甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

這是一份甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷，共6頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）拋物線y＝﹣x2+2的頂點坐標(biāo)為（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16B．（x+3）2＝16C．（x﹣2）2＝7D．（x﹣3）2＝2
4．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，使草坪的面積為570m2．設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
5．（3分）關(guān)于x的方程x2+x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有一個實數(shù)根
D．沒有實數(shù)根
6．（3分）組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，每天安排4場比賽，設(shè)比賽組織者邀請了x個隊參賽（ ）
A．x（x+1）＝6×4B．x（x﹣1）＝6×4
C．x（x﹣1）＝6x4D．x（x+1）＝6×4
7．（3分）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x2﹣x1x2的值為（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
8．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2的圖象上有三個點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
9．（3分）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+2與二次函數(shù)y＝x2+a的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0，則a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如果函數(shù)y＝（k﹣3）+kx+1是二次函數(shù)，則k的值是 ．
12．（3分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為 ．
13．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2015的值為 ．
14．（3分）設(shè)拋物線y＝x2+4x﹣k的頂點在x軸上，則k的值 ．
15．（3分）若拋物線y＝ax2+c與y＝2x2的形狀相同，開口方向相反，且其頂點是（0，﹣3） ．
16．（3分）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，DE＝2，則AE的長為 ．
三、解答題（一）：本大題共5小題，共42分.應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）4（x+3）2＝9（x﹣2）2．
18．（8分）在如圖所示的直角坐標(biāo)．
（1）分別寫出A，B兩點的坐標(biāo)．
（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1．
（3）分別寫出B1，C1兩點的坐標(biāo)．
19．（8分）二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（3，5），且拋物線經(jīng)過點A（1，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）寫出它的開口方向，對稱軸、最值．
20．（8分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一個根是0，求a的值．
21．（10分）某村2018年的人均收入為20000元，2020年的人均收入為24200元．
（1）求2018年到2020年該村人均收入的年平均增長率；
（2）假設(shè)2021年該村人均收入的增長率與前兩年的年平均增長率相同，請你預(yù)測2021年該村的人均收入是多少元？
四、解答題（二）：（本大題共6小題，共60分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算
22．（8分）已知關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一個根為1，求m的值；
（2）求證：不論m取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
23．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x12+x22＝6x1x2時，求m的值．
24．（10分）如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，此時水面距拱頂4米．
（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中，求拋物線的解析式；
（2）若水位上升3米，就達(dá)到警戒線CD，則拱橋內(nèi)水面的寬CD是多少米？
25．（10分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為12m的住房墻，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，雞舍面積為64m2？
26．（10分）某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元，為了獲取更大利潤，當(dāng)該商品每件60元時，每個月可銷售300件，則每個月的銷售量將減少10件，設(shè)該商品每件的銷售價為x元．
（1）當(dāng)該商品每個月的銷售利潤為3750元時，則該商品的銷售價是多少？
（2）當(dāng)該商品每件的銷售價為多少元時，每個月的銷售利潤最大？最大利潤為多少？
27．（12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，請說明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在
2023-2024學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每題只有一個正確選項）
1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點；即不滿足中心對稱圖形的定義；
B、是軸對稱圖形；
C、不是軸對稱圖形，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合．是中心對稱圖形；
D、是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點；即不滿足中心對稱圖形的定義．
故選：B．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．（3分）拋物線y＝﹣x2+2的頂點坐標(biāo)為（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線的頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k即可求解．
【解答】解：拋物線y＝﹣x2+2中a＝﹣3，h＝0，
∴頂點坐標(biāo)為（0，7），
故選：A．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)頂點式是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16B．（x+3）2＝16C．（x﹣2）2＝7D．（x﹣3）2＝2
【答案】A
【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方．
【解答】解：原方程移項，
得x2﹣6x＝8，
等式兩邊同時加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方32，
x4﹣6x+37＝7+34，
∴（x﹣3）2＝16；
故選：A．
【點評】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步驟是關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，使草坪的面積為570m2．設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【答案】C
