【期中單元知識點歸納】（人教版）2023-2024學年九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓試卷（知識歸納+題型突破）

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1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念;探索并掌握點與圓的位置關(guān)系.
2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.
3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補.
4.了解三角形的內(nèi)心與外心.
5.了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念(例75) .
6.能用尺規(guī)作圖:過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.
7.*能用尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線(例76) .
8.*探索并證明切線長定理:過圓外一點的兩條切線長相等.
9.會計算圓的弧長、扇形的面積.
10.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.
一、圓的基本性質(zhì)
1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成
的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.
（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過
圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.
（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的
弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個
交點的角叫做圓周角.
（6）弦心距：圓心到弦的距離.
知識點二 ：垂徑定理及其推論
2.垂徑定理及其推論
定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
推論
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
延伸
根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：
弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直徑.
只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三
.關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.
3.圓心角、弧、弦的關(guān)系
定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
推論
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
4.圓周角定理及其推論
（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
( 2 )推論：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.直徑所對的圓周角是直角.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.
二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
三、正多邊形和圓
1.正多邊形與圓
（1）正多邊形的有關(guān)概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.

（2）特殊正多邊形中各中心角、長度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC為等邊△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
四、弧長和扇形面積的計算
1..弧長和扇形面積的計算
扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝
2.圓錐與側(cè)面展開圖
（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.
（2）計算公式：
圓錐S側(cè)==πrl，S=πr（l+r）
注：易與勾股定理聯(lián)系，先求母線長，再求面積
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用
【例1】（2023·北京西城·北師大實驗中學?？既＃┤鐖D，（非直徑）為的兩條弦，與交于點，請從①為直徑；②為中點；③為中點；中選擇兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論組成一個真命題，并完成證明．

【例2】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，某隧道的截面是一個半徑為3.4米的半圓形，一輛寬3.2米的廂式卡車（截面是長方形）恰好能通過該隧道，則這輛卡車的高為多少米？

鞏固訓練：
1．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（ ）

A．①B．②C．③D．④
2．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：
（1）分別以弦的端點為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，使兩弧相交于點；
（2）作直線交于點．

若，則的長等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（ 圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
4．（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的最大深度．則截面圓中弦的長為（ ）

A．B．6C．8D．
5．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為的一條弦，直徑于點E，連接、，若，，則的長為（ ）

A．3B．4C．5D．6
6．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學校考期中）如圖，當寬為的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀圖如圖所示（單位：），那么該圓的半徑為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心為圓心．5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（ ）

A．2米B．3米C．4米D．5米
8．（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，將半徑為的折疊，弧恰好經(jīng)過與垂直的半徑的中點D，已知弦的長為，則 ．

9．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，、、都是的弦，，，垂足分別為、，若，則的長為 ．
10．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦上，，，，則這個花壇的半徑為 ．

11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，已知是直徑，為上一點不與、兩點重合），弦過點，．

（1）若，，則的長為 ；
（2）當P點在上運動時（保持 不變），則 ．
12．（2022秋·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，過內(nèi)的一點P畫弦AB，使P是AB中點．（保留作圖痕跡，不寫畫法）

13．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當圓被水面截得的弦為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；
(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？
14．（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，求點C到弦所在直線的距離．

15．（2022秋·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D所示，一裝有部分油的圓柱形油罐的橫截面．若油面寬，油的最大深度為，

(1)用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不用證明），找出圓心O；
(2)求該油罐橫截面的半徑．
16．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）平面直角坐標系中，點、、、在上．
(1)在圖中清晰標出點P的位置；
(2)點P的坐標是 ___________，的半徑是 ___________．
17．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在第一象限內(nèi)，與軸相切于點，與軸相交于點．連接，過點作于點．

(1)求證：四邊形為矩形．
(2)已知的半徑為4，，求弦的長．
題型二 圓心角、弦、弧
【例3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A、B、C、D是上的點，為直徑，．

