高一下學(xué)期期末模擬試卷1（平面向量+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計(jì)概率）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)知識(shí)?考點(diǎn)培優(yōu)講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）

這是一份高一下學(xué)期期末模擬試卷1（平面向量+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計(jì)概率）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)知識(shí)?考點(diǎn)培優(yōu)講義（人教A版2019必修第二冊(cè)），文件包含高一下學(xué)期期末模擬試卷1平面向量--概率解析版docx、高一下學(xué)期期末模擬試卷1平面向量--概率原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。
?階段檢測(cè)：期末模擬試卷1（平面向量--概率）

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可得答案.
【詳解】，其虛部為．
故選：D．
2．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的30%分位數(shù)為（????）
A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3
【答案】D
【分析】利用百分位數(shù)定義求解.
【詳解】數(shù)據(jù)已從小到大排列，共8個(gè)數(shù)，
，
即該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是從左往右第三個(gè)數(shù)，
故選：D.
3．已知互不重合的直線，，互不重合的平面，，，下列命題錯(cuò)誤的是（????）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】利用面面平行具有傳遞性的性質(zhì)，可判斷A 選項(xiàng)；利用面面平行與垂直的性質(zhì)，可判斷B選項(xiàng)；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷C、D選項(xiàng)；
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，，則，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，則，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，則或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，根據(jù)面面平行，可證得線面平行，即，故正確.
故選：C.
4．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若，，，則（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算得出，再結(jié)合平面的基本定理可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，
所以，即，
故選：B．
5．某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的人與自然和諧共生的發(fā)展理念，對(duì)該地企業(yè)已處理的廢水進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)．下表是對(duì)A，B兩家企業(yè)10天內(nèi)已處理的廢水的某項(xiàng)指標(biāo)值的檢測(cè)結(jié)果．下列說法正確的是（????）
A
43
72
73
98
63
86
65
75
81
78
B
82
68
71
37
61
65
58
68
77
94

A．A企業(yè)該指標(biāo)值的極差較大 B．A企業(yè)該指標(biāo)值的中位數(shù)較小
C．B企業(yè)該指標(biāo)值的平均數(shù)較大 D．B企業(yè)該指標(biāo)值的眾數(shù)與中位數(shù)相等
【答案】D
【分析】將A，B兩家企業(yè)10天內(nèi)已處理的廢水的某項(xiàng)指標(biāo)值的檢測(cè)結(jié)果從小到大排列，然后逐一判斷即可.
【詳解】將A，B兩家企業(yè)10天內(nèi)已處理的廢水的某項(xiàng)指標(biāo)值的檢測(cè)結(jié)果從小到大排列：
A企業(yè)：43,63,65,72,73,75,78,81,86,98.
B企業(yè)：37,58,61,65,68,68,71,77,82,94.
A企業(yè)的極差為，B企業(yè)的極差為，A錯(cuò)誤；
A企業(yè)的中位數(shù)為，B企業(yè)的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；
A企業(yè)的平均數(shù)為，B企業(yè)的平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；
由上可知，B企業(yè)該指標(biāo)值的眾數(shù)與中位數(shù)都為，D正確.
故選：D.
6．如圖，函數(shù)（，，）的部分圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)分別為，Q，R，且線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則等于（????）
??
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】利用線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)求出Q，R的坐標(biāo)，求出周期,寫出的解析式，計(jì)算的值即可.
【詳解】設(shè)，
線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
，解得，
，解得，

當(dāng)時(shí)，
根據(jù)五點(diǎn)法畫圖，令，解得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，解得，
.
.
故選：A
7．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△，若，，則（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得，，設(shè)出長(zhǎng)度，利用正弦定理可得與的等量關(guān)系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面積即可.
【詳解】在中，，
因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)（），則，
由正弦定理可知，，即，則，
在中，，
，
又，則，故，
所以．
故選：B．
8．已知長(zhǎng)方體中，，，若與平面所成的角的余弦值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得，即，設(shè)，求出，根據(jù)該長(zhǎng)方體外接球的直徑是，可求出，再根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】連，因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角，
所以，所以，
設(shè)，則，即，
又，所以，所以，
即，所以，，
因?yàn)樵撻L(zhǎng)方體外接球的直徑是，所以半徑，
所以該外接球的表面積為.
故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．2022 年秋，我國(guó)南方某地臍橙大豐收，甲、乙兩名網(wǎng)紅主播為幫助該地銷售臍橙，開啟了連續(xù)10天針對(duì)該地臍橙的直播帶貨專場(chǎng)，下面統(tǒng)計(jì)圖是甲、乙兩名主播這10天的帶貨數(shù)據(jù)：則下列說法中正確的有：（????）