【分析】由道路的寬為xm，可得出種植草坪的部分可合成長為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，根據(jù)草坪的面積為570m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵道路的寬為xm，
∴種植草坪的部分可合成長為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．
根據(jù)題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故選：C．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）關(guān)于x的方程x2+x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有一個實數(shù)根
D．沒有實數(shù)根
【答案】A
【分析】求出德爾塔的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵Δ＝（）2+6＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
6．（3分）組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，每天安排4場比賽，設(shè)比賽組織者邀請了x個隊參賽（ ）
A．x（x+1）＝6×4B．x（x﹣1）＝6×4
C．x（x﹣1）＝6x4D．x（x+1）＝6×4
【答案】B
【分析】關(guān)系式為：球隊總數(shù)×每支球隊需賽的場數(shù)＝比賽場數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，
則可列一元二次方程為x（x﹣7）＝6×4，
故選：B．
【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，這是一道典型的單循環(huán)問題．
7．（3分）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x2﹣x1x2的值為（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣3，將其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，
∴x1+x2＝6、x1x2＝﹣6，
∴x1+x2﹣x4x2＝2﹣（﹣7）＝5．
故選：B．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
8．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2的圖象上有三個點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷y1，y2，y3的大小關(guān)系，從而可以解答本題．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）6，﹣2＜0
∴當(dāng)x＜4時，y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小，
∵拋物線y＝﹣2（x﹣1）7的圖象上有三個點A（﹣1，y1），B（7，y2），C（2，y3），
|﹣1﹣1|＝5，|1﹣1|＝6，
∴y2＞y3＞y2，
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
9．（3分）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+2與二次函數(shù)y＝x2+a的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式可得一次函數(shù)與y軸的交點為（0，2），二次函數(shù)的開口向上，據(jù)此判斷二次函數(shù)的圖象．
【解答】解：當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)頂點在y軸負(fù)半軸、二、四象限；
當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)頂點在y軸正半軸、二、三象限．
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，用到的知識點為：二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)．
10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0，則a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
【答案】C
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①拋物線開口方向向下，則a＜0．
拋物線對稱軸位于y軸右側(cè)，則a，即ab＜0．
拋物線與y軸交于正半軸，則c＞5．
所以abc＜0．
故①錯誤．
②∵拋物線對稱軸為直線x＝＝8，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝2，
故②正確；
③∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴函數(shù)的最大值為：y＝a+b+c；
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am6+bm，
故③錯誤；
④∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側(cè)，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣3，0）的右側(cè)，
∴當(dāng)x＝﹣1時，y＜5，
∴a﹣b+c＜0，
故④錯誤；
⑤∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x8+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝6，
∴（x1﹣x2）[a（x8+x2）+b]＝0，
而x6≠x2，
∴a（x1+x8）+b＝0，即x1+x6＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x5＝2，
故⑤正確．
綜上所述，正確的有②⑤．
故選：C．
【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．
二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如果函數(shù)y＝（k﹣3）+kx+1是二次函數(shù)，則k的值是 0 ．
【答案】0．
【分析】利用二次函數(shù)定義可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．
【解答】解：由題意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣3≠8，
解得：k＝0，
故答案為：0．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
12．（3分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為 y＝（x﹣2）2+1 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+6+1＝（x﹣2）5+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案為：y＝（x﹣2）3+1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；
（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
13．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2015的值為 2018 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：2m2﹣5m﹣1＝0，
∴7m2﹣3m＝7
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018
故答案為：2018
【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