(1)求證：點C平分．
(2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出的中點P（保留作圖痕跡）．
鞏固訓練
1．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等
C．弦相等，圓心到弦的距離相等D．圓心到弦的距離相等，則弦相等
2．（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點G，點C是的中點，點B是的中點，若，，則的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的八等分點．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是( )

A．B．C．D．a(chǎn)，b大小無法比較
5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）．

A．B．C．D．
6．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學?？计谥校┤鐖D，A、B、C、D是上的點，如果，，那么 ．

7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E．若，則度數(shù)為 ．
8．（2022·廣東湛江·一模）已知，有一量角器如圖擺放，中心O在邊上，為刻度線，為刻度線，角的另一邊與量角器半圓交于C，D兩點，點C，D對應(yīng)的刻度分別為，，則= ．

9．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

10．（2022秋·江蘇揚州·九年級儀征市第三中學?？茧A段練習）如圖，在中，弦與弦相交于點E，且．求證：．

11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖所示，是的兩條弦，且，則與的大小有什么關(guān)系？為什么？

12．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖為圓O的直徑，為圓O的弦，C為O上一點，，，垂足為D．

(1)連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明；
(2)若，，求圓O的半徑；
題型三 圓周角定理及其應(yīng)用
【例4】（1）（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為⊙的直徑，點在圓上且在直徑的兩側(cè)，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【例5】（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，弦平分交于點．交于點D．連接，．

(1)求四邊形的面積；
(2)求的長．
鞏固訓練
1．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤鐖D，內(nèi)接于，，的半徑為2，則的長等于（ ）

A．2B．4C．D．
2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，線段是半圓O的直徑，分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線，交半圓O于點C，交于點E，連接，若，則的長是（ ）
A．B．4C．6D．
3．（2023春·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習）如圖，為的直徑，弦于點E，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如圖，為的直徑，于，，連接．圖中與相等的角有（ ）

A．個B．個C．個D．個
5．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形是平行四邊形，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
6．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學校考一模）如圖，是的直徑，、為上的點，且點在上．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·全國·九年級專題練習）已知弦把圓周分成兩部分，則弦所對圓周角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考開學考試）如圖，已知點均在上，為的直徑，弦的延長線與弦的延長線交于點，連接．則下列命題為假命題的是（ ）

A．若點是的中點，則
B．若，則
C．若，則
D．若半徑平分弦，則四邊形是平行四邊形
10．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，若弦，則 ．

11．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點，已知，那么 ．

12．（2023年遼寧省營口市中考模擬考試（一模）數(shù)學試卷）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則 ．

13．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，對角線平分，則邊的長為 ．

14．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中?？茧A段練習）有三個邊長都為的正方形硬紙板，將這三個正方形硬紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋?。旅媸侨N不同的擺放類型：
(1)圖①能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)為 ；
(2)圖①②③中能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板直徑最小的是圖 (填序號)，最小直徑為 ．
15．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如圖，為半徑為3的的直徑，弦、相交于點E，，求的長．

16．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑作交于點D，交于點E，連接．
(1)求證：；
(2)連接，，當__________時，四邊形為菱形；
(3)若，，則__________．
17．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是上兩點，，C為弧上一點．

(1)寫出弦對的弧的度數(shù)；
(2)若是劣弧的中點，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
18．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以為直徑的半圓O經(jīng)過斜邊的兩個端點，交直角邊于點E，B、E是半圓弧的三等分點．請你僅用無刻度的直尺：
(1)請在圖①中畫出一條的平行線；

(2)請在圖②中畫出一條直線平分面積．

題型四 點與圓的位置關(guān)系
【例6】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內(nèi)且點B在外時，r的值可能是（ ）

A．3B．4C．5D．6
鞏固訓練
1．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）已知的直徑為，若點到圓心的距離為．則點與的位置關(guān)是（ ）
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法確定
2．（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是斜邊上的中線，以為圓心，為半徑畫圓，則下列各點中，在內(nèi)的是（ ）

