高考物理真題分項(xiàng)匯編（3年（2021-2023）（北京專用）專題22 電學(xué)計(jì)算（一）

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?專題22 電學(xué)計(jì)算（一）

1.（2023·北京卷）某種負(fù)離子空氣凈化原理如圖所示。由空氣和帶負(fù)電的灰塵顆粒物（視為小球）組成的混合氣流進(jìn)入由一對(duì)平行金屬板構(gòu)成的收集器。在收集器中，空氣和帶電顆粒沿板方向的速度保持不變。在勻強(qiáng)電場(chǎng)作用下，帶電顆粒打到金屬板上被收集，已知金屬板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，間距為d、不考慮重力影響和顆粒間相互作用。
（1）若不計(jì)空氣阻力，質(zhì)量為m、電荷量為的顆粒恰好全部被收集，求兩金屬板間的電壓；
（2）若計(jì)空氣阻力，顆粒所受阻力與其相對(duì)于空氣的速度v方向相反，大小為，其中r為顆粒的半徑，k為常量。假設(shè)顆粒在金屬板間經(jīng)極短時(shí)間加速達(dá)到最大速度。
a、半徑為R、電荷量為的顆粒恰好全部被收集，求兩金屬板間的電壓；
b、已知顆粒的電荷量與其半徑的平方成正比，進(jìn)入收集器的均勻混合氣流包含了直徑為和的兩種顆粒，若的顆粒恰好100%被收集，求的顆粒被收集的百分比。
??
【答案】（1）；（2），25%
【詳解】（1）只要緊靠上極板的顆粒能夠落到收集板右側(cè)，顆粒就能夠全部收集，有




解得

（2）a.顆粒在金屬板間經(jīng)極短時(shí)間加速達(dá)到最大速度


且

解得

b.帶電荷量q的顆粒恰好100%被收集，顆粒在金屬板間經(jīng)極短時(shí)間加速達(dá)到最大速度，所受阻力等于電場(chǎng)力，有


在豎直方向顆粒勻速下落

的顆粒帶電荷量為
q
顆粒在金屬板間經(jīng)極短時(shí)間加速達(dá)到最大速度，所受阻力等于電場(chǎng)力，有


設(shè)只有距下極板為d′的顆粒被收集，在豎直方向顆粒勻速下落

解得

的顆粒被收集的百分比


2.（2022·北京卷）如圖所示，真空中平行金屬板M、N之間距離為d，兩板所加的電壓為U。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板由靜止釋放。不計(jì)帶電粒子的重力。
（1）求帶電粒子所受的靜電力的大小F；
（2）求帶電粒子到達(dá)N板時(shí)的速度大小v；
（3）若在帶電粒子運(yùn)動(dòng)距離時(shí)撤去所加電壓，求該粒子從M板運(yùn)動(dòng)到N板經(jīng)歷的時(shí)間t。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)

帶電粒子所受的靜電力

（2）帶電粒子從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到N板的過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系有

解得

（3）設(shè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)距離時(shí)的速度大小為v′，根據(jù)功能關(guān)系有

帶電粒子在前距離做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后距離做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)用時(shí)分別為t1、t2，有
，
則該粒子從M板運(yùn)動(dòng)到N板經(jīng)歷的時(shí)間



1.（2023·北京市潞河中學(xué)·?？既＃╇娏烤鶠榈膬呻姾晒潭ㄔ谙嗑酁榈膬牲c(diǎn)，為連線中點(diǎn)，連線中垂線上有一點(diǎn)，到的距離為，已知靜電力常量。
（1）求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
（2）將一質(zhì)量為，帶電量為的粒子從點(diǎn)由靜止釋放，為中點(diǎn)，不考慮粒子的重力。
a．若遠(yuǎn)小于，可略去項(xiàng)的貢獻(xiàn)，試證明粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
b．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)描述與該粒子所做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的圓運(yùn)動(dòng)，并求該粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能的最大值。
c．若令此粒子分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)在此靜電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期分別為和，有學(xué)生認(rèn)為依據(jù)過(guò)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑更大，則其運(yùn)動(dòng)的周期也更大，即，你認(rèn)為正確嗎？若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。若不正確，請(qǐng)分析和的大小關(guān)系。
??
【答案】（1），方向由O指向M；（2）a．見(jiàn)解析；b．圓周運(yùn)動(dòng)以O(shè)點(diǎn)為圓心，以A為半徑，周期為，圓平面與紙面垂直；粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能最大值為；c．說(shuō)法正確，理由見(jiàn)解析。
【詳解】（1）試探電荷在M點(diǎn)受到的電場(chǎng)力為

所以M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

方向由O指向M；
（2）a．由題可知，粒子從點(diǎn)由靜止釋放后，將以O(shè)點(diǎn)為中心沿著直線OM做往返運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子的位移為時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力為

其中，若遠(yuǎn)小于，略去項(xiàng)后，有

即粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
b．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，二者周期相同，此圓周運(yùn)動(dòng)以O(shè)點(diǎn)為圓心，圓平面與紙面垂直，根據(jù)牛頓第二定律有

