2022-2023學(xué)年安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2022-2023學(xué)年安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題含答案，共21頁。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題，多選題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的含義，結(jié)合解方程組，即可求得兩集合的交集.【詳解】由題意集合表示點集，解方程組，得或，故，故選：D2．若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點及韋達定理即可求出答案.【詳解】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根成共軛復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)，則另一個復(fù)數(shù)根為，根據(jù)兩根之積得，則，根據(jù)兩根之和有，解得，故選：B.3．已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】D【分析】根據(jù)線面之間的位置關(guān)系判定即可.【詳解】對于A項，可能相交，如圖所示正方體中，若分別為直線，為平面，此時符合條件，但結(jié)論不成立，故A錯誤；對于B項，有的可能，如圖所示正方體中，若分別為直線，為平面，此時符合條件，但結(jié)論不成立，故B錯誤；對于C項，如圖所示正方體中，若分別為直線，為平面，為平面，此時符合條件，但結(jié)論不成立，故C錯誤；對于D項，因為，又，所以，故D正確；故選：D4．某公司將包括2名女員工在內(nèi)的5名員工派往3個不同的地方學(xué)習(xí)，要求每人去一個地方，每個地方至少去一人，則2名女員工必須在一起學(xué)習(xí)的不同的分配方案有（    ）A．24 B．32 C．36 D．48【答案】C【分析】分1,1,3三組，1,2,2三組討論，并利用排列組合公式即可得到答案.【詳解】如果5人分成1,1,3三組，則分配方法有： 種，如果5人分成1,2,2三組，則分配方法有： 種，由加法原理可得：不同分配方法數(shù)為種.故選：C5．著名的天文學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命”，對數(shù)可以將乘除運算轉(zhuǎn)化為加減運算，從而簡化運算過程.在一次趣味表演中，主持人出題：一個35位整數(shù)的31次方根仍是一個整數(shù)，下面我報出這個35位數(shù)，請說出它的31次方根.還未等主持人報出第一個數(shù)字，速算專家已經(jīng)寫出了答案：這個數(shù)的31次方根是13，他的秘訣就是：他心中記住了下面的表（表中常用對數(shù)為近似值），請你也試一試，一個20位整數(shù)的32次方根仍是一個整數(shù)，這個32次方根是多少？（    ）真數(shù)常用對數(shù)真數(shù)常用對數(shù)20.3090.9530.48101.0040.60111.0450.70121.0860.78131.1170.85141.1580.90151.18A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設(shè)這個數(shù)為x，則可得，利用對數(shù)運算并結(jié)合已知圖表可求得，即可求得x的值，即得答案.【詳解】設(shè)所求這個數(shù)為x，則，N為20位整數(shù)，則，因為，故，所以，由表可知，即，故這個32次方根是4，故選：B6．已知函數(shù)有兩個極值點，且，，那么關(guān)于的方程的不同實根的個數(shù)是（    ）A．6個 B．4個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再作出圖象，而由方程可知，再利用圖象即可得到根的個數(shù).【詳解】，令得，不妨令，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，方程可得，而，，由的單調(diào)性并作出圖象可知直線分別過點，與函數(shù)圖象均有兩個交點，故方程的根的個數(shù)是4個.故選：B. 二、解答題7．已知(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求得，分、和，三種情況討論，結(jié)合的符號，即可求解.（2）解法1：轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，求得，得到存在唯一的實數(shù)，使得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最小值，進而轉(zhuǎn)化為在時的取值范圍，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，即可求解；解法2：由題意轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)的定義域為，可得.