（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P如圖，
∵M(jìn)為正方形的中心，
∴．
??
∵四邊形為正方形
∴．
∴．
∴
∵
∴
∴，
設(shè)
∵
由勾股定理得：
解得： ， (舍去)
∴
在中，，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、正方形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等；能夠靈活根據(jù)題設(shè)條件求證三角形相似，進(jìn)而得到線段、角的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師提出了一個(gè)問題：在矩形中，，，在邊上取一點(diǎn)M使，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度到，以為邊作矩形（如圖1所示），，連接、交于點(diǎn)N．
??
(1)求證：．小明經(jīng)過思考后，很快得到了解題思路：先用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明，然后根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可證明，從而得到．請你按照他的思路完成證明過程．
(2)連接，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)（如圖2），求的值．
(3)連接（如圖3），當(dāng)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)是一個(gè)定值，請求出這個(gè)值．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)是一個(gè)定值，定值為325．

【分析】（1）利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明，推出，再利用“直角三角形兩銳角互余”可證明，即可證明；
（2）分別過點(diǎn)B、D作直線的垂線，垂足分別為Q、P，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)有勾股定理求得、的長，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）由（1）得，利用勾股定理推出等于，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形和都是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
??
（2）解：分別過點(diǎn)B、D作直線的垂線，垂足分別為Q、P，
??
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：連接，
??
∵，，，，
∴，，
由（1）得，
∴

，
∴是一個(gè)定值，定值為325．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)有勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．
18．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究與角的度數(shù)、線段長度有關(guān)的問題．對直角三角形紙片進(jìn)行如下操作：
??
【初步探究】如圖1，折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開鋪平，則與位置關(guān)系為_______，與的數(shù)量關(guān)系為_______；
【再次探究】如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，求的值；
【拓展提升】在（2）的條件下，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)時(shí)，求的長．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）先由折疊的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，進(jìn)一步證明，即可得到；
（2）由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，則，證明，即可得到；
（3）分如圖3-1和圖3-2兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：（1）∵折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）在中，由勾股定理得，
由（1）可得，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，延長交于T，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：；
??
如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作于H，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
??
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在中，，，點(diǎn)D在射線上，連接，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．
??
(1)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，
①如圖1，當(dāng)時(shí)，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______，______°；
②如圖2，當(dāng)時(shí)，請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
(2)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)①，；②，理由見解析
(2)，理由見解析

【分析】（1）①首先根據(jù)題意證明和是等邊三角形，然后證明出，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；
②首先證明出和是等腰直角三角形，然后證明出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）設(shè)，則，，然后根據(jù)勾股定理求出，然后利用等面積法求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）①∵將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：，；
②∵，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如圖所示，
??
∵，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，即，
∴解得，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
20．如圖，在和中，．
??
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）由，可得出，結(jié)合，可證出；
（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合，可求出的長．
【詳解】（1）證明：，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”；（2）牢記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”．
21．問題背景：如圖（1），已知，求證：；
嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，求；
拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，請直接寫出的值．
??
【答案】問題背景：見解析
嘗試應(yīng)用：3
拓展創(chuàng)新：4
【分析】問題背景：由題意得出，，則，可證得結(jié)論；
嘗試應(yīng)用：連接，證明，由（1）知，由相似三角形的性質(zhì)得出，，可證明，得出，則可求出答案；
拓展創(chuàng)新：過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，由直角三角形的性質(zhì)求得，由勾股定理求得，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，求出，再根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】問題背景：證明：，
，，
，，
；
嘗試應(yīng)用：解：如圖1，連接，
??
，，
，
由（1）知，
，，
在中，，
，
，
，，
，
；
拓展創(chuàng)新：解：如圖2，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，
??
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
在中，．
【點(diǎn)睛】此題考查相似形的綜合應(yīng)用，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
22．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．
??
(1)如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；
(2)如圖2，點(diǎn)在延長線上，求證： ；
(3)如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)證明過程見詳解
(3)，理由見詳解

【分析】（1）先判斷出，利用等角的余角相等判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義判，進(jìn)而判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，同（1）的方法得，，得出，得出比例式，進(jìn)而得出，再用勾股定理得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
??
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：，理由如下，
如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
??
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
同（1）的證明方法得，，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形、矩形、直角三角形的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
23．原題再現(xiàn)：小百合特別喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天萬老師給她這樣一個(gè)幾何問題：
和都是等邊三角形，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置，求證：小百合很快就通過≌，論證了．
??
(1)請你幫助小百合寫出證明過程；
遷移應(yīng)用：小百合想，把等邊和等邊都換成等腰直角三角形，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置，其中，那么和有什么數(shù)量關(guān)系呢？
(2)請你幫助小百合寫出結(jié)論，并給出證明；
(3)如圖，如果把等腰直角三角形換成正方形，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出的長度．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
(3)或