解得

粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能最大值為

c．粒子過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)在此靜電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則圓心在O點(diǎn)處，電場(chǎng)力提供向心力，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則有

整理得

由上式可知，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為越大，其周期越長(zhǎng)，所以粒子過(guò)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期比過(guò)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期要大，該學(xué)生的說(shuō)法正確。

2.（2023·北京十一中學(xué)·?？既＃┤鐖D甲所示是研究光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)電路圖，ab、cd為兩正對(duì)的、半徑為r的平行的、圓形金屬板，板間距為d。當(dāng)一細(xì)束頻率為ν的光照極板ab圓心時(shí)，產(chǎn)生沿不同方向運(yùn)動(dòng)的光電子。調(diào)節(jié)滑片改變兩板間電壓，發(fā)現(xiàn)當(dāng)電壓表示數(shù)為時(shí)，電流表示數(shù)恰好為零。假設(shè)光電子只從極板圓心處發(fā)出，普朗克常量為h，電子電量為e，電子質(zhì)量為m，忽略場(chǎng)的邊界效應(yīng)和電子之間的相互作用，電壓表和電流表均為理想電表。
（1）求金屬板的逸出功；
（2）若交換電源正負(fù)極，調(diào)節(jié)滑片逐漸增大兩極板間電壓，求電流達(dá)到飽和時(shí)的最小電壓；
（3）已知單位時(shí)間內(nèi)從ab板逸出的電子數(shù)為N，電子逸出時(shí)所攜帶動(dòng)能在0至最大動(dòng)能之間粒子數(shù)是均勻分布的。假設(shè)所有逸出的電子都垂直于ab板向cd板運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示。調(diào)整滑動(dòng)變阻器的滑片，當(dāng)ab與cd兩板之間電勢(shì)差為時(shí)，求此時(shí)安培表的讀數(shù)I及對(duì)應(yīng)的電阻值R。
??
【答案】（1）；（2）；（3），
【詳解】（1）分析電路可知，金屬板間加反向電壓，當(dāng)電壓為時(shí)，檢流計(jì)的電流為零，有

根據(jù)愛(ài)因斯坦光電效應(yīng)方程可知

解得逸出功

（2）交換電源正負(fù)極，金屬板加正向電壓，平行金屬板飛出的電子到達(dá)cd板時(shí)，電流達(dá)到飽和，該電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，初速度為，則有



聯(lián)立解得

（3）電子動(dòng)能在0至之間均勻分布，當(dāng)電壓為時(shí)，動(dòng)能在至的電子才能到達(dá)cd板形成電流


解得

電阻的電壓為，則

所以


3.（2023·北京第101中學(xué)·?？既＃╇娏烤鶠?Q的兩電荷固定在相距為2d的AB兩點(diǎn)，O為AB連線中點(diǎn)，AB連線中垂線上有一點(diǎn)M，到O的距離為A，已知靜電力常量k。
（1）求M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
（2）將一質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子從M點(diǎn)由靜止釋放，不考慮粒子的重力。
a.若A遠(yuǎn)小于d，可略去項(xiàng)的貢獻(xiàn)，試證明粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
b.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)描述與該粒子所做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的圓運(yùn)動(dòng)，并求該粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期及動(dòng)能的最大值。

【答案】（1）；方向?yàn)镺指向M；（2）a.見(jiàn)解析；b.；
【詳解】（1）兩個(gè)等量正電荷在M處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度并合成如圖所示

M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

方向?yàn)镺指向M。
（2）a.粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，O點(diǎn)為平衡位置，可知當(dāng)發(fā)生位移x時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力為

即粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
b．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，二者周期相同，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)以O(shè)點(diǎn)為圓心，圓面與紙面垂直，由牛頓第二定律可得

解得

又

其中

聯(lián)立，可得


4.（2023·北大附中·校考三模）如圖所示為離子發(fā)動(dòng)機(jī)的示意圖：其原理是設(shè)法將惰性氣體（比如氙氣）電離，使中性的原子變成帶正電的離子，這些帶正電的氣體離子經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)加速，以很高的速度沿同一方向噴出艙室，由此產(chǎn)生推力。由于單位時(shí)間內(nèi)噴出的氣體離子質(zhì)量很小，探測(cè)器得到的加速度會(huì)非常小，但經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間的加速，同樣可以得到很大的速度。假如探測(cè)器連同離子發(fā)動(dòng)機(jī)和氙氣的總質(zhì)量為M，每個(gè)氙離子的質(zhì)量為m，電量為q，加速電壓為U，離子加速后形成的電流強(qiáng)度為I，為研究問(wèn)題方便，假定離子推進(jìn)器在太空中飛行時(shí)不受其它外力，忽略推進(jìn)器運(yùn)動(dòng)速度，求：
(1)發(fā)動(dòng)機(jī)單位時(shí)間內(nèi)噴出多少個(gè)氙離子；
(2)離子發(fā)動(dòng)機(jī)工作的初始階段，產(chǎn)生推力能使探測(cè)器產(chǎn)生的加速度大?。?br /> (3)為使離子推進(jìn)器正常運(yùn)行，必須在有離子噴射的出口處用中和電子槍向正離子噴射電子，試解釋其原因。