當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞增；當時，令，得，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解法1：只要證明恒成立即可，即證明恒成立即可，設(shè)，其中，函數(shù)的定義域為且，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，可得存在唯一的實數(shù)，使得，即當時，，當時，.故的最小值為，又由，所以在是減函數(shù)，且.要使恒成立，只需即可，即求在時的取值范圍.，設(shè)，可得，所以在定義域內(nèi)為減函數(shù)，故.所以的取值范圍為.解法2：只要證明恒成立即可，即證明構(gòu)造函數(shù)，易知為增函數(shù)，原式等價于證明即證明，得.設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，所以的取值范圍為.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．8．已知雙曲線的標準方程為，其中點為右焦點，過點作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點，過點作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點作的平行線，在直線上任取一點，連接與雙曲線相交于點，求證點到直線的距離是定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)焦點到漸近線的距離為，列出方程求得，再由，求得，即可求得雙曲線的方程；（2）設(shè)點，得到直線的方程，設(shè)直線的方程為，點，根據(jù)，取得，得到直線的方程為，設(shè)，根據(jù)共線，求得，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】（1）解：由雙曲線，可得焦點，其中一條漸近線方程為，則點到漸近線的距離為，解得，又由，可得，解得，故雙曲線的標準方程為.（2）解：由雙曲線，可得，設(shè)點，則直線的方程為，即，由題意，設(shè)直線的方程為，由點在直線上，可設(shè)點，又由，可得，解得，即直線的方程為，設(shè)，由點共線，可得，即，得，即點，則點到直線的距離為.即點到直線的距離為定值.    9．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對角線和互相垂直，垂足為，，點為棱上的任意一點.  (1)求證：；(2)是否存在點使得二面角的余弦值為，若存在求出點的位置；若不存在請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為靠近的三等分點 【分析】（1）由，證得，得到，又由，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得.（2）以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)棱上存在一點，設(shè)，得到，分別求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】（1）證明：因為四邊形為等腰梯形，且，所以為等腰直角三角形，因為，所以，因為，所以，所以，即，又因為平面，平面，且，所以平面，因為平面，所以.（2）解：如圖所示，以為原點，分別為，軸建立空間直角坐標系，由（1）知，故，故假設(shè)在棱上存在一點滿足題意，設(shè).所以設(shè)平面的法向量為，則 ，易令，可得，所以又由平面的一個法向量為設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角則，整理得，即，解得或（舍去），所以，存在點為靠近的三等分點.  10．“十三五”時期，在黨中央?國務(wù)院堅強領(lǐng)導(dǎo)下，全民健身國家戰(zhàn)略深入實施，全民健身公共服務(wù)水平顯著提升，全民健身場地設(shè)施逐步增多，人民群眾通過健身促進健康的熱情日益高漲，經(jīng)常參加體育鍛煉人數(shù)和參加鍛煉的時間都在明顯增加.某城市為了調(diào)查該市市民積極參加體育鍛煉的情況，從市民中隨機抽取了50人，結(jié)果是他們參加鍛煉的時間都在區(qū)間內(nèi)，鍛煉時間的頻率分布直方圖如下：(1)如果鍛煉時間的中位數(shù)的估計值大于或者等于平均數(shù)的估計值，則說明該城市市民積極參加鍛煉的意識很強，否則說明該城市市民積極參加鍛煉的意識不強，請你根據(jù)直方圖對他們積極參加鍛煉的意識強與不強做出判斷；(2)假如根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果規(guī)定：鍛煉時間在的市民為優(yōu)秀層次，時間在的為非優(yōu)秀層次，（ⅰ）從被調(diào)查的50人中按分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人，求這5人中優(yōu)秀層次的人數(shù)大于非優(yōu)秀層次的人數(shù)的概率；（ⅱ）用頻率作為概率，現(xiàn)從該城市所有市民中隨機抽取3人，這3人中鍛煉時間為優(yōu)秀層次的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)該市市民積極參加體育釵煉的意識很強(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析， 【分析】（1）分別利用頻率分布直方圖估計中位數(shù)和平均數(shù)，即可得答案；（2）（ⅰ）由題可得10人中，優(yōu)秀6人，非優(yōu)秀4人，則5人中優(yōu)秀層次的人數(shù)大于非優(yōu)秀層次的人數(shù)的情況有優(yōu)秀5人，優(yōu)秀4人非優(yōu)秀1人，優(yōu)秀3人非優(yōu)秀2人三種情況，即可得概率；（ⅱ）由題可知，即可得隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）鍛煉時長中位數(shù)的估計值為直方圖中等分面積的線對應(yīng)的值，設(shè)為，.