2022-2023學(xué)年江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高二下學(xué)期階段測試（四）數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2022-2023學(xué)年江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高二下學(xué)期階段測試（四）數(shù)學(xué)試題含答案，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高二下學(xué)期階段測試（四）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在等差數(shù)列中，首項，前3項和為6，則等于（    ）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】A【分析】根據(jù)題意求出公差，從而可得出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，解得，所以.故選：A.2．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則逐項計算即可判斷.【詳解】；；；.故選：D.3．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于等差數(shù)列基本量的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，，因為成等比數(shù)列，所以，即，因為，所以，所以.故選：A4．已知，的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】確定，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】由得，所以，故選：C5．中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走的路程是（    ）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里【答案】A【分析】由“每天走的路程為前一天的一半”可知這個人每天走的路程是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得出答案.【詳解】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.6．記等比數(shù)列的前項和為，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列通式求出，再化簡得，代入計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，故選：D.7．已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得圖象，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】定義域為，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，可得圖象如下圖所示，有個零點，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項和為．則（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)結(jié)合題設(shè)條件得出，兩邊取對數(shù)，結(jié)合等比定義以及求和公式求解即可.【詳解】，，，則兩邊取對數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A 二、多選題9．已知函數(shù)，關(guān)于的性質(zhì)，以下四個結(jié)論中正確的是（    ）A．函數(shù)在處取得最小值 B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．有兩個零點 D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性、最值判斷AB；解方程求出零點判斷C；利用奇偶性定義判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當或時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，B錯誤；函數(shù)的極大值，極小值，而當或時恒有，因此函數(shù)在處取得最小值，A正確；由解得或，因此函數(shù)有兩個零點，C正確；因為，，即是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.故選：AC10．已知數(shù)列的前項和為，若，則下列說法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．數(shù)列中的最小項為 D．、、成等差數(shù)列【答案】AB【分析】根據(jù)可知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)通項公式和求和公式結(jié)合選項逐個判斷.【詳解】因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為3，因為，所以，；對于A，因為，所以是遞增數(shù)列，A正確；對于B，因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對于C，因為，所以數(shù)列中的最小項為，C不正確；對于D，當時，，顯然不是等差數(shù)列，D不正確.故選：AB.11．已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項正確的是（     ）A．點是函數(shù)的零點；B．，，使C．若關(guān)于的方程有一個根，則實數(shù)的取值范圍是D．函數(shù)的值域為【答案】BD【分析】由函數(shù)零點的定義可判斷A不正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像可判斷B與D是否正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，結(jié)合圖像可確定a的取值范圍，可判斷選項C．【詳解】令，可得，是函數(shù)的零點，零點是實數(shù)0，不是點，A錯誤；因為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的極小值為和，且，當時，，當時，，如圖，作出函數(shù)的圖像，觀察圖像可知，，，使，所以B正確；函數(shù)的值域為，D正確；對于C，由，得，因為，則，令，得或或，當變化時，，的變化情況，如下表x012＋0－0＋ －0＋遞增遞減0遞增遞減遞增如圖，當或或時，關(guān)于的方程有一個根，所以a的取值范圍是，C不正確.故選：BD．12．如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長為1的等邊三角形，是對進行如下操作而得到：將曲線的每條邊進行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長為，圍成的面積為，則下列說法正確的是（    ）A．數(shù)列{}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列B．數(shù)列{}是首項為3，公比為的等比數(shù)列C．數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列D．當n無限增大時，趨近于定值【答案】ABD【分析】結(jié)合圖形規(guī)律得，即可判斷A,根據(jù)第個圖形的邊長為 ，即可判斷B，根據(jù)，利用累加法及等比數(shù)列的前項和公式求出．