【答案】(1)；(2)；(3)見(jiàn)解析
【詳解】(1)設(shè)單位時(shí)間內(nèi)應(yīng)噴出n個(gè)離子，根據(jù)電流強(qiáng)度的定義可得

(2)在離子加速階段，由動(dòng)能定理得

解得

每個(gè)氙粒子動(dòng)量增量為mv，t時(shí)間內(nèi)

由動(dòng)量定理得
，
根據(jù)牛頓第二定律
F=Ma
聯(lián)立上述幾式，得
a=
(3)推進(jìn)器持續(xù)噴出正離子束，會(huì)使帶有負(fù)電荷的電子留在其中，由于庫(kù)侖力作用將嚴(yán)重阻礙正離子的繼續(xù)噴出。電子積累足夠多時(shí)，甚至?xí)姵龅恼x子再吸引回來(lái)，致使推進(jìn)器無(wú)法正常工作。因此，必須注入電子以中和正離子，使推進(jìn)器獲得持續(xù)推力。

5．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速后射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)。已知加速電場(chǎng)兩極板間電壓為U1，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩極板間電壓為U2，極板長(zhǎng)為L(zhǎng)，相距為d，電子質(zhì)量為m，電荷量為e，（重力不計(jì)）。求：
（1）電子離開(kāi)加速電場(chǎng)時(shí)速度大小v0；
（2）電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)豎直方向的位移大小y；
（3）某同學(xué)認(rèn)為將一價(jià)氫離子、一價(jià)氦離子和二價(jià)氦離子的混合物由靜止開(kāi)始進(jìn)入該裝置，它們會(huì)分離為三股粒子束。你認(rèn)為這位同學(xué)的看法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析
【詳解】（1）電子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有

所以

（2）電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有



所以

（3）粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度偏轉(zhuǎn)角為

豎直方向的偏移量為

由以上分析可知，粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角、豎直方向的偏移量均與粒子的比荷無(wú)關(guān)，故不會(huì)分為三股粒子束。

6．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考二模）如圖，光滑斜面傾角為，一質(zhì)量、電荷量的小物塊置于斜面上，當(dāng)加上水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，該物體恰能靜止在斜面上，，求：
（1）該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小
（2）若電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，小物塊運(yùn)動(dòng)的加速度大小
（3）在（2）前提下，當(dāng)小物塊沿斜面下滑時(shí)，機(jī)械能的改變量。

【答案】（1） ；（2） ；（3）
【詳解】（1）如圖所示，小物塊受重力、斜面支持力和電場(chǎng)力三個(gè)力作用，受力平衡，則有

在軸方向

在軸方向

得

故有
，方向水平向右。
（2）場(chǎng)強(qiáng)變化后物塊所受合力為

根據(jù)牛頓第二定律得

故代入解得
，方向沿斜面向下
（3）機(jī)械能的改變量等于電場(chǎng)力做的功，故
，
解得


7.（2023·北京市中關(guān)村中學(xué)·?？既＃┤鐖D所示，兩平行金屬板A、B間電勢(shì)差為，帶電量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，由靜止開(kāi)始從極板A出發(fā)，經(jīng)電場(chǎng)加速后射出，沿金屬板C、D的中心軸線進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電壓為的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，最終從極板C的右邊緣射出。偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，板間距為d。忽略重力的影響。
（1）求帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)量的大小。
（2）求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)對(duì)帶電粒子沖量的大小I和方向。
（3）保持其他條件不變，僅在極板C、D之間再施加一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得帶電粒子恰好從距離極板D右邊緣射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，求該帶電粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能。
??
【答案】（1）；（2），方向豎直向上；（3）
【詳解】（1）由動(dòng)能定理

可得

（2）帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)加速度大小為

在豎直方向上有

解得

偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)對(duì)帶電粒子沖量的大小為

方向豎直向上；
（3）由（1）中分析可得

由于洛倫茲力不做功，因此帶電粒子恰好從距離極板D右邊緣射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，電場(chǎng)力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理可得