【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出；
（2）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況畫出圖形，證明，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．
【詳解】（1）證明：和分別是等邊三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
（2），
證明：，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
，
；
（3）如圖，連接，
??
由知∽，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，，三點(diǎn)共線．
，
，
；
如圖，連接，
??
由知∽，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，，三點(diǎn)共線．
，
，
；
綜上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的長度為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
24．問題情境：
如圖①，正方形的邊長為，點(diǎn)在對角線上，，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，．
??
數(shù)學(xué)思考：
(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(2)將圖一中的四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖②連接，，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)四邊形是正方形，理由見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)已知條件證明四邊形是矩形，是等腰直角三角形，進(jìn)而即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，然后得出，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）四邊形是正方形，理由如下，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是正方形；
（2）∵四邊形是正方形，四邊形是正方形；
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．綜合與實(shí)踐
問題情境：如圖1，在中，，，．點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接
??
(1)特例分析：在圖1中，的長為 ，的值為 ．
(2)拓展探究：將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)分別在和的延長線上時(shí)，的值為 ；
②當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的外部時(shí)，得到圖2，判斷此時(shí)的值是否變化，請說明理由；
(3)問題解決：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，，三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出的長．
【答案】(1)，
(2)①；②見解析
(3)或

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求得的長，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．
（2）①證明，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而可得，代入數(shù)據(jù)即可求解；②證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，，，．
∴，分別是邊，的中點(diǎn)，；
∴
∴，；
故答案為：，．
（2）①如圖所示，
??
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)分別在和的延長線上時(shí)，的大小沒有變化，
∵，
∴
∴，則，
∴
故答案為：
②如圖2，
??
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的外部時(shí)，的大小沒有變化，
，
，
又，
，
．
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
∵，
??
在中，，則，
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖所示，
??
同理可得，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
26．已知：四邊形和都是正方形．
????
(1)如圖1，若點(diǎn)C在對角線上，則的值為 ；（直接寫結(jié)果）
(2)將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，連接．的值是否改變？若不改變，寫出理由；若改變，寫出新的值及理由；
②當(dāng)，時(shí)，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，且，求的長．
【答案】(1)
(2)①不變，理由見解析；②

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，，則，又由，即可得到的值；
（2）①正方形的性質(zhì)得到，又由即可，則，即可得到解答；
②當(dāng)時(shí),即，可證明B、A、F三點(diǎn)在同一直線上，C、A、G三點(diǎn)在同一直線上．證明，得到，得到，則．連接，過點(diǎn)G作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)O．則，可證是等腰直角三角形，證明，則，，則，可證明是等腰直角三角形，則．則，得到．則,由勾股定理即可得到的長．
【詳解】（1）解：∵四邊形和都是正方形，
∴，
∴，
,
∴，
∵，
∴，
故答案為：
（2）①不變．理由如下：
∵四邊形和都是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
由（1）可知，,
∴，
∴，
∴，
即的值不改變；
②如圖：當(dāng)時(shí),即，
??
∵四邊形和都是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴B、A、F三點(diǎn)在同一直線上，C、A、G三點(diǎn)在同一直線上．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
連接，過點(diǎn)G作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)O．則，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴．
∴．，
∴．
∴，
∵，
∴,
∴是等腰直角三角形，．
∴．
∴．
∴．
∴,
在中，．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．如圖①，正方形和正方形，連接，．
??　　??　　??
(1)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖②，①線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線之間的位置關(guān)系是________．
(2)探究：如圖③，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，證明：直線．
(3)應(yīng)用：在（2）情況下，連接（點(diǎn)在上方），若，且，，則線段是多少？（直接寫出結(jié)論）
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)

【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；
（2）先利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等判斷出，得出，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；
（3）先求出，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出，求出，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①∵四邊形和四邊形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如圖2，延長交于M，交于H，
??
由①知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）∵四邊形和四邊形都為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖4，（為了說明點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條線上，特意畫的圖形）
??
∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上如圖5，
??
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出三角形全等和相似是解本題的關(guān)鍵．
28．如圖，已知中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，且．
??
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）可證，，從而可得，即可得證；
（2）可得，，從而可證，即可得證．
【詳解】（1）證明：，
∴，，
，
，
，
．
（2）證明：，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在和中，，．
????
(1)求證：．
(2)若點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，且，連接，求的值．
(3)若在和中，，點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，且，連接，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)