14．（3分）設(shè)拋物線y＝x2+4x﹣k的頂點在x軸上，則k的值 ﹣4 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】把二次函數(shù)化為頂點式，求得其頂點坐標(biāo)，令頂點的縱坐標(biāo)為0可求得k．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣k＝（x+3）2﹣4﹣k，
∴其頂點坐標(biāo)為（﹣3，﹣4﹣k），
∵頂點在x軸上，
∴﹣4﹣k＝5，解得k＝﹣4，
故答案為：﹣4．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，掌握頂點坐標(biāo)大x軸上時其縱坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）若拋物線y＝ax2+c與y＝2x2的形狀相同，開口方向相反，且其頂點是（0，﹣3） y＝﹣2x2﹣3 ．
【答案】y＝﹣2x2﹣3．
【分析】由兩條拋物線的形狀相同且開口方向相反，可得出兩個二次函數(shù)表達(dá)式中二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，再由拋物線的頂點是（0，﹣3）即可解決問題．
【解答】解：因為拋物線y＝ax2+c與y＝2x2的形狀相同，開口方向相反，
所以a＝﹣2．
又該拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，﹣7），
所以c＝﹣3．
故該拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣2x8﹣3．
故答案為：y＝﹣2x7﹣3．
【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)一般式中a對拋物線的決定作用是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，DE＝2，則AE的長為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ADE的面積＝△ABF的面積，可得四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，可得AD＝5，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，
∴△ADE的面積＝△ABF的面積，
∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
三、解答題（一）：本大題共5小題，共42分.應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）4（x+3）2＝9（x﹣2）2．
【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）x1＝0，x2＝12．
【分析】（1）配方后得出（x﹣2）2＝3，開方得到方程x﹣2＝±，求出方程的解即可；
（2）移項，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+8＝0，
移項得：x2﹣3x＝﹣1，
配方得：x2﹣3x+4＝﹣1+8，即（x﹣2）2＝5，
開方得：x﹣2＝，
解得：x6＝2+，x7＝2﹣．
（2）7（x+3）2＝2（x﹣2）2，
6（x+3）2﹣6（x﹣2）2＝8，
[2（x+3）+2（x﹣2）][2（x+5）﹣3（x﹣2）]＝3，
5x（﹣x+12）＝0，
∴3x＝0或﹣x+12＝0，
∴x2＝0，x2＝12．
【點評】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握分解因式法，配方法求解一元二次方程．
18．（8分）在如圖所示的直角坐標(biāo)．
（1）分別寫出A，B兩點的坐標(biāo)．
（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1．
（3）分別寫出B1，C1兩點的坐標(biāo)．
【答案】（1）A（2，0）、B（﹣1，﹣4）；
（2）作圖見解答過程；
（3）B1（﹣2，3），C1（﹣1，﹣1）．
【分析】（1）根據(jù)圖形可直接得出A、B的坐標(biāo)；
（2）將點B、C分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到其對應(yīng)點，再與點A首尾順次連接即可；
（3）由（2）可直接進(jìn)行求解．
【解答】解：（1）由圖可知：A（2，0），﹣7）；
（2）如圖所示，△AB1C1即為所求．
（3）由（2）圖可知：B4（﹣2，3），C5（﹣1，﹣1）．
【點評】本題主要考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)．
19．（8分）二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（3，5），且拋物線經(jīng)過點A（1，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）寫出它的開口方向，對稱軸、最值．
【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5；
（2）拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝3，當(dāng)x＝3時函數(shù)的最大值為5．
【分析】（1）設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+5，然后把A點坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中解析式，由函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+3，
將A（1，3）代入上式得3＝a（1﹣3）8+5，
解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣8）2+5；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+5，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝3．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．
20．（8分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一個根是0，求a的值．
【答案】﹣1．
【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定義可確定a值，將其代入原方程利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的一根，可求出方程的另一根，此題得解．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，a2+a＝5，
解得：a1＝﹣1，a7＝0．
又∵原方程為一元二次方程，
∴a＝﹣1．
【點評】本題考查了一元二次方程的知識，掌握一元二次方程的代入法是關(guān)鍵．
21．（10分）某村2018年的人均收入為20000元，2020年的人均收入為24200元．
（1）求2018年到2020年該村人均收入的年平均增長率；
（2）假設(shè)2021年該村人均收入的增長率與前兩年的年平均增長率相同，請你預(yù)測2021年該村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元．
【分析】（1）設(shè)2018年到2020年該村人均收入的年平均增長率為x，根據(jù)某村2018年的人均收入為20000元，2020年的人均收入為24200元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；
（2）由2021年該村的人均收入＝2018年該村的人均收入×（1+年平均增長率），即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該村人均收入的年平均增長率為x，
則20000（1+x）2＝24，
解得x6＝0.1＝10%，x8＝﹣2.1（不合題意，舍去），
答：該村人均收入的年平均增長率為10%．
（2）24200×（8+10%）＝26620（元），
答：2021年人均收入是26620元．
【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．
四、解答題（二）：（本大題共6小題，共60分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算
22．（8分）已知關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一個根為1，求m的值；