解得


8．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）密立根油滴實(shí)驗(yàn)將微觀量轉(zhuǎn)化為宏觀量進(jìn)行測(cè)量，揭示了電荷的不連續(xù)性，并測(cè)定了元電荷的數(shù)值。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單巧妙，被稱為物理學(xué)史上最美實(shí)驗(yàn)之一。該實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)化裝置如圖所示。水平放置、間距為d的兩平行金屬極板接在電源上，在上極板中間開(kāi)一小孔，用噴霧器將油滴噴入并從小孔飄落到兩極板間。已知油滴帶負(fù)電。油滴所受空氣阻力，式中η為已知量，r為油滴的半徑，v為油滴的速度大小。已知油的密度為ρ，重力加速度為g。
（1）在極板間不加電壓，由于空氣阻力作用，觀測(cè)到某一油滴以恒定速率緩慢下降距離L所用的時(shí)間為，求該油滴的半徑r；
（2）在極板間加電壓U，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，觀測(cè)到（1）問(wèn)中的油滴以恒定速率緩慢上升距離L所用的時(shí)間為。求該油滴所帶的電荷量Q；
（3）實(shí)驗(yàn)中通過(guò)在兩極板間照射X射線不斷改變油滴的電荷量。圖是通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)所測(cè)電荷量的分布圖，橫軸表示不同油滴的編號(hào)，縱軸表示電荷量。請(qǐng)說(shuō)明圖中油滴所帶電荷量的分布特點(diǎn)，并說(shuō)明如何處理數(shù)據(jù)進(jìn)而得出元電荷的數(shù)值。

【答案】（1）；（2）；（3）電荷量的分布呈現(xiàn)出明顯的不連續(xù)性，見(jiàn)解析
【詳解】（1）板間未加電壓時(shí)，油滴的速度為，根據(jù)平衡條件有
其中


得
（2）板間加電壓時(shí)，油滴的速度為，根據(jù)平衡條件有
其中
得
（3）電荷量的分布呈現(xiàn)出明顯的不連續(xù)性，這是量子化的表現(xiàn)；
根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，可將電荷量數(shù)值近似相等的數(shù)據(jù)分為一組，求出每組電荷量的平均值；再對(duì)各平均值求差值。在實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi)，若發(fā)現(xiàn)各平均值及差值均為某一最小數(shù)值的整數(shù)倍，則這個(gè)最小數(shù)值即為元電荷的數(shù)值。

9．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）平行板電容器是一種常用的電學(xué)元件。
（1）如圖甲所示，電源與平行板電容器，定值電阻，開(kāi)關(guān)組成閉合電路。已知平行板電容器的電容為C，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻不計(jì)，不考慮極板邊緣效應(yīng)，請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫(huà)出充電過(guò)程中電容器兩板電壓u隨其所帶電荷量q變化的圖像，并類化直線運(yùn)動(dòng)中由圖像求位移的方法，求充電完畢時(shí)電容器儲(chǔ)存的電能。
（2）如圖丙所示，M、N是平行板電容器的兩個(gè)極板，板間距離為d。用絕緣細(xì)線把一個(gè)質(zhì)量為m，電荷最為q的帶電小球懸掛在兩極板問(wèn)，已知開(kāi)關(guān)S閉合后，且小球靜止時(shí)，絕緣細(xì)線與豎直方向夾角為，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻不計(jì)。三個(gè)定值電阻的阻值分別為、、，重力加速度為g，忽略小球的電荷量對(duì)極板間電場(chǎng)的影響。
a.求夾角與定值電阻阻值的關(guān)系式；
b.若某時(shí)刻燒斷細(xì)線，同時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，通過(guò)分析定性說(shuō)明小球在兩極板間可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)情況（假設(shè)小球的電荷量保持不變，且始終未與極板發(fā)生碰撞）。

【答案】（1）， ；（2）a. ；b.某時(shí)刻燒斷細(xì)線，同時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)，細(xì)線對(duì)小球的拉力為零。在豎直方向上，小球只受重力作用，加速度不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；在水平方向上，小球只受電場(chǎng)力作用，由于平行板電容器會(huì)通過(guò)電阻放電，使得小球所受電場(chǎng)力減小，加速度減小，做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。若放電時(shí)間比較長(zhǎng)，小球做加速度減小的曲線運(yùn)動(dòng)。若放電時(shí)間比較短，在放電完畢前，小球做加速度減小的曲線運(yùn)動(dòng)；放電完畢后，小球只在重力作用下做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。
【詳解】（1）圖像如圖所示

充電完畢時(shí)電容器兩端電壓等于電源電動(dòng)勢(shì)E，電容器所帶電荷量為Q，圖線與橫軸所圍面積即為電容器儲(chǔ)存的電能，
聯(lián)立可得
（2）a.小球在電場(chǎng)中靜止時(shí)受到重力、電場(chǎng)力及細(xì)線的拉力，小球所受電場(chǎng)力為
兩極板之間電場(chǎng)強(qiáng)度
根據(jù)閉合電路歐姆定律，可得兩極板間的電勢(shì)差
根據(jù)平衡條件有
聯(lián)立可得
b.某時(shí)刻燒斷細(xì)線，同時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)，細(xì)線對(duì)小球的拉力為零。在豎直方向上，小球只受重力作用，加速度不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；在水平方向上，小球只受電場(chǎng)力作用，由于平行板電容器會(huì)通過(guò)電阻放電，使得小球所受電場(chǎng)力減小，加速度減小，做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。若放電時(shí)間比較長(zhǎng)，小球做加速度減小的曲線運(yùn)動(dòng)。若放電時(shí)間比較短，在放電完畢前，小球做加速度減小的曲線運(yùn)動(dòng)；放電完畢后，小球只在重力作用下做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