【詳解】是在的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數(shù)列{}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列,且 故A正確，第個圖形的邊長為 ，所以，故數(shù)列{}是首項為3，公比為的等比數(shù)列，故B正確，因為是在的每條邊上再生出一個小正三角形，于是，同理，對是在的每條邊上再生出一個小正三角形，于是的面積等于的面積加上個新增小三角形的面積，即，于是可以利用累加的方法得到將上面式子累加得當時， ，故C錯誤，D正確，故選：ABD 三、填空題13．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項和為         ．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程，求得首項和公差，即可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差為d，則，解得，故，故答案為：14．已知，成等差數(shù)列，則      .【答案】2【分析】先利用對數(shù)的定義求出的范圍，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程解出即可.【詳解】由對數(shù)定義有：，由成等差數(shù)列，所以，即，化簡得：，解得：或，由，所以：，故答案為：2.15．已知恰有一個零點，則的值為      .【答案】/【分析】根據(jù)條件可得，進而把問題轉(zhuǎn)化為只有一解，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象即得；或根據(jù)公切線的幾何求法轉(zhuǎn)化為方程只有一解進而求解.【詳解】解法一：因為，即， 所以，故，令，則，因為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因為時，，，所以，即只有一解，設(shè)，則，由可得，函數(shù)單調(diào)遞增；由可得，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)，可得函數(shù)的大致圖象，  所以即.解法二：因為函數(shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，要使恰有一個零點，則與相切，所以，即，所以只有一個解，以下同方法一.故答案為：. 四、雙空題16．已知，若對任意兩個不等的正實數(shù)都有恒成立，則的取值范圍是   ，若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是        ．【答案】          【分析】將不等式等價變形成，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得解；由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于0在上有解即可作答.【詳解】因?qū)θ我鈨蓚€不等的正實數(shù)都有，則不妨令，于是有，設(shè)函數(shù)，依題意，是定義域上的增函數(shù)，則有，而當時，取得最大值1，從而得，所以的取值范圍是；因在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式，即在上有解，而時，，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：； 五、解答題17．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因為數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18．已知函數(shù)，，且．求(1)的值及曲線在點處的切線方程；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由代入求出，從而得到函數(shù)解析式與導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值，在計算端點值，即可判斷.【詳解】（1）由題意，，因為，所以，解得，所以，則，，則，所以切點為，切線的斜率，所以切線方程為.（2）因為，，則，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，又，，，所以.19．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，是以為首項，且公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列．(1)求，的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)可求，據(jù)此可求數(shù)列的通項，利用基本量法結(jié)合等比中項可求的公差，故可求其通項公式.（2）根據(jù)錯位相減法可求.【詳解】（1）因為，所以當時，，所以，當時，，兩式相減可得，，故，而，故，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以．因為成等比數(shù)列，所以，解得：（舍去）或，所以.（2），，，故.20．已知是函數(shù)的極值點，且曲線在點處的切線斜率為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義，列出滿足的等量關(guān)系，求得，則問題得解；（2）求得在區(qū)間上的值域，根據(jù)值域的包含關(guān)系，列出的不等式，求解即可.【詳解】（1），則，由題可知，，解得，故.（2）由（1）知，，故當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增；又，故在上的值域為；，當，單調(diào)遞增，故值域為；根據(jù)題意，是的子集，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為.21．如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第個正三角為坐標原點）的邊長為．(1)求，的值；(2)記為數(shù)列的前項和，求的通項公式．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)題意求得點和，代入曲線，即可求解；（2）記為數(shù)列的前項和，求得，得到，結(jié)合，化簡得到，利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知為邊長為的等邊三角形，可得，因為點在曲線上，可得，解得，又由，可得，解得.（2）記為數(shù)列的前項和，則，即，整理得，當時，可得，所以，即，因為，所以，又因為，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為．22．已知函數(shù)．(1)若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；(2) 【分析】（1）求導(dǎo)之后，分解因式求出導(dǎo)函數(shù)的零點，按零點的大小分類討論即可求解（2），顯然是的零點，則問題轉(zhuǎn)化為方程，即恰有兩個不為2的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】（1）由題意得，令，則或，①當時，即時，令，則：令，則，或，∴在上遞減，在上遞增，∴在處取得極小值，此時不符合題意；②當時，即時，則，∴在上遞增，∴在處不取極值，比時不符合題意③當時，即時，令，則；令，則，或，∴在和上遞增，在上遞減，∴在處取得極大值，此時符合題意；綜上，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和（2）由題意得，顯然是的零點，則方程，即恰有兩個不為2的實數(shù)根，令，則，令，則；令，則，∴在上遞增，在上遞減，當時，的值域為；當時，的值域為，∴，且，∴，且，綜上，實數(shù)a的取值范圍為．