，則在之間.解得，即中位數(shù)的故計值分鐘.又鍛煉時長平均數(shù)估計值為:.因為中位數(shù)的估計值分鐘大于平均數(shù)估計值81分鐘，所以，根據(jù)這次調(diào)查，該市市民積極參加體育釵煉的意識很強.（2）（ⅰ）由題可得10人中，優(yōu)秀6人，非優(yōu)秀4人，則5人中優(yōu)秀層次的人數(shù)大于非優(yōu)秀層次的人數(shù)的情況有優(yōu)秀5人，優(yōu)秀4人非優(yōu)秀1人，優(yōu)秀3人非優(yōu)秀2人三種情況，則5人中優(yōu)秀層次的人數(shù)大于非優(yōu)秀層次的人數(shù)的概率；（ⅱ）根據(jù)頻率，不難得到從該城市市民中隨機抽取一人，鍛煉時間為優(yōu)秀層次的概率為，人數(shù)服從二項分布，故的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.11．如下圖，已知有個正數(shù)排成行列：其中每一行都成等差數(shù)列，每一列都成等比數(shù)列，且所有的公比相等，已知，，.  (1)求和的值；(2)求（用含的式子表達）.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）設(shè)第行的公差為，公比為，根據(jù)，及等差數(shù)列的通項公式求解，根據(jù)，及等比數(shù)列的通項公式求出，再由等差數(shù)列的通項公式求出，最后由等比數(shù)列的通項公式求和的值；（2）先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出，最后由錯位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)第行的公差為，公比為，因為，，，所以，,解得.所以，.（2），，所以，，作差可得，所以.12．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，，設(shè)，的周長為.(1)當時，求的值；(2)求函數(shù)的解析式及最大值.【答案】(1)(2)，其中；最大值為 【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，求得，進而求得的長，得到三角形的周長；（2）由，根據(jù)正弦定理得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，設(shè)三角形的外接圓半徑是，由正弦定理得，因為，所以，又又由，解得，所以三角形的周長為.（2）解：由，且，可得，可得，所以，由，所以當，即時，取到最大值. 三、填空題13．已知雙曲線的右焦點為，在雙曲線左支上取一點，若直線與以雙曲線實軸為直徑的圓相切于，若向量，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【分析】連接，取雙曲線的左焦點為，連接，過作的垂線，垂足為，可得相似于，且相似比為，結(jié)合雙曲線的定義可得，在直角中，由勾股定理得出的等量關(guān)系，再由雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】連接，取雙曲線的左焦點為，連接，過作的垂線，垂足為，直線與圓相切,，，為的中點，，相似于，且相似比為，故..在雙曲線中，由雙曲線定義知，.為直角三角形，，即，解得，故雙曲線的離心率為.故答案為:.14．已知函數(shù)定義域為且滿足①為偶函數(shù)；②任意都有成立；③，都有，請給出滿足上述三個性質(zhì)的一個函數(shù)為__________.【答案】（答案不唯一）【分析】由三個條件依次分析出函數(shù)具有對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，可從熟悉的函數(shù)中找到符合條件的函數(shù).【詳解】由性質(zhì)①為偶函數(shù)知，函數(shù)關(guān)于直線對稱；由性質(zhì)②任意都有成立，可設(shè)，待定系數(shù)可得當時，；由性質(zhì)成立③，都有可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此可寫出滿足上述三個性質(zhì)的一個函數(shù)為.故答案為：（答案不唯一）15．若，則__________.【答案】8【分析】令，可得答案.【詳解】注意到.又，則.故答案為：816．已知，則的最小值為__________.【答案】0【分析】設(shè)，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑列式可求出結(jié)果.【詳解】由可得圓心為，半徑為，設(shè)，即，依題意得，解得，所以的最小值為.故答案為：. 四、多選題17．