10．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）能量守恒定律是普遍、和諧、可靠的自然規(guī)律之一。根據(jù)能量守恒定律，物理學(xué)發(fā)現(xiàn)和解釋了很多科學(xué)現(xiàn)象。
（1）經(jīng)典力學(xué)中的勢(shì)阱是指物體在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)曲線在空間某一有限范圍內(nèi)勢(shì)能最小，當(dāng)物體處于勢(shì)能最小值時(shí)，就好像處在井里，很難跑出來(lái)。如圖所示，設(shè)井深為H，若質(zhì)量為m的物體要從井底至井口，已知重力加速度為g，求外力做功的最小值W。
（2）金屬內(nèi)部的電子處于比其在外部時(shí)更低的能級(jí)，電勢(shì)能變化也存在勢(shì)阱，勢(shì)阱內(nèi)的電子處于不同能級(jí)，最高能級(jí)的電子離開(kāi)金屬所需外力做功最小，該最小值稱為金屬的逸出功。如圖所示，溫度相同的A、B兩種不同金屬逸出功存在差異，處于最高能級(jí)的電子電勢(shì)能不同，A、B金屬接觸后電子轉(zhuǎn)移，導(dǎo)致界面處積累正負(fù)電荷，穩(wěn)定后形成接觸電勢(shì)差。已知A金屬逸出功為，B金屬逸出功為，且，電子電荷量為－e。
a.請(qǐng)判斷界面處A、B金屬電性正負(fù)；
b.求接觸電勢(shì)差。
（3）同種金屬兩端由于溫度差異也會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)差，可認(rèn)為金屬內(nèi)部電子在高溫處動(dòng)能大，等效成電子受到非靜電力作用往低溫處擴(kuò)散。如圖有一橢球形金屬，M端溫度為，N端溫度為，沿虛線方向到M端距離為L(zhǎng)的金屬內(nèi)部單個(gè)電子所受非靜電力大小F滿足：，非靜電力F沿虛線方向，比例系數(shù)μ為常數(shù)，與垂直于溫度變化方向的金屬橫截面積大小有關(guān)，電子電荷量為－e，求金屬兩端的電勢(shì)差。

【答案】（1）mgH；（2）a. A金屬側(cè)帶正電B金屬側(cè)帶負(fù)電，b.；（3）
【詳解】（1）根據(jù)能量守恒定律可知，質(zhì)量為m的物體要從井底至井口，外力做功最小值為mgH。
（2）a. 界面處A金屬電子處于比B金屬電子更高的能級(jí)，電子從A側(cè)向B側(cè)轉(zhuǎn)移，A金屬側(cè)帶正電，B金屬側(cè)帶負(fù)電。
b. 金屬兩側(cè)正負(fù)電荷在界面處激發(fā)的電場(chǎng)阻礙電子繼續(xù)從A向B側(cè)移動(dòng)，最終達(dá)到平衡。設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電子電勢(shì)能為0，則初狀態(tài)A側(cè)電子能量為，B側(cè)為，末狀態(tài)A側(cè)界面電勢(shì)為，B側(cè)界面電勢(shì)為，界面兩側(cè)A、B電子能量相等，有


聯(lián)立可得A、B間電勢(shì)差為
（3）由于與垂直于溫度變化方向的金屬橫截面積大小相關(guān)，在沿虛線方向取極短距離△L，則非靜電力做功為，累加后可得
根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義式，可得
為非靜電力做功。斷路狀態(tài)下MN兩端電勢(shì)差大小數(shù)值上等于電動(dòng)勢(shì)。聯(lián)立以上兩式，可得金屬兩端電勢(shì)差為

11．（2023·北京海淀八模（三））某游戲公司設(shè)計(jì)人員，構(gòu)想通過(guò)電場(chǎng)來(lái)控制帶電小球的運(yùn)動(dòng)軌跡。如圖1所示，絕緣光滑圓軌道豎直放在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小球位于軌道內(nèi)側(cè)的最高點(diǎn)A處。小球由靜止釋放后沿直線打到與圓心O等高的B點(diǎn)；當(dāng)給小球一個(gè)水平方向的初速度，小球恰能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。小球可視為質(zhì)點(diǎn)，已知圓軌道的半徑為R，重力加速度為g。
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E1大??；
（2）求小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)A點(diǎn)的動(dòng)能Ek；
（3）將原電場(chǎng)更換為如圖2所示的交變電場(chǎng)（正、負(fù)號(hào)分別表示與原電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同或相反），小球在A點(diǎn)由靜止釋放，欲使小球能在一個(gè)周期（T未知）內(nèi)恰能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與圓軌道相碰，試求所加電場(chǎng)強(qiáng)度E2不應(yīng)大于多少。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】(1)根據(jù)小球由靜止沿直線打到B點(diǎn)，可得合力的方向沿AB方向，則
可得
(2)根據(jù)小球合力方向可知，小球能通過(guò)圓軌道等效最高點(diǎn)D點(diǎn)（位于O點(diǎn)左上側(cè)45°處），則能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球的合力大小
小球在D點(diǎn)
A到D過(guò)程，由動(dòng)能定理有
解得
(3)小球在1個(gè)周期內(nèi)，0～內(nèi)，做直線運(yùn)動(dòng)，～T內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，T時(shí)刻回到A點(diǎn)的正下方的C點(diǎn)，軌跡如圖所示