A．點AB．點BC．點CD．點O
3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，矩形中，，，點在對角線上，圓經(jīng)過點．如果矩形有兩個頂點在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）已知直角的斜邊長為6，則這個三角形的外接圓的半徑等于 ．
5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知是內(nèi)一點（點不與圓心重合），點到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的直徑為 ．
6．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）是內(nèi)一點，是上任意一點，若，則的半徑為 ．
7．（2023秋·河南周口·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，cm，cm，以C為圓心，r為半徑作，若A，B兩點中只有一個點在內(nèi)，則半徑r的取值范圍是 .
8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，，，， 經(jīng)過，， 三點．

(1)點 的坐標為 ．
(2)判斷點 與 的位置關(guān)系．
題型五 直線與圓的位置關(guān)系
【例7】（1）（2022春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）已知，P是上一點，.以r為半徑作，若，則與直線OB的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
（2）（2023·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以點為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例8】（2022秋·九年級單元測試）如圖，，，當?shù)陌霃絩為何值時，與直線相離？相切？相交？

鞏固訓練：
1．（2022秋·重慶·九年級重慶十八中?？贾軠y）若的直徑為1，圓心O到直線l的距離是方程根，則與直線l的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相離C．相交D．相切或相交
2．（2022秋·九年級單元測試）已知的半徑是，點在上，如果點到直線的距離是，那么與直線的位置關(guān)系是 （ ）
A．相交B．相離C．相切或相交D．相切或相離
3．（2023·河北滄州·校考三模）題目：“如圖，在中，，，，以點為圓心的的半徑為，若對于的一個值，與只有一個交點，求的取值范圍．”對于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．則正確的是（ ）

A．只有乙答的對B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整D．三人的答案合在一起才完整
4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）在平面直角坐標系中，以點為圓心，4為半徑的圓與x軸所在直線的位置關(guān)系是 ．
5．（2022秋·九年級單元測試）平面直角坐標系中，的圓心坐標為，半徑為，那么與軸的位置關(guān)系是 ．
6．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是 ．
7．（2022秋·九年級單元測試）已知直線l與半徑長為R的相離，且點O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是 ．
8．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

9．（2022春·九年級課時練習）如圖，直線l與x軸、y軸分別相交于點A、B，已知B（0，），，點P的坐標為，與y軸相切于點O，若將沿x軸向左移動，當與該直線相交時，橫坐標為整數(shù)的點P的坐標 ．
題型六 切線的性質(zhì)和判定
【例9】（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點E在弦的延長線上，過點E作交于點D，若平分．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【例10】（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學?？计谥校┤鐖D，已知是的直徑，點P在的延長線上，切于點D，過點B作，交的延長線于點C，連接延長，交點E．

(1)求證：；
(2)如果，，求的長．
【例11】（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）探究問題：
(1)如圖1，PM、PN、EF分別切于點A、B、C，猜想的周長與切線長PA的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(2)如果圖1的條件不變，且，的周長為16cm，求的半徑．
(3)如圖2，點E是的邊PM上的點，于點F，與邊EF及射線PM、射線PN都相切．若，，求的半徑．
鞏固訓練：
1．（2020秋·廣東惠州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的切線，點為切點，交于點，，點在上，連接，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，為的兩條切線，切點分別為，，連接交于點，交弦于點．下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．是等邊三角形
3．（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，與分別相切于點A，B，，則（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，以上一點為圓心，為半徑的圓與相切于點，若，則半徑為 ．
5．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的切線，A、B為切點，且，若，則 ．

6．（2022秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知與的邊，，的延長線分別相切，，請完成下列問題：

（1） °；
（2）若的半徑為3，則的周長 ．
7．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，為的直徑，是的切線，A、C為切點，．則的度數(shù)為 ．

