初中滬教版 (五四制)19．2 證明舉例公開課表格教案設(shè)計(jì)

這是一份初中滬教版 (五四制)19．2 證明舉例公開課表格教案設(shè)計(jì)，共7頁。教案主要包含了建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，例題分析，課堂小結(jié)，作業(yè)布置等內(nèi)容，歡迎下載使用。
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課 題
十九章證明舉例
課 型
復(fù)習(xí)
教 時(shí)
2
教 學(xué)
目 標(biāo)
1. 掌握平行線、全等三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)證明有關(guān)線段和角相等及線段平行的簡(jiǎn)單問題。
2. 通過分解基本圖形，掌握添置輔助線的方法。
3. 進(jìn)一步學(xué)會(huì)演繹推理的方法和規(guī)范表達(dá)，體會(huì)理性思維的精神，發(fā)展邏輯思維能力。
重 點(diǎn)
平行線、全等三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)的正確運(yùn)用。
難 點(diǎn)
幾種常見輔助線的添置。
教具準(zhǔn)備
多媒體課件
教 學(xué) 過 程
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
一、建立知識(shí)結(jié)構(gòu)：
前階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了證明線段平行、相等以及角相等的有關(guān)定理和基本圖形，這節(jié)課我們一起來復(fù)習(xí)、梳理這些知識(shí):
1、一個(gè)三角形中證明線段和角相等常用的定理和基本圖形，常添的輔助線．






（等邊對(duì)等角） （等角對(duì)等邊） （底邊上的高或中線或頂角的平分線）

2、在兩個(gè)三角形中證明線段和角相等，常要證明三角形全等．
三角形全等的判定與基本圖形：
① ②



（S、A、S） (A、S、A)
③ ④



(A、A、S) (S、S、S)



師：聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)得到線段，構(gòu)造全等三角形
3、有線段中點(diǎn)的條件，常添的輔助線：







師： 如果有中線，則往往將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造成中心對(duì)稱的三角形；當(dāng)有角平分線，常添的輔助線有以下幾種：
4、當(dāng)有角平分線，常添的輔助線有以下幾種






在ON上截取OA＝OB, 延長(zhǎng)BP交ON于點(diǎn)A ，
構(gòu)造全等三角形 構(gòu)造等腰三角形

二、例題分析：
例1、 已知，如圖BD=CE，∠1=∠2，
求證：（1）AB=AC．
（2）聯(lián)結(jié)ED，試判斷BC與ED的位置關(guān)系，并證明你的判斷．
分析：?jiǎn)?、通過對(duì)題意分析，你能看出哪些基本圖形？






問2、證明哪兩個(gè)三角形全等？

問3、能證明△BCE與△CBD全等嗎？

問4、BC與ED有怎樣的位置關(guān)系？如何證明？
（學(xué)生口述證明過程）
證明：（1）∵∠1=∠2（已知），
∴∠AEC=∠ADB（等角的補(bǔ)角相等）
在△ABD與△ACE中
∠AEC=∠ADB（已證）
∠A=∠A（公共角）
BD=CE（已知）
∴△ABD≌△ACE （AAS）
∴AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

（2）答：AB∥ED．
證明：∵△ABD≌△ACE（已證）
∴AE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
∴∠3=∠4（等邊對(duì)等角）
同理：∠ABC=∠ACB
∵∠A+∠3+∠4=180°
∠A+∠ABC +∠ACB =180°（三角形的內(nèi)角和為180°）
∴∠3+∠4=∠ABC +∠ACB（等式性質(zhì)）
∴2∠3=2∠ABC
∴∠3 =∠ABC（等式性質(zhì)）
∴BC∥ED．（同位角相等，兩直線平行）
適時(shí)小結(jié)：本例中既有證明線段相等、平行又有證明角相等．既要運(yùn)用三角形全等，又要運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)等定理．因而分解基本圖形，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǚ浅Ｖ匾?br />
例2 已知：如圖,在△ABC中, AD⊥BC于D，AD=BD，點(diǎn)H為AD上一點(diǎn)， AC=BH．
求證：∠ABC=∠BCH．
D
H
E
A
B
C







分析：?jiǎn)?：從組合圖形中能看出有哪些基本圖形？
1

D
H
A
B
C
D
A
H
C
（圖1）
B






（圖2）


問2：由圖1可得什么？為什么？
1

D
H
A
B
C
問3：圖2中的兩個(gè)三角形是什么三角形？





（學(xué)生口述證明過程）
證明：
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB=∠ADC=90o(垂直的意義)．
在Rt△BDH和Rt△ADC．