（2）求證：不論m取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）計算出根的判別式，進(jìn)一步利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，將x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣5＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×2×（m﹣2）＝m2﹣7m+8＝（m﹣2）5+4＞0，
∴不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．
23．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x12+x22＝6x1x2時，求m的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個實數(shù)根，可得△≥0，據(jù)此求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2，x1?x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣6（m﹣1）≥0，
整理得：8﹣4m+4≥7，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x5＝2，x1?x6＝m﹣1，x13+x22＝8x1x2，
∴（x4+x2）2﹣8x1?x2＝3x1?x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合條件的m的值為．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是掌握兩根之和與兩根之積的表達(dá)方式．
24．（10分）如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，此時水面距拱頂4米．
（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中，求拋物線的解析式；
（2）若水位上升3米，就達(dá)到警戒線CD，則拱橋內(nèi)水面的寬CD是多少米？
【答案】（1）y＝﹣x2；
（2）拱橋內(nèi)水面的寬CD是10米．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，將點B（10，﹣4）代入求出a的值即可；
（2）求出y＝﹣1時x的值，據(jù)此可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，
將點B（10，﹣4）代入，
解得：a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2；
（2）當(dāng)y＝﹣5+3＝﹣1時，﹣x2＝﹣1，
解得：x＝﹣6或x＝5，
∴CD＝5﹣（﹣7）＝10（米），
∴拱橋內(nèi)水面的寬CD是10米．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．
25．（10分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為12m的住房墻，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，雞舍面積為64m2？
【答案】所圍矩形雞舍的長為8m，寬為8m時，雞舍面積為64m2．
【分析】設(shè)垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于住房墻的一邊長為（23+1﹣2x）m，根據(jù)雞舍面積為64m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合住房墻的長為12m，即可確定結(jié)論．
【解答】解：設(shè)垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于住房墻的一邊長為（23+1﹣2x）m，
根據(jù)題意得：x（23+3﹣2x）＝64，
整理得：x2﹣12x+32＝4，
解得：x1＝4，x6＝8，
當(dāng)x＝4時，23+4﹣2x＝23+1﹣5×4＝16＞12，舍去；
當(dāng)x＝8時，23+4﹣2x＝23+1﹣4×8＝8＜12．
答：所圍矩形雞舍的長為3m，寬為8m時2．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元，為了獲取更大利潤，當(dāng)該商品每件60元時，每個月可銷售300件，則每個月的銷售量將減少10件，設(shè)該商品每件的銷售價為x元．
（1）當(dāng)該商品每個月的銷售利潤為3750元時，則該商品的銷售價是多少？
（2）當(dāng)該商品每件的銷售價為多少元時，每個月的銷售利潤最大？最大利潤為多少？
【答案】（1）75或65；
（2）每件銷售價為70元時，獲得最大利潤；最大利潤為4000元．
【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“利潤＝（售價﹣進(jìn)價）×銷量”列出函數(shù)表達(dá)式，把銷售利潤3750代入即可求得；
（2）由（1）中列出函數(shù)關(guān)系式，配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得利潤最大值．
【解答】解：（1）設(shè)每個月的銷售利潤為w元，
根據(jù)題意得：w＝（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1400x﹣45000，
當(dāng)w＝3750時，﹣10x2+1400x﹣45000＝3750，
解得x5＝75，x2＝65，
答：當(dāng)該商品每個月的銷售利潤為3750元時，該商品的銷售價是75元或65元；
（2）由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）4+4000，
∴每件銷售價為70元時，獲得最大利潤．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，理解題意，找到等量關(guān)系，求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
27．（12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標(biāo)，請說明理由；
（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；
（2）點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標(biāo)．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把點A（6，4）代入上式得：a＝，
∴y＝（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣x+8＝7﹣，
∴拋物線的對稱軸是：直線x＝3；
（2）存在，P點坐標(biāo)為（2，）．
理由如下：
∵點A（2，4），
∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，7）
如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，此時△PAB的周長最?。?br>設(shè)直線BA′的解析式為y＝kx+b，
把A′（6，8），0）代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
∵點P的橫坐標(biāo)為3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（4，）．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．
設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜4），
如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G，
由點A（0，6）和點C（5x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣t+4，﹣t+4），
此時：NG＝﹣t+4﹣（t2﹣t+7）＝﹣t7+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝AD×NG+NG?OC＝t2+4t）×3＝﹣2t2+10t＝﹣3（t﹣）5+，
∴當(dāng)t＝時，△CAN面積的最大值為，
由t＝，得：y＝t4﹣t+4＝﹣6，
∴N（，﹣3）．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用．