8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級景山中學?？茧A段練習）等腰和如圖放置，已知，，的半徑為1，圓心與直線的距離為5.若兩個圖形同時向右移動，的速度為每秒2個單位，的速度為每秒1個單位，同時的邊長、都以每秒0.5個單位沿、方向增大.的邊與圓第一次相切時，點運動的距離是 個單位長度.
9．（2023秋·河北張家口·九年級張家口市第一中學?？计谀┮阎谥?，，以為直徑的與相交于點，在上取一點，使得，
(1)求證：是的切線．
(2)當，時，求的半徑．
10．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點，交于點，交于點，，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)判斷的形狀，并說明理由；
(3)當時，求的長．
11．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學?？计谥校┤鐖D，是的直徑，C是上一點，D是的中點，交于點E，過點D作交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的面積．
12．（2022秋·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，為的直徑，切于點，與的延長線交于點，交延長線于點，連接，，已知，，．

(1)求證：是的切線：
(2)求的半徑．
13．（2022秋·山西朔州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，為的直徑，點在上，為的中點，連接并延長交于點．連接，在的延長線上取一點，，連接，使．

(1)求證：為的切線；
(2)若，則______．
14．（2022春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學?？奸_學考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

15．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點E，連接交于點M，F(xiàn)是上的一點，且，連接．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線．
16．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖是兩條高速公路互通立交俯瞰圖，車輛從一條高速公路轉(zhuǎn)到另一條高速公路，需要經(jīng)過緩和曲線匝道進行過渡．
如圖是一種緩和曲線過渡匝道的示意圖．若把過渡匝道的緩和曲線看作是一個平面上的圓弧，汽車沿的切線 經(jīng)過切點駛?cè)朐训?，從的切線經(jīng)過切點駛出匝道．已知，的半徑為．

(1)若在點處設(shè)置一高清廣角攝像頭對圓弧形過渡匝道進行監(jiān)控，且高清攝像頭可以有效監(jiān)控以內(nèi)的物體，問此攝像頭能否有效監(jiān)控整個匝道？并說明理由；
(2)在圖中，若連接，交于點，且，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
17．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，點C在半徑上，在上取點D，使，過點A作的切線交的延長線于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
18．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點為線段的中點，點為線段上一點（不與，重合），以點為圓心，為半徑作圓交線段于點，，，，連接，．

(1)求證：；
(2)當與圓相切時，求的長度．
19．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；
(2)若，的半徑為，求的長．
20．（2022秋·九年級課時練習）如圖所示，、是的兩條切線，、是切點，、是上兩點，如果，，求的度數(shù)．
21．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作半圓，與相切于點，過點A作交的延長線于點，且．

(1)求證：是半的切線；
(2)若，，求半的半徑．
22．（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑作，交于，過作，交于．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，如果的半徑為，，求的長；
(3)在（2）的條件下，求的面積．
23．（2023·全國·九年級專題練習）某種在同一平面進行轉(zhuǎn)動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖，其工作原理是：滑塊Q在平直滑道上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且?guī)舆B桿繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以在以為半徑的上運動．數(shù)學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數(shù)學知識，過點O作于點H，并測得分米，米，分米．
解決問題：
(1)點Q與點O間的最小距離是______分米；點Q與點O間的最大距離是______分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
(2)如圖3，有同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，與是相切的．”你認為這個判斷對嗎？說明理由；
(3)當繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)．
題型七 三角形的外心和外接圓
【例12】（2022秋·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學校考期中）如圖，，，直線經(jīng)過點．設(shè)，于點，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與直線交于點．
(1)判斷：___________
(2)若，求的長
(3)若是銳角三角形，直接寫出的取值范圍．
鞏固訓練：
1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，直線，為垂足，且點在上．若在上找一點，使得，則下列作法中，正確的是（ ）
A．作線段的中垂線，交于點B．作的外接圓，交于點
C．過點作一直線垂直于，交于點D．作的平分線，交于點
2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，則點O是的（ ）
A．三條高線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點
3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則為（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
4．（2022秋·河北石家莊·九年級校考期中）如圖，為銳角三角形的外心，四邊形為正方形，其中點在的外部，判斷下列敘述不正確的是（ ）
A．是的外心，不是的外心B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心D．是的外心，不是的外心
5．（2022秋·浙江寧波·九年級?？茧A段練習）如圖，已知點O是的外心，，連結(jié)，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標為 ．
7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）平面直角坐標系中，已知的三個頂點分別為，則的外心的坐標為 ．
8．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形的兩條直角邊分別為、，則它的外接圓半徑
9．（2023·湖北襄陽·?？级＃┮阎獌蛇呴L分別是和，則它的外接圓的半徑是 ．
10．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）已知中，，點O是的外心，點是的外心，點是的外心，點是的外心，…，則的度數(shù)為 ．
11．（2023春·九年級單元測試）已知，作出的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
12．（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）如圖，為圓的內(nèi)接三角形，，連接并延長交于點．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下面是證明定理的兩種方法，選擇其中一種完成證明．
14．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1，點A，，的坐標分別為、、．
(1)填空：的外接圓的圓心坐標為______．該外接圓的半徑長為______；
(2)在圖中格點上標出點（不與點重合），使得，并寫出它的坐標．
題型八 三角形的內(nèi)心和內(nèi)切圓
【例13】（1）（2023秋·安徽六安·九年級校考期末）如圖，已知是的內(nèi)切圓，且，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023·湖南長沙·長沙市湘郡培粹實驗中學?？既＃┤鐖D，是的內(nèi)切圓，若的周長為18，面積為9，則的半徑是（ ）