已知正方形的邊長為2，點分別是線段上的動點，若滿足，則下列說法正確的是（    ）A．當時，則B．當時，點分別是線段的中點C．當時，D．當時，的最小值為【答案】BCD【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出的坐標，利用向量的坐標運算逐一判斷各個選項作答.【詳解】以點為坐標原點，分別為軸，軸建立平面直角坐標系，如圖，  設(shè)，，，由，得，則，對于A，當時，得，不能得，如取，，滿足條件，A錯誤；對于B，當時，得，此時點分別是線段的中點，B正確；選項C，由選項B知，，，而，，C正確；選項D，當時，顯然且，此時，否則或，矛盾，即有，而，因此，整理得，而，于是，當且僅當時取等號，整理得，令交于，顯然與不重合，，，由共線，得，即，解得，即，的最小值為，D正確.故選：BCD18．如圖所示，已知，，，作以為直角頂點的等腰直角，作點和點的中點，繼續(xù)作以為直角頂點的等腰直角，如此繼續(xù)作中點，作等腰直角三角形.這樣會得到一組分別以為直角頂點的等腰直角三角形.下列說法正確的是（    ）  A．所作的等腰直角三角形的邊長構(gòu)成公比為的等比數(shù)列B．第4個等腰直角三角形的不在第3個等腰直角三角形邊上的頂點坐標為C．點的縱坐標為D．若記第個等腰直角三角形的面積為，則【答案】ABD【分析】由題意分析逐項判斷即可.【詳解】由圖易知，所作的等腰直角三角形的邊長構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，故選項A正確；選項B，，故選項B正確；選項C，點的縱坐標為，點的縱坐標為，點的縱坐標為，點的縱坐標為，點的縱坐標為，故選項C錯誤；選項D，，故選項D正確.故選：ABD. 五、單選題19．已知函數(shù)，當時函數(shù)恰有3個零點，則正整數(shù)的取值可以是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【分析】化簡，根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，得到，，求得的范圍，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，當時，可得，因為在上有3個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，，解出，所以正整數(shù)的取值可以是或.故選：AB. 六、多選題20．我們可以用統(tǒng)計圖表表示數(shù)據(jù)，對獲得數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析.據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒（2022）》可知，2016~2021年我國人口年齡分布情況（百分比）如表所示.（已知少兒撫養(yǎng)比，老年撫養(yǎng)比，總撫養(yǎng)比（%）少兒撫養(yǎng)比（%）+老年撫養(yǎng)比（%））根據(jù)圖表，下列說法正確的有（    ）A．從2016年到2021年期間，0~14歲人口比重在逐年上升B．從2016年到2021年期間，15~64歲人口比重在逐年下降C．2021贍養(yǎng)老人的壓力比2020年更重D．2021年總撫養(yǎng)比大于2020年總撫養(yǎng)比【答案】BCD【分析】根據(jù)圖表，逐項分析每個選項中的數(shù)據(jù)，可得答案.【詳解】對于A，由圖表可知2018年到2019年間以及2020年到2021年間0~14歲人口比重在降低，A錯誤；對于B，從2016年到2021年期間，15~64歲人口比重在逐年下降，正確；對于C，2021年65歲以及以上老年人撫養(yǎng)比為，2020年65歲以及以上老年人撫養(yǎng)比為，故2021贍養(yǎng)老人的壓力比2020年更重，C正確；對于D，2021年總撫養(yǎng)比為，2020年總撫養(yǎng)比為，故2021年總撫養(yǎng)比大于2020年總撫養(yǎng)比，D正確，故選：BCD 七、單選題21．已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可得四面體的外接球的球心為的中點，再利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，進而可得結(jié)果.【詳解】取中點，由矩形的性質(zhì)可知，即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；因為，，平面，可得平面，平面，則，且，，平面，可得平面，平面，則，故該四面體的四個面都是直角三角形，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，因為內(nèi)切球與四面體的四個面都相切，故滿足，則，解得；因此該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積的比值為.故選：C.    22．我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造合適的三棱錐模型，其中，，利用余弦定理證明即為底面周長，最后將其展開即可得到最小值.【詳解】根據(jù)函數(shù)的表達式可知，構(gòu)造三棱錐，其中，且，由余弦定理可得，，，的最小值即為的最小值，將三棱錐按照展開可得展開圖，且，故的最小值為.故選：A.