∴Rt△BDH和Rt△ADC（H.L）．
∴DH=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴∠DCH=∠1（等邊對(duì)等角），
∴∠DCH=45o（三角形內(nèi)角和為180o）
同理：∠ABC=45o
∴∠ABC=∠BCH（等量代換）．
反饋練習(xí)：
1、已知，如圖，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
AD=BC，CE=DF，求證AO=BO．
分析：?jiǎn)?、由題意，你找到基本圖形嗎？




問2、由這個(gè)基本圖形你能得到什么結(jié)論？

例3：已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn),且AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．
分析：
問1、需要添置輔助線嗎？如何添？
問2、構(gòu)造△BED的目的是什么？
問3、AD的取值范圍如何確定呢？
解：設(shè)AD=x，
2 x＞2 解得：1＜x＜4

2 x＜8
∴AD的取值范圍是大于1且小于4．

變式：已知，如圖， D是BC的中點(diǎn),且AB=m，AC=n，求AD的取值范圍．
分析：根據(jù)變式的解題方法，進(jìn)行思考，得出結(jié)論．

適時(shí)小結(jié)：如果有線段中點(diǎn)的條件，可以以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，構(gòu)造成中心對(duì)稱的三角形；如果有中線，則往往將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造成中心對(duì)稱的三角形.

反饋練習(xí)：已知，如圖， D是BC的中點(diǎn), 若∠BED=∠CAD，求證:BE=AC；
分析：?jiǎn)?、由題意，能直接證明BE=AC嗎？

問2、如何添置輔助線？
F










F
問3、添置這個(gè)三角形的目的是什么？


問4、還有其它的添置方法嗎？






完整的證明過程學(xué)生課后完成．

例題4 已知：如圖，在△ABC中，CD是△ABC的角平分線，BC=AC+AD．
求證：∠A=2∠B．

分析：
1．條件BC=AC+AD使我們想到把線段AD、AC轉(zhuǎn)化到線段BC上，怎樣轉(zhuǎn)化呢？．
2．“角平分線”的條件，為實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)化提供了條件. 怎樣翻折呢？怎樣添置輔助線呢？
基本圖形：

證明：在CB上截取CE=CA,聯(lián)結(jié)DE．
∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2.
在△ACD與△ECD中
AC=CE
∠1=∠2
CD=CD
∴△ACD≌△ECD （S.A.S）
∴DE=AD, ∠A=∠DEC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等).
∵BC=CE+BE=AC+AD
∴BE=AD(等式性質(zhì))
∴DE=BE,
∴∠B=∠BDE(等邊對(duì)等角).
∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和).
∴∠A=2∠B．
適時(shí)小結(jié)：
注意到CD是△ABC的角平分線，BC=AC+AD．利用圖形運(yùn)動(dòng)，沿CD將△ABD向下翻折或?qū)ⅰ鰾CD向上翻折，得到點(diǎn)A或點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)．從而得到添置輔助線的兩種常見方法：“截長(zhǎng)法“和”補(bǔ)短法”，這是兩種不同的添線方法，“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”都可以，一般用“截長(zhǎng)法”，在以后的學(xué)習(xí)中我們可繼續(xù)體會(huì)．
例5：求證：等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.
分析：根據(jù)命題畫出圖形？（師生一起分析并畫圖）
1）畫一個(gè)等腰△ABC.
2）再畫出腰上的高BD.
問：（1）高與底邊的夾角是哪個(gè)角？








（2）分析命題的題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出“已知”和“求證”.
問1：已知什么？
問2：求證什么？
已知: 如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.
求證：∠A=2∠DBC
問：如何找到∠A的一半？
證明：作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E.
∵AB=AC , AE⊥BC.
∴∠BAC=2∠1(等腰三角形的三線合一).
∵ AE⊥BC.(已知)
∴∠C+∠1=900（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.
同理∠C+∠2=900。。
∴∠1=∠2（同角的余角相等）.
∴∠BAC=2∠2（等量代換）.
即∠A=2∠DBC.

三、課堂小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲和感想？
數(shù)學(xué)思想和方法：
體現(xiàn)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合、化歸思想.

四、作業(yè)布置
練習(xí)冊(cè)：復(fù)習(xí)題A組第3、4、5、6；B組第1、2、3


思考、回顧、復(fù)習(xí)舊知。




































回顧常添的輔助線












師生共同完成例題
學(xué)生黑板板書，點(diǎn)評(píng)，糾錯(cuò).





































學(xué)生交流、討論






































完成反饋練習(xí)





































































































































談收獲和注意點(diǎn)

舉例板書設(shè)計(jì)：
1.相關(guān)定理
2.例題解題格式
課后反思：