A．1B．C．1.5D．2
（3）（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則 ．

鞏固訓練：
1．（2023·全國·九年級專題練習）兩直角邊的長分別為和，則其內(nèi)心與外心的距離為（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），使得陰影面積盡可能大，他們的具體裁法如下：
甲同學：如圖1所示裁下一個正方形，面積記為；
乙同學：如圖2所示裁下一個正方形，面積記為；
丙同學：如圖3所示裁下一個半圓，使半圓的直徑在等腰的直角邊上，面積記為；
丁同學：如圖所示裁下一個內(nèi)切圓，面積記為；
則下列判斷正確的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，銳角三角形中，點O為中點．甲、乙二人想在上找一點P，使得的外心為點O，其作法分別如下．對于甲、乙二人的作法，下列判斷正確的是（ ）
A．兩人都正確B．兩人都錯誤C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
6．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中?？茧A段練習）如圖，的內(nèi)切圓（圓心為點O）與各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，．以點B為圓心，以適當長為半徑作弧分別交于G，H兩點；分別以點G，H為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧在的內(nèi)部交于點P；作射線．給出下列結(jié)論：
①射線一定過點O；
②點O是三條中線的交點；
③點O是三條邊的垂直平分線的交點；
④點O是三條邊的垂直平分線的交點．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學院附屬中學校考期中）在中，，，，那么這個三角形內(nèi)切圓的半徑為 ．
8．（2022秋·貴州黔西·九年級?？计谥校┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣?。ú话ǘ它cD、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為 ．
9．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、．

(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，，求的長．
10．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知O是的內(nèi)心，連接，，．若內(nèi)切圓的半徑為2，的周長為12，求的面積．
11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．

(1)求證：是的切線；
(2)求的直徑；
(3)當點B在下方運動時，直接寫出內(nèi)心的運動路線長是 ．
題型九 正多邊形和圓
【例14】（1）（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距（ ）

A．B．C．D．3
（2）（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則 ．

鞏固訓練：
1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（ ）

A．B．C． D．
5．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，過點作的切線交的延長線于點，交的延長線于點．則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點O為正六邊形的中心，P，Q分別從點同時出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第次相遇地點的坐標為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（ ）
A．B．C．3D．
8．（2022秋·山西朔州·九年級校考階段練習）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．8D．6
9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（ ）．

A．B．2C．D．
10．（2022秋·浙江麗水·九年級?？计谥校┤鐖D，A、、、為一個正多邊形的相鄰四個頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為 ．

11．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為 ．

12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是 個．

題型十 扇形面積和弧長計算
【例15】（1）（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是以為直徑的半圓周的三等分點，是直徑上的任意一點．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
鞏固訓練：
1．（2023春·山東威海統(tǒng)考期末）如圖，將一個圓分成甲、乙、丙三個扇形，其圓心角度數(shù)之比為．若圓的半徑為3，則扇形乙的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學?？寄M預(yù)測）一個扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，將半徑為的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，則重疊部分（陰影部分）的面積為（ ）