在水平方向上，0～內(nèi)，向右運(yùn)動(dòng)
～內(nèi)，做曲線運(yùn)動(dòng)，水平方向上，向右運(yùn)動(dòng)位移仍為x1，豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)
則
由運(yùn)動(dòng)分析可知，要使小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低處C點(diǎn)且不與軌道相碰，需時(shí)刻到達(dá)最大水平位移處，由幾何關(guān)系可得，需滿足向右運(yùn)動(dòng)的最大位移為 ，由此可得
解得
故所加電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值不能超。

12．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的矩形金屬線圈，可繞過(guò)和邊中點(diǎn)且垂直于磁場(chǎng)方向的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。已知矩形線圈邊和邊的長(zhǎng)度，邊和邊的長(zhǎng)度，匝數(shù)匝，線圈的總電阻。線圈的兩個(gè)末端分別與兩個(gè)彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過(guò)電刷同的定值電阻相連接。線圈所在空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度。在外力驅(qū)動(dòng)下線圈繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。計(jì)算中取。求：
（1）通過(guò)電阻R的電流最大值；
（2）在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）線圈由圖示位置（即線圈平面與磁場(chǎng)方向垂直的位置）轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）由題意，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可得線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為
其中
代入相關(guān)數(shù)據(jù)求得
根據(jù)閉合電路歐姆定律，得通過(guò)電阻R的電流最大值
（2）線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流的有效值為
得在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱


聯(lián)立代入相關(guān)數(shù)據(jù)求得
（3）線圈由圖示位置（即線圈平面與磁場(chǎng)方向垂直的位置）轉(zhuǎn)過(guò)90°的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量


代入相關(guān)已知數(shù)據(jù)求得

13．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）電磁流量計(jì)可以快速、方便地測(cè)量導(dǎo)電流體（如污水、自來(lái)水等）的流量，其簡(jiǎn)化示意圖如圖所示，它是一段橫截面為長(zhǎng)方形的管道，其中空部分的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，流量計(jì)的左右兩端與輸送流體的管道相連接（如虛線所示），其上下兩面是金屬材料，前后兩面是絕緣材料．流量計(jì)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于前后兩面．流量計(jì)的上、下兩表面分別與電壓表的兩端相連接（圖中未畫(huà)），當(dāng)污水滿管通過(guò)流量計(jì)時(shí)，電壓表就會(huì)顯示讀數(shù)．
a．求電壓表示數(shù)為U時(shí)管道中的污水流量Q．
b．某同學(xué)想利用電磁流量計(jì)設(shè)計(jì)一個(gè)便于調(diào)節(jié)的澆花裝置．如圖3所示，花壇中緊密擺放著相同的花盆，它們由內(nèi)向外以O(shè)為圓心擺放在半徑不同的圓周上．在圓心O處安裝一個(gè)豎直的輸水管，管的末端安裝一個(gè)可以水平自動(dòng)勻速旋轉(zhuǎn)的噴水龍頭，其旋轉(zhuǎn)周期T可調(diào)．該同學(xué)把圖2中的電磁流量計(jì)安裝在龍頭的末端，作為水平噴口，并且通過(guò)改進(jìn)使電磁流量計(jì)的邊長(zhǎng)b大小可調(diào)（其他參數(shù)不變）．如果龍頭噴出水的流量Q是恒定的，為了使龍頭旋轉(zhuǎn)每周每個(gè)花盆的澆水量相同，當(dāng)澆灌半徑由增大到時(shí)，需要調(diào)節(jié)b和T．不計(jì)水噴出時(shí)旋轉(zhuǎn)方向的速度，求調(diào)節(jié)前后的電壓表的示數(shù)之比及龍頭旋轉(zhuǎn)的周期之比．

【答案】a.；b.
【詳解】a．流量計(jì)上下表面的電勢(shì)差
流量
其中
得
b．要使?jié)补喟霃接稍龃蟮?，則水由龍頭噴出的速度
又因?yàn)?br /> 所以
澆灌半徑為和的兩個(gè)圓周上花盆的數(shù)量
若要使每個(gè)花盆的澆水量相同，則
所以