【分析】（1）先利用等式的性質(zhì)得到，再證明，得到，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似即可求證．
（2）利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明，利用對應(yīng)邊成比例即可求解．
（3）先證明，再證明都是等腰直角三角形，接著得到，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴都是等邊三角形，
∴它們的每個(gè)內(nèi)角都是，
∵點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即
又∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確判定相似三角形．
30．【問題提出】
某數(shù)學(xué)興趣小組展示項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究主題：已知四邊形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，探究與的數(shù)量關(guān)系．
【問題探究】
探究一：若四邊形為正方形
（1）如圖1，正方形中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．則的值為______；
（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，試求的值；
探究二：若四邊形為矩形
如圖3，矩形中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，．
（3）將圖3中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，請?jiān)趫D4中補(bǔ)全圖形，并探究此時(shí)的值；
【聯(lián)系拓廣】
（4）如圖3，矩形中，若，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，請直接寫出的值．
??
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可知進(jìn)而可知，，最后利用線段的和差關(guān)系即可解答；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可知進(jìn)而可得，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答；
（4）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：（1）∵是正方形的對角線，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為；
（2）∵是正方形的對角線，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
∴，
∴，
即；
（3）補(bǔ)全圖形后如圖，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴，
即，
即 ；
（4）∵四邊形是矩形，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，
∴，
∴，
∴，
即．
??
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
31．【初步感知】如圖①，和都是等邊三角形，連結(jié)，．易知：（不用證朋）；
??
【深入探究】如圖②，和是形狀相同，大小不同的兩個(gè)直角三角尺，其中，，連結(jié)、．
(1)求的值；
(2)延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則______°；
(3)【拓展提升】如圖③，和都是直角三角形，，且，連結(jié)，．延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則______．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)60
(3)

【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；　
（2）由可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（3）先證可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在中，，
，即，
同理，，
，
又，
，
即，
，
；
（2）解：，
，
，，
；
故答案為：60；
（3）解：，，
，
，，
，
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
32．如圖，正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)H，連結(jié)．
??
(1)寫出和的數(shù)量關(guān)系，并證明．
(2)求證：
(3)連接，若正方形的邊長為6，求出的最小值．
【答案】(1)，詳見解析
(2)詳見解析
(3)

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，可證明，即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再證明，可得，即可；
（3）證明，可得，從而得到A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，連接交于點(diǎn)O，當(dāng)E與C重合時(shí)，F(xiàn)與O重合，此時(shí)最小，再由勾股定理求出，即可．
【詳解】（1）解：結(jié)論：，
證明：∵四邊形，四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵四邊形，四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四邊形，四邊形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，????
∴，
∴，
∴A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，
連接交于點(diǎn)O，當(dāng)E與C重合時(shí)，F(xiàn)與O重合，此時(shí)最小，
??
∵正方形的邊長為6，
∴，
∴最小值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．矩形中，，是邊上一點(diǎn)，以為邊在矩形在內(nèi)部構(gòu)造矩形．
??
(1)特例發(fā)現(xiàn)
如圖，當(dāng)時(shí)， ；
(2)類比探究
如圖，如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)拓展運(yùn)用
如圖，矩形在旋轉(zhuǎn)的過程中，落在邊上時(shí)，若、、三點(diǎn)共線，時(shí)，當(dāng)時(shí)，則的長為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，由矩形的性質(zhì)可得，，由線段和差關(guān)系可求，即可求解；
（2）通過證明，可得；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可求，的長，由勾股定理可求的長，通過證明，可求解．
【詳解】（1）解：如圖，延長交于，
??
，
，，
矩形和矩形是正方形，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖，連接，，
????
，
，，
矩形和矩形是正方形，
，，，
，，
∴
；
（3）解：，，
設(shè)，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
34．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M．
（1）求證：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ACD=∠AFG=45°，進(jìn)而根據(jù)對頂角的性質(zhì)得∠CFM=∠ACM，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；
（3）由已知條件求得正方形ABCD的邊長，進(jìn)而由勾股定理求得AM的長度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，進(jìn)而求得正方形AEFG的對角線長，便可求得其邊長．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM=45°，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC=AB，
同理可得AF=，
∴，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM=，
∵△MFC∽△MCA，
∴，即，
∴FM=，
∴AF=AM﹣FM=，
∴AF=，
即正方形AEFG的邊長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問題．
35．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．