A．B．
C．D．
4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市竹山中學?？茧A段練習）如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，某小區(qū)要綠化一扇形空地，準備在小扇形內(nèi)種花在其余區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種草，測得，，，則種草區(qū)域的面積為（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為( )

A．B．C．D．
7．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點E處，則陰影部分的面積為 ．
8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點在上（點不與、重合），過點作的切線交的延長線于點，連接．若，則的長度是 （結(jié)果保留）
9．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）曲線L在直角坐標系中的位置如圖所示，曲線L是由半徑為2，圓心角為120°的（O是坐標原點，點A在x軸上）繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到；再將繞點旋轉(zhuǎn)180°，得到；……依次類推，形成曲線L，現(xiàn)有一點P從O點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿曲線L向右運動，則點A的坐標為 ；在第2020s時，點P的坐標為 ．

10．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖所示，矩形的對角線，交于點，分別以點，為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留）

11．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長為，則的長為 ．

12．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長為 ．
17．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風華初級中學?？计谥校┰陂L方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：
(1)用含有的代數(shù)式表示陰影部分的面積；
(2)當時，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
題型十一 圓錐及其側(cè)面展開圖
【例14】(1)（2022秋·山西大同·九年級大同市第三中學校校考階段練習）若圓錐的高為，母線長為，則圓錐的全面積為（ ）
A．B．C．D．
(2)（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑為 cm．
(3)（2023秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為 ．（結(jié)果保留根號）

鞏固訓練：
1．（2020秋·廣東廣州·九年級?？茧A段練習）圓錐的底面半徑為15，母線長為50，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側(cè)面展開圖中的長為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北石家莊·九年級?？计谀┤鐖D，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑cm，扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線l長為（ ）．
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
4．（2023春·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習）已知圓錐底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積是 ．
5．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）若圓錐的底面直徑為6cm，側(cè)面展開圖的面積為，則圓錐的母線長為 ．
6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，邊上的高，將繞著所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為 ．

7．（2023秋·新疆和田·九年級統(tǒng)考期末）已知圓錐的底面半徑為5，母線長為10，則此圓錐側(cè)面展開圖的面積是 ．
66．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學?？计谥校┮阎獔A錐的底面圓的半徑為，側(cè)面積為，則這個圓錐的高為 ．
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是 ．

9．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考一模）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖的面積為
10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側(cè)面積為 ．（結(jié)果保留）

11．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
12．（2023春·河北承德·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線長為，開口直徑為．
（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿了水，則水深 ；
（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為 ．
13．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）一個圓柱削去2.4立方米后，正好削成一個與它等底等高的圓錐，圓柱原來的體積是 立方米．
14．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）用一個半徑為10cm半圓紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則該圓錐的高為 ．
15．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖1，等腰三角形中，當頂角的大小確定時，它的對邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個比值記作，即 ，當時，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
16．（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高為9cm，是上底面的直徑．一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d.
(1)dr?點在⊙O外．
2.直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
圖形
公共點個數(shù)
0個
1個
2個
數(shù)量關(guān)系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切線的判定
（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
4.切線的性質(zhì)
（1）切線與圓只有一個公共點.
（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
5.切線長
（1）定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
6.三角形的外接圓
圖形
相關(guān)概念
圓心的確定
內(nèi)、外心的性質(zhì)
經(jīng)過三角形各定點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形
三角形三條垂直平分線的交點
到三角形的三個頂點的距離相等
7.三角形的內(nèi)切圓
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫圓的外切三角形
到三角形三條角平分線的交點
到三角形的三條邊的距離相等
證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線，求證：．

方法1：利用矩形判定和性質(zhì)證明．

方法2：利用圓的性質(zhì)證明．

甲的作法

過點B作與垂直的直線，
交于點P，則P即為所求
乙的作法

以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧，
交于點P，則P即為所求