14．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，豎直放置的A、B與水平放置的C、D為兩對(duì)正對(duì)的平行金屬板，A、B兩板間電勢(shì)差為U，C、D兩板分別帶正電和負(fù)電，兩板間場(chǎng)強(qiáng)為E，C、D兩極板長(zhǎng)均為L(zhǎng)。一質(zhì)量為m，電荷量為的帶電粒子（不計(jì)重力）由靜止開(kāi)始經(jīng)A、B加速后穿過(guò)C、D并發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最后打在熒光屏上。求：
（1）粒子離開(kāi)B板時(shí)速度大小v；
（2）粒子剛穿過(guò)C、D時(shí)的豎直偏轉(zhuǎn)位移y；
（3）粒子打在熒光屏上時(shí)的動(dòng)能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）粒子加速電場(chǎng)中加速過(guò)程，由動(dòng)能定理可得
解得
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)力學(xué)知識(shí)可得



聯(lián)立解得
（3）粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到打在熒光屏上整個(gè)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理可知
所以有


15．（2023·北京匯文中學(xué)·?？家荒＃┰谝粋€(gè)點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中，以點(diǎn)電荷Q的位置為原點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示，在其中A、B兩點(diǎn)分別放置試探電荷，試探電荷受到靜電力的大小F跟試探電荷的電荷量q的關(guān)系分別如圖2中直線a、b所示。已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.3 m，0）。
（1）求A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小EA和B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小EB。
（2）求B點(diǎn)到點(diǎn)電荷Q的距離rB。
（3）將一試探電荷從B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，自選兩條移動(dòng)路徑證明，電場(chǎng)力做的功WBA與路徑無(wú)關(guān)（在圖中畫(huà)出所選擇的路徑）。

【答案】（1）40N/C，2.5N/C；（2）1.2m；（3）證明見(jiàn)詳解
【詳解】(1)由場(chǎng)強(qiáng)定義式，得；
(2)由
得
得
(3)如圖所示

連接OB，以Ｑ所在處的原點(diǎn)O為圓心，分別過(guò)A做圓弧與OB相交于C、過(guò)B做圓弧與x軸相交于D，則所選兩條路徑分別為從B到C到A和從B到D到A。CA和BD分別為點(diǎn)電荷Q的等勢(shì)面，沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷時(shí)電場(chǎng)力做功為零；BC和DA分別沿半徑方向，根據(jù)到點(diǎn)電荷距離相等的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等的場(chǎng)強(qiáng)分布特點(diǎn)可知，試探電荷分別從B到C和從D到A的過(guò)程中，電場(chǎng)力在每小段距離上做的功都對(duì)應(yīng)相等。因此，電場(chǎng)力做功與這兩條路徑無(wú)關(guān)，只取決于初位置B和末位置A。

16．（2023·北京四中·?？家荒＃﹫D中裝置由加速器和平移器組成，平移器由兩對(duì)水平放置、相距為s的相同平行金屬板構(gòu)成，金屬板長(zhǎng)度均為l、間距均為d，兩對(duì)金屬板間偏轉(zhuǎn)電壓大小相等、電場(chǎng)方向相反。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子從靜止開(kāi)始經(jīng)加速電壓加速后，從A點(diǎn)水平射入偏轉(zhuǎn)電壓為U的平移器，最終從B點(diǎn)射出平移器。不考慮粒子受到的重力。
（1）求粒子射入平移器時(shí)的速度大?。?br /> （2）求粒子在平移器間運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中的最大動(dòng)能；
（3）a、當(dāng)s=l時(shí)，求粒子射入平移器和射出平移器過(guò)程中，在豎直方向的總位移y；
b、若僅改變平移器的偏轉(zhuǎn)電壓U，粒子在穿越平移器過(guò)程中哪些物理量是不隨U而改變的？（除質(zhì)量、電荷量、比荷以外，舉出2個(gè)即可。）

【答案】（1）；（2）；（3）；水平方向速度，穿越平移器過(guò)程時(shí)間
【詳解】（1）粒子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理得
得
（2）粒子從加速電場(chǎng)進(jìn)入左邊平移器，粒子水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)左邊平移器時(shí)間為
粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為
粒子射出左邊平移器時(shí)，豎直方向速度為
粒子射出左邊平移器時(shí)，動(dòng)能最大
（3）a、粒子射出左邊平移器時(shí)，豎直方向位移為
當(dāng)s=l時(shí)，粒子從第一個(gè)平移器到第二個(gè)平移器過(guò)程，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向位移為
故粒子在豎直方向的總位移為
b、由于粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度為
粒子在水平方向速度只與加速電壓和粒子質(zhì)量以及電荷量有關(guān)，若僅改變平移器的偏轉(zhuǎn)電壓U，水平方向速度與偏轉(zhuǎn)電壓U無(wú)關(guān)。
粒子在穿越平移器整個(gè)過(guò)程中，所用時(shí)間為
也與偏轉(zhuǎn)電壓U無(wú)關(guān)。