（1）①求證：；
②若，求的長；
（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；
（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）
【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．
【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；
②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；
【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴，
∵
∴
在Rt△CDE中，
根據(jù)勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，
∴
（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，

∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，
∴或（舍），
（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

∵AD=p，BD=n，
∴，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，，
∵，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．
36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．
觀察猜想：

（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為　　，直線CD與 AP所成的較小角的度數(shù)為　　°；
類比探究：
（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；
拓展應(yīng)用：
（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H. 若CD＝2＋，求BD的長．
【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．
【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與 AP所成的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與 AP所成的度數(shù)；
（3）延長CA，BD相交于點(diǎn)K， 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長．
【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB
∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，
∴△BDP是等邊三角形，
∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴=1
如圖，延長CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案為：1，60；

（2）解：如圖，延長CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.
∴＝，∠ABC＝∠PBD.??
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.??
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.??
即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.
(3)延長CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.

∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，
∴PFBC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.????????
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.
∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，
∴∠K＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝AP，
∴AP＝.
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.
∴x＝1.
∴BD＝．
【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．
37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．
（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；
（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或
【分析】（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；
（2）過點(diǎn)作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時(shí)，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC
∴△ABC為等邊三角形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴△PBD為等邊三角形
∴，
∴
在和中

∴
∴
（2）過點(diǎn)作，如下圖：

∵當(dāng)α＝120°時(shí)，
∴，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長度
當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：

由題意可得：
∵α＝120°，
∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得
則
當(dāng)在線段延長線上，如下圖：

則，
由（2）得，
設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得
則
綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．

(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；
(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；
(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．
【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析
(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是

【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；
（2）先證明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．
【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=
∴ AD＝BE．
故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，
∴，
∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°，???
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，
如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，

∵BE是⊙C切線，
∴CE⊥BE，
∵＝，
∴∠EBC＝30°，???
∴∠GBP＝30°，??
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，????
∴∠BGP＝120°，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，
∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝BP＝．????
∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
39．已知，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點(diǎn)F,使，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．．
??
(1)如圖（1），當(dāng)，求的值．
(2)如圖2，若，求m關(guān)于n的數(shù)量關(guān)系．
(3)若旋轉(zhuǎn)至A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．

【分析】（1）如圖1，過作，交的延長線于，先證明四邊形是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求出m、n的值，即可求解；
（2）如圖2，連接，先后利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明、，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過作，交的延長線于，
??
四邊形是矩形，
，，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案為：；
（2）如圖2，連接，
??
在中，由勾股定理得：，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，存在兩種情況：
①如圖3，連接，
??
在中，由勾股定理得：，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
②如圖4，連接，
??
同理得：，
，，
，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形相似是解題關(guān)鍵．
40．綜合與實(shí)踐
問題情境
在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形和正方形中，點(diǎn)G，A，B在一條直線上，連接，（如圖1）．
??　??　??　??
操作發(fā)現(xiàn)
（1）圖1中線段和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否成立？請僅就圖2的情況說明理由．
類比探究
（3）如圖3，若將圖2中的正方形和正方形中都變?yōu)榫匦?，且，，請僅就圖3的情況探究與之間的數(shù)量關(guān)系．
拓展探索
（4）在（3）的條件下，若，，矩形在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線時(shí)，請直接寫出的值．
【答案】（1）；；（2）成立；理由見解析；（3）；（4）或
【分析】（1）延長交于點(diǎn)H，證明，得出，，求出，即可證明結(jié)論；
（2）延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，證明，得出，，求出，即可證明結(jié)論；
（3）延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，證明，得出，求出即可；
（4）分兩種情況討論，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：（1）延長交于點(diǎn)H，如圖所示：
????
∵四邊形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：；．
（2）成立；理由如下：
延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，如圖所示：
????
∵四邊形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：；．
（3）延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，如圖所示：
????
∵四邊形和都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
（4）當(dāng)在線段上時(shí)，如圖所示：
??
∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)解析（3）可知，，
∴；
當(dāng)在線段上時(shí)，如圖所示：
????
∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)解析（3）可知，，
∴；
綜上分析可知，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意進(jìn)行分類討論．
41．轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法之一，它可以在數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形之間靈活應(yīng)用．
如圖1，已知在中，，，．請解答下面的問題：
??
(1)基礎(chǔ)鞏固
如圖1，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則與之間的數(shù)量關(guān)系是__________；
(2)拓展探究
如圖2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．
①求證：；
②用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題解決
點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請直接寫出點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)的長．
【答案】(1)
(2)①見解析；②，理由見解析
(3)的長為或．