A．甲主播10天帶貨總金額超過乙主播10天帶貨總金額
B．乙主播10天帶貨金額的中位數(shù)低于82萬元
C．甲主播10天帶貨金額的極差小于乙主播 10天帶貨金額的極差
D．甲主播前7天帶貨金額的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙主播前7天帶貨金額的標(biāo)準(zhǔn)差
【答案】ABC
【分析】根據(jù)兩名主播的帶貨數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)和極差，和標(biāo)準(zhǔn)差的定義和意義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A.根據(jù)帶貨數(shù)據(jù)可知，A正確；
B.將乙主播的帶貨金額按從小到大排列，按日期排列，2，1，3，8，4，5，6，7，9，10，中位數(shù)為第4天和第5天的平均數(shù)，低于82萬元，故B正確；
C.極差為最大值與最小值的差，根據(jù)帶貨數(shù)據(jù)可知，甲主播10天帶貨金額的極差小于乙主播 10天帶貨金額的極差，故C正確；
D.比較甲和乙前7天的帶貨金額的數(shù)據(jù)可知，乙前3天的波動(dòng)大于甲，后面的波動(dòng)情況，基本一樣，所以甲的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（ ）
A．的虛部為
B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C．的共軛復(fù)數(shù)為
D．若，則的最大值是
【答案】CD
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，則.
對(duì)于A選項(xiàng)，的虛部為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，的共軛復(fù)數(shù)為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br /> 由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，D對(duì).
故選：CD.
11．下列說法中不正確的是（????）
A．向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
B．已知為單位向量，若，則在上的投影向量為
C．若，則與垂直的單位向量坐標(biāo)為或
D．若，則與的夾角是鈍角
【答案】ABD
【分析】依據(jù)向量的基底定義判斷選項(xiàng)A；求得在上的投影向量判斷選項(xiàng)B；求得與垂直的單位向量坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；求得與的夾角判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：，則，
則向量不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：已知為單位向量，若，
則在上的投影向量為.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：若，設(shè)與垂直的單位向量坐標(biāo)為，
則，解之得或
則與垂直的單位向量坐標(biāo)為或.判斷正確；
選項(xiàng)D：若，則與的夾角是鈍角或平角.判斷錯(cuò)誤.
故選：ABD
12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列選項(xiàng)中正確的有（????）
??
A．異面直線與的夾角的正弦為
B．二面角的平面角的正切值為
C．正方體的外接球體積為
D．三棱錐與三棱錐體積相等
【答案】ACD
【分析】由知就是異面直線所成的角，求解即可判斷A；連接交于點(diǎn)O，由題意得BD⊥平面，為二面角的平面角，求解可B；正方體外接球的半徑，求出外接球體積可判斷C；由，及三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，∵，中，就是異面直線所成的角，
，則，A正確；
對(duì)于B，連接交于點(diǎn)O，連接，
????
∵平面ABCD，BDì平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，ì平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴為二面角的平面角，
在中，，B不正確；
對(duì)于C，∵正方體外接球的半徑，
∴正方體的外接球體積為，C正確；
對(duì)于D，∵，
三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，
故三棱錐與三棱錐體積相等，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若，，則________
【答案】
【分析】先根據(jù)商數(shù)關(guān)系化弦為切求出，再根據(jù)利用兩角和的正切公式即可得解.
【詳解】，解得，
則.
故答案為：.
14．甲、乙、丙三名同學(xué)將參加2023年高考，根據(jù)高三年級(jí)半年來的各次測(cè)試數(shù)據(jù)顯示，甲、乙、丙三人數(shù)學(xué)能考135分以上的概率分別為，和.設(shè)三人是否考135分以上相互獨(dú)立，則這三人在2023年高考中至少有兩人數(shù)學(xué)考135分以上的概率為_____________.
【答案】
【分析】這三人在2023年高考中至少有兩人數(shù)學(xué)考135分以上包括甲、乙、丙三人中兩人或者三人數(shù)學(xué)都考135分以上兩種情況，分別求其概率相加即可.
【詳解】已知甲、乙、丙三人數(shù)學(xué)能考135分以上的概率分別為，和，且三人是否考135分以上相互獨(dú)立，
則三人中兩人數(shù)學(xué)考135分以上的概率為：，
三人數(shù)學(xué)都考135分以上的概率為：，
所以甲、乙、丙三人數(shù)學(xué)能考135分以上的概率為.
故答案為：.
15．如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于__________.