【分析】（1）證明是等邊三角形，即可得到結(jié)論；
（2）①利用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，可證明；②證明是等邊三角形，在中，利用勾股定理求得的長，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）分兩種情況分析，A、Ｍ、Ｎ三點(diǎn)所在直線與不相交和與相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可求得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，
∴是等邊三角形，
∴；
故答案為：；
（2）①證明：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
．
．
；
②解：．
理由如下：如圖，連接，
??
，，
．
，
是等邊三角形．
，．
．
．
在中，由勾股定理得
．
．
由①得，．
．
；
（3）解：①如圖所示，
??
∵，，，
∴，，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如圖所示，
??
同理，，
∴，
∴；
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
42．綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展教學(xué)活動(dòng)．
【操作判斷】
??
如圖①，在矩形中，，點(diǎn)M，P分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合）且，以 和 為鄰邊作矩形，連接，．
（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為 ，與的數(shù)量關(guān)系為 ．
【遷移探究】
（2）如圖③，當(dāng)時(shí)，天天先將矩形繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再連接，則CN與之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，已知，，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長．
【答案】（1），；（2）；（3）線段的長為或
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，所以，再證明，，三點(diǎn)在同一條直線上，由勾股定理得，，所以，于是得到問題的答案；
（2）先證明，得，，則
，，即可證明，再根據(jù)勾股定理求得，則
，所以；
（3）分兩種情況，一是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，由勾股定理求得，則；二是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長線上，由勾股定理求得，則．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
，
，
四邊形和四邊形都是正方形，
，，，
，，
，
，，三點(diǎn)在同一條直線上，
，，
，，
，
故答案為：，；
（2）發(fā)生變化，，
理由：如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，則，，
??
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3），，
，，，，
如圖4，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，
??
，
，
，
如圖5，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長線上，
??
，
，

綜上所述，線段的長是或．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題關(guān)鍵．
43．在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、、．
??
(1)當(dāng)時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的邊上時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關(guān)系是_______________；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，①中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請證明結(jié)論，若不成立，說明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，
①如圖3，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若點(diǎn)，，在一條直線上，且，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，求的值．
【答案】(1)①；②成立，證明見解析；
(2)①，理由見解析；②或

【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定，易證和是等邊三角形，得到，，，再利用“”證明，即可得到與的數(shù)量關(guān)系；
②由①可知，和是等邊三角形，進(jìn)而證明，得到，即可證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定，易證和是等腰直角三角形，得到，，，進(jìn)而得到，，易證，從而得到，即可得到與的數(shù)量關(guān)系；
②設(shè)，則，根據(jù)等腰直角的性質(zhì)，得到，，分兩種情況討論：點(diǎn)在上和點(diǎn)在的延長線上，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求解，即可求出，的值．
【詳解】（1）解：①，，
是等邊三角形，
，，
線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
②成立，理由如下：
由①可知，和是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
，，
是等腰直角三角形，
，，
線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
；
②，
設(shè)，則，
，，
是等腰直角三角形，
，，
如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，
??
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，是等腰直角三角形，
，，
，，
由勾股定理得：，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，此時(shí)，
??
同理可知，，，
由勾股定理得：，
，
綜上可知，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論的思想，熟練掌握手拉手—旋轉(zhuǎn)型全等是解題關(guān)鍵．
44．【問題呈現(xiàn)】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，連接．求證：．
??
【類比探究】
（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接．請直接寫出的值．
????
【拓展提升】
（3）如圖3，和都是直角三角形，，且．連接．
????
①求的值；
②延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）；
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，由證明，即可得到；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；
（3）由是直角三角形，可得，通過證明得到，從而得到，即可推出，最后由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；由得，，，得到，由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等可得，從而得到．
【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
（3）是直角三角形，，
令，則，
，
和都是直角三角形，，且，
，
，
，
，
，
，
由得，，，
，
，
，，，
，即，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理，是解題的關(guān)鍵．
45．【感受與猜想】
??
(1)如圖，四邊形和四邊形均為正方形，點(diǎn)正好落在對角線上．試猜想與的數(shù)量關(guān)系：__．
【探究與證明】
(2)如圖，四邊形和四邊形均為正方形，正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角()，連結(jié)，．()中的結(jié)論是否還成立，若成立，請給出證明．
【拓展與延伸】
(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，以為底邊向下作等腰直角三角形．
①若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
②若點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，已知，求的長．
【答案】(1)；(2)成立，證明見解析；(3)①；②
【分析】（1）由四邊形和四邊形均為正方形，得，，即可得；
（2）連接，，由四邊形和四邊形均為正方形，可得，，，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；
（3）①連接，過作軸于，求出，，知是等腰直角三角形，而是等腰直角三角形，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)的等腰直角三角形，可得，即可求解；
②連接，過作軸于，同①得出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線函數(shù)表達(dá)式，把即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形和四邊形均為正方形，
，，
，
即；
故答案為：；
（2）（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：
連接，，如圖：
??
四邊形和四邊形均為正方形，
，
，
，
，
，
（3）①連接，過作軸于，如圖：
??
在中，令得，令得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
②連接，過作軸于，如圖：
??
為的中點(diǎn)，
，
，
同①可得，
，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
設(shè)的解析式為，
，
解得：，
直線表達(dá)式為，??
把，代入得，
解得：，
．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
46．如圖1所示，矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線，相交于點(diǎn)P．

（1）若，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋至如圖2所示的位置上，則線段與的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______．
（2）若將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說明理由．
（3）若，，將旋轉(zhuǎn)至?xí)r，請直接寫出的長．
【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF；
（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明見祥解；
（3）滿足條件的PD的值為6﹣5或6＋5．
【分析】（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF．證明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）分兩種情形畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.
【詳解】解：（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案為：BE＝DF，BE⊥DF；

（2）如圖3中，結(jié)論不成立，結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AD＝nAB，即AF＝nAE，
∴AF∶AE=AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n：1，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；

（3）如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在BE的延長線上時(shí)，
在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，
∴BE＝＝5，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝6，
∵四邊形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝5，
∴PD＝DF﹣PF＝6﹣5；
如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，
在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，
∴BE＝＝5，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝6，
PF＝AE＝5，
∴PD＝DF＋PF＝6＋5，
綜上所述，滿足條件的PD的值為6﹣5或6＋5.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，注意應(yīng)用分類思想解決問題， 是一道較難的幾何綜合題.
47．如圖1，正方形的邊長為5，點(diǎn)E、F分別是邊、上一點(diǎn)，且四邊形為邊長為2的正方形，連接．

（1）在圖1中，求的值；
（2）將圖1中的正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，探究的值是否變化？若不變，請利用圖2求出該值；若變化請說明理由；
（3）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，求的長．
【答案】（1）；（2）不變，；（3）或
【分析】（1）延長EG交AD于H，解直角三角形求出DH，GD即可解決問題；
（2）連接BD，BG，證明△CBE∽△DBG即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)G落在DE的延長線上時(shí)，利用勾股定理及（2）的結(jié)論即可解答，②當(dāng)點(diǎn)G落在DE上時(shí)，同法可求解．
【詳解】解：（1）延長交于點(diǎn)H；
∵四邊形ABCD，四邊形BEGF為正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，BE=EG=GF=FB=2，AB∥EG，AD∥BC∥FG，
∴AH=BE=2，DH=CE=BC=BE=3，GH=AF=AB=BF=3，GH⊥AD，
在Rt△DGH中，；
∴；
∴

（2）連接，；
∵四邊形ABCD，四邊形BEGF為正方形，
∴∠DBC=∠DBA=45°，∠GBE=45°，；
∴∠DBC+∠EBD=∠GBE+∠EBD，即∠CBE=∠DBG，
∵BC=5，BE=2，
∴，；
∴；
∴
∴
∴，
∴
即的值不變，

（3）①當(dāng)點(diǎn)G在線段延長線上時(shí)，（如圖1）

由（2）知：，∴．
在中，，，
∴，
∴

②當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，（如圖2）

由（2）知：∴，∴．
在中，，，
∴，
∴

綜上：或
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
48．如圖，在中，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，連接AD．
(1)如圖1，點(diǎn)E恰好落在線段AB上．
①求證：；
②猜想和的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，若，，求CF的長．