【答案】/
【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．
【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG．

，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，
，，且，．
為EF與AC所成的角（或其補(bǔ)角）．
又，．
又，，，
為直角三角形，，又為銳角，
，即EF與AC所成的角為．
故答案為：．
16．△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足（）．射線BP與邊AC交于點(diǎn)D．若，，則角B的值為_____________，△ABC面積的最小值為_____________．
【答案】 / /
【分析】判斷出是三角形的角平分線，利用余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最小值.
【詳解】表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，
根據(jù)向量加法的幾何意義可知在三角形的角平分線上，
即是三角形的角平分線，
由得，
則為銳角，所以.
依題意，
根據(jù)三角形的面積公式有，
整理得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以三角形面積的最小值為.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】利用余弦定理解三角形，主要的方法是邊角互化，將已知條件中的邊和角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理即可求得問題的結(jié)果.求三角形面積的最值，可考慮基本不等式或者三角函數(shù)值域的方法.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指標(biāo)值分組





頻數(shù)
6
26
38
22
8
(1)在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.
【答案】(1)頻率分布直方圖見解析；
(2)平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布表完成頻率直方圖即可；
（2）由所得直方圖估計(jì)平均數(shù)、方差.
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：
質(zhì)量指標(biāo)值分組





頻率
0.06
0.26
0.38
0.22
0.08
頻率分布直方圖如下，

（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為.
質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為.
所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.
18．已知函數(shù)，，，.
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)，（開閉均可）
(2)
【分析】(1) 利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為的形式, 結(jié)合三角 函數(shù)的圖象和性質(zhì), 求出周期及單調(diào)區(qū)間；
（2）利用，再由角的變換, 誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求值即可.
【詳解】（1）
，
所以周期，
令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（開閉均可）
（2），
，即，


.
19．如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱上.
??
(1)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，的值最??？并求出這個(gè)最小值；
(2)當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)在線段的四分點(diǎn)處，靠近點(diǎn)；；
(2)
【分析】（1）把側(cè)面展開，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，的值最小即可求得最小值，從而確定點(diǎn)的位置；
（2）利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.
【詳解】（1）把側(cè)面展開，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，
的值最小，最小值為，
此時(shí)，，即，所以在線段的四分點(diǎn)處，靠近點(diǎn) ；
（2）由正棱柱的性質(zhì)可得: ，
所以，則.
，
又，點(diǎn)D到平面的距離為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由得，，
即，解得: .
20．某村為提高村民收益，種植了一批蜜柚，現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，測(cè)得其質(zhì)量(單位：克)均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間的蜜柚中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2 000克的概率；
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹上大約還有5 000個(gè)蜜柚待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：
.所有蜜柚均以40元/千克收購(gòu)；
.低于2 250克的蜜柚以60元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)，高于或等于2 250克的蜜柚以80元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu).
請(qǐng)你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.
【答案】(1)
(2)選擇方案

【分析】（1）由題知，應(yīng)在質(zhì)量為的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè).
記抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，列舉解決即可.
（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得，按方案收購(gòu)總收益為457500(元)，按方案收購(gòu)總收益為365000 (元)，由于，即可解決.
【詳解】（1）由題圖可得蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2∶3，
所以應(yīng)分別在質(zhì)量為的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè).
記抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，
則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有10種：

其中質(zhì)量均小于2 000克的僅有這1種情況，
所以所求概率為.
（2）方案好，
理由：由題中頻率分布直方圖可知，
蜜柚質(zhì)量在區(qū)間的頻率為，
同理，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間

的頻率依次為，
若按方案收購(gòu)：由題意知各區(qū)間的蜜柚個(gè)數(shù)依次為，
于是總收益為

(元).
若按方案收購(gòu)：由題意知蜜柚質(zhì)量低于2 250克的個(gè)數(shù)為，
蜜柚質(zhì)量高于或等于2 250克的個(gè)數(shù)為，
所以總收益為(元).
因?yàn)椋?
所以方案的收益比方案的收益高，應(yīng)該選擇方案.
21．如圖，在三棱柱中，，平面平面，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：直線平面；
(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)A作，交邊BC于點(diǎn)H，確定，得到線面垂直.
（2）過點(diǎn)C作，交直線于點(diǎn)E，確定直線CD與面所成角即，計(jì)算各線段長(zhǎng)度，計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），過點(diǎn)A作，交邊BC于點(diǎn)H．

，平面平面，平面平面，
平面，故面，平面，故，
又，，平面，故平面．
（2），，，面，故平面，
平面，故平面平面．
過點(diǎn)C作，交直線于點(diǎn)E，
平面平面，平面，則面．
故直線CD與面所成角即，
，，故，又，，，
故，，，
，，
故，
即直線CD與面所成角的正弦值為
22．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大??；
(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；
（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> （2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為．