【答案】(1)①見解析；②，理由見解析
(2)3或

【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，根據(jù)相似的判定定理即可得證；
②由旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)得，由得，故，代換即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)，作于H，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，則，由旋轉(zhuǎn)可證，由相似三角形的性質(zhì)得，即，由此可證，故，求得，分情況討論：①當(dāng)線段BE交AC于F時(shí)、當(dāng)射線BE交AC于F時(shí)，根據(jù)相似比求出x的值，再根據(jù)勾股定理即可求出CF的長．
【詳解】（1）①∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴，，
∴；
②，理由如下：
∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
設(shè)，作于H，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，則，
∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴

①當(dāng)線段BE交AC于F時(shí)，
解得，（舍），
∴，

②當(dāng)射線BE交AC于F時(shí)，
解得（舍），，
∴，
綜上，CF的長為3或．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，BDBC，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至DE，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF．

(1)如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，請直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；
(2)當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，
①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，當(dāng)BC＝10，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，求線段AF的長．
【答案】(1)；
(2)①仍然成立，理由見解析；②2．

【分析】（1）根據(jù)題意得BD=DE=EC=BC，進(jìn)而可得△ABC∽△FEC，得出，由BC=AC，推出，即可得出答案；
（2）①可證得△ACF∽△BCE，從而得出結(jié)果；
②作DG⊥BF于G，可推出△BDG∽△BCF，進(jìn)而得出BG=BF，DG=CF，進(jìn)一步得出DG=BG，進(jìn)而在Rt△BDG中根據(jù)勾股定理求得BG，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【詳解】（1）當(dāng)α=180°時(shí)，點(diǎn)E在線段BC上，
∵BD=BC，
∴DE=BD=BC，
∴BD=DE=EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=∠BAC=90°，
∵∠ECF=∠BCA=45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∴，
∵BC=AC，
∴，
∴，即，
∴；
（2）①仍然成立，
理由如下：
如圖2，∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°，=，
∴∠ECF=∠BCA，，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∵，
∴△CAF∽△CBE，
∴，
∴仍然成立．
②如圖，

作DG⊥BF于G，
∴∠BGD=90°，
∵∠CFE=90°，
∴DG∥CF，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∴BG=BF，DG=CF，
∵BD=DE，
∴BG=GE，
∴EF=GE=BG，
∵EF=CF，
∴DG=BG，
在Rt△BDG中，
BG2+DG2=BD2，
∴BG2+（BG）2=（）2，
∴BG=，
∴BE=2，
由（2）得：AF=BE，
∴AF=2×=2．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．
50．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形且，點(diǎn)E線段BD上．

(1)連接DG，求證：∠BDG＝90°；
(2)連接DF，當(dāng)AB＝AE時(shí)，求證：DF＝FG；
(3)在（2）的條件下，連接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)

【分析】（1）利用兩邊成比例且夾角相等，可證明△ABE∽△ADG，得∠AEB＝∠AGD，再利用EF∥AG，得∠EMD＝∠AGD，則∠EMD＝∠AEB，從而解決問題；
（2）由SAS可證明△DEF≌△EDA，得DF＝EA，即可證明結(jié)論；
（3）由∠EDG＝∠EFG＝90°，得D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓，證明△ANE是等腰直角三角形，得NE＝AE＝AB＝2，AN＝AE＝2，從而求出答案．
【詳解】（1）證明：∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，
∠DAG+∠EAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
又∵，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠AEB＝∠AGD，
設(shè)EF交DG于M，

∵EF∥AG，
∴∠EMD＝∠AGD，
∴∠EMD＝∠AEB，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEM＝180°﹣∠AEF＝90°，
即∠EMD+∠DEM＝90°，
∴∠BDG＝∠EDM＝180°﹣（∠DEM+∠DME）＝90°；
（2）證明：∵，AB＝AE，
∴AD＝AG，∠ADG＝∠AGD，
∵AG＝FE，
∴FE＝AD，
∵△ABE∽△ADG，
∴∠AEB＝∠AGD＝∠ADG，
∵∠DEF＝90°﹣∠AEB，∠EDA＝∠EDG﹣∠ADG＝90°﹣∠ADG，
∴∠DEF＝∠EDA，
在△DEF與△EDA中，，
∴△DEF≌△EDA（SAS），
∴DF＝EA，
∵EA＝FG，
∴DF＝FG；
（3）解：∵∠EDG＝∠EFG＝90°，
∴D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓，
設(shè)EF交AD于N，
∵∠DGE＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∵△DEF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠DFE＝45°，
∵∠AEN＝90°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴NE＝AE＝AB＝2，AN＝AE＝2，
∵△DEF≌△EDA，
∴∠FED＝∠ADE，
∴ND＝NE＝2，
∴AD＝AN+ND＝2+2．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用四點(diǎn)共圓得出∠DFE＝45°是解題的關(guān)鍵．
51．如圖，在矩形中，，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作，且，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：；
(2)連接，求證：；
(3)當(dāng)點(diǎn)E正好在BD的延長線上時(shí)，求BG的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)的長為

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似進(jìn)行判定即可；
（2）連接，交于M點(diǎn)，由得，進(jìn)一步證得和，得到，最終根據(jù)余角性質(zhì)推出，即可得證；
（3）作的延長線于H點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，分別表示出，，再通過建立方程求解并檢驗(yàn)即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）證明：連接，交于M點(diǎn)，如圖所示：

∵四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴．
（3）解：如圖，作的延長線于H點(diǎn)，設(shè)，

，，，

，
，
，
∵，，
∴，，
則，
∵，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
∴的長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用相似三角形的各種判定方法是解題關(guān)鍵．
52．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．

(1)觀察猜想
小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)：
①的值為________；
②的度數(shù)為________度；
(2)類比探究
如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長線交于點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?請說明理由．
(3)拓展延伸
若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請你直接寫出的長．
【答案】(1)①；②45
(2)成立，理由見解析
(3)或

【分析】（1）如圖（2）中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．
（2）如圖（3）中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，可得結(jié)論．
（3）分兩種情形：如圖（4）中，當(dāng)于時(shí)，如圖（4）中，當(dāng)時(shí)，延長交于．分別求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）如圖（2）中，設(shè)交于點(diǎn)．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
故答案為：，45．
（2）如圖（3）中，設(shè)交于點(diǎn)．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，．
（3）如圖（4）中，當(dāng)于時(shí)，

，，，
，
，
，
，
，
，
．
如圖（4）中，當(dāng)時(shí)，延長交于．

同法可得，，，
，
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
53．如圖1，在矩形中，已知．，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

(1)問題發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)時(shí)，＝　 ??；②當(dāng)時(shí)，＝　 ??；
(2)拓展探究：
將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，求此時(shí)的值；
(3)問題解決：
當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長（寫出必要的解題過程）．
【答案】(1)；
(2)
(3)或

【分析】（1）①根據(jù)矩形中， ．，，運(yùn)用勾股定理得到，當(dāng)時(shí)，根據(jù)E、F分別是、的中點(diǎn)，得到，，即可求得；②當(dāng)時(shí)，由，得到；
（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，結(jié)合，推出，推出；
（3）根據(jù)，求出，根據(jù)，得到，當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)， 結(jié)合，得到，得到；當(dāng)點(diǎn)F在線段延長線上時(shí)，得到，得到．
【詳解】（1）解：（1）①當(dāng)時(shí)，見題干圖1，
∵矩形中， ．，，
∴，
∵點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，，
∴，
故答案為：；
②當(dāng)時(shí)，如圖1，
∵，
∴，
故答案為：；

（2）如圖2，連接，
由旋轉(zhuǎn)知，，
∵，
∴，
∴；

（3）A、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖3，
∵，
∴，
∴；

當(dāng)點(diǎn)F在線段延長線上時(shí)，如圖4，
，
∴；

故的長度為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形和三角形旋轉(zhuǎn)的綜合．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形．注意分類討論．
54．如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別是中點(diǎn)，連接．在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線相交于點(diǎn)P．

(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，的角度是否不變？若不變，請求出的度數(shù)．
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求線段的長．
(3)連接，當(dāng)線段取得最小值時(shí)，求線段的值．
【答案】(1)不變，
(2)
(3)或

【分析】（1）首先證明出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和證明即可；
（2）連接．首先證明出，進(jìn)而得到，然后證明出和，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求出，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)題意分兩種情況討論，當(dāng)E，P第一次重合時(shí)和當(dāng)E，P第二次重合時(shí)，分別根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）不變，理由如下：
∵點(diǎn)D，E分別為中點(diǎn)，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）連接．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，，點(diǎn)D，E分別是中點(diǎn)，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
（3）①如備用圖1，當(dāng)E，P第一次重合時(shí)，

在運(yùn)動(dòng)的過程中，，，
∴當(dāng)最大時(shí)，的值最?。?br /> 在中，，
∴，∴．
過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，由，可得，．
∴．
∴．
②如備用圖2，當(dāng)E，P第二次重合時(shí)，

與①同理，，
可證，可得，
∴．
連接，則．
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．