17．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）電容是物理學(xué)中重要的物理量。如圖1所示，空氣中水平放置的平行板電容器A充滿電后，僅改變電容器A兩極板間的距離。 電容器A的電容也隨之變化。多次實(shí)驗(yàn)后，作出一條斜率為的直線，如圖2所示。不考慮邊緣效應(yīng)。
（1）回答下列問(wèn)題。
a．若開(kāi)關(guān)保持?jǐn)嚅_(kāi)狀態(tài)，分析當(dāng)板間距變化時(shí)，兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小如何變化。
b．根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義、電場(chǎng)強(qiáng)度可疊加的性質(zhì)，證明當(dāng)電容器A所帶電荷量為時(shí)，下極板對(duì)上極板電場(chǎng)力的大小。
（2）用電容器A制成靜電天平，其原理如圖3所示：空氣中，平行板電容器的下極板固定不動(dòng)，上極板接到等臂天平的左端。當(dāng)電容器不帶電時(shí)，天平恰好保持水平平衡，兩極板間的距離為。當(dāng)天平右端放一個(gè)質(zhì)量為的砝碼時(shí)，需要在電容器的兩極板間加上電壓，使天平重新水平平衡。
某同學(xué)提出若用電壓表（可視為理想表）讀出上述電壓，則可推知所加砝碼的質(zhì)量。因此，他準(zhǔn)備將圖4中該電壓表表盤(pán)（示意圖）上的電壓值改換為相應(yīng)的質(zhì)量值。他已經(jīng)完成了部分測(cè)量，請(qǐng)?jiān)趫D4的表盤(pán)上標(biāo)上2V和3V對(duì)應(yīng)的質(zhì)量值，并給出一種擴(kuò)大該靜電天平量程的方法。
（3）如圖5所示，將電容器A的下極板同定不動(dòng)，上極板由一勁度系數(shù)為的輕質(zhì)絕緣彈簧懸掛住。當(dāng)兩極板均不帶電時(shí)，極板間的距離為。保持兩極板始終水平正對(duì)且不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩極板間所加電壓為時(shí)，討論上極板平衡位置的個(gè)數(shù)的情況。

【答案】（1）a．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小保持不變，b．見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【解析】
【詳解】（1）a．由圖2可得
又，
聯(lián)立可得
若開(kāi)關(guān)保持?jǐn)嚅_(kāi)狀態(tài)，可知電容器電荷量保持不變，當(dāng)板間距變化時(shí)，兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小保持不變；
b．當(dāng)電容器A所帶電荷量為時(shí)，可得每個(gè)極板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為
下極板對(duì)上極板電場(chǎng)力的大小為
（2）根據(jù)題意有
又，，
聯(lián)立可得
可知2V對(duì)應(yīng)的質(zhì)量值滿足
解得
3V對(duì)應(yīng)的質(zhì)量值滿足
解得
如圖所示

根據(jù)
為了擴(kuò)大該靜電天平量程，可減小天平平衡時(shí)板間距離。
（3）當(dāng)兩極板間所加電壓為時(shí)，設(shè)上極板所受彈簧彈力的變化量為，所受下極板的電場(chǎng)力為；穩(wěn)定時(shí)，根據(jù)受力平衡可得
根據(jù)胡克定律可得
根據(jù)（1）b結(jié)論可得
聯(lián)立可得
可知該方程是關(guān)于的三次方程，可通過(guò)圖像法確定其解的個(gè)數(shù)，如圖所示

在坐標(biāo)中分別作出方程左端的圖像（圖中直線、和）和右端的圖像（圖中曲線），兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)反映了方程解的個(gè)數(shù)，即上極板平衡位置的個(gè)數(shù)。
直線與曲線相交，有2個(gè)交點(diǎn)，表明方程有2個(gè)解，即上極板平衡位置的個(gè)數(shù)；
直線與曲線相切，有1個(gè)交點(diǎn)，表明方程有1個(gè)解，即上極板平衡位置的個(gè)數(shù)；
直線與曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)，表明方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即上極板平衡位置的個(gè)數(shù)；
綜上所述，上極板平衡位置的個(gè)數(shù)、、。

18．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）湯姆孫用來(lái)測(cè)定電子的比荷（電子的電荷量與質(zhì)量之比）的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，真空管內(nèi)的陰極K發(fā)出的電子經(jīng)加速電壓加速后，穿過(guò)中心的小孔沿中心線的方向進(jìn)入到兩塊水平正對(duì)放置的平行極板P和間的區(qū)域，極板間距為d。當(dāng)P和P極板間不加偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)，電子束打在熒光屏的中心O點(diǎn)處，形成一個(gè)亮點(diǎn)。不計(jì)電子從陰極K發(fā)出的初速度、所受重力和電子間的相互作用，不考慮相對(duì)論效應(yīng)。
（1）若測(cè)得電子穿過(guò)中心的小孔沿中心線方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度，求電子的比荷；
（2）已知P和極板水平方向的長(zhǎng)度為，它們的右端到熒光屏中心O點(diǎn)的水平距離為，當(dāng)P和極板間加上偏轉(zhuǎn)電壓U后，亮點(diǎn)偏離到點(diǎn)（與O點(diǎn)水平距離可忽略不計(jì)）。
①小明同學(xué)認(rèn)為若測(cè)出與O點(diǎn)的豎直距離h，就可以求出電子的比荷。請(qǐng)通過(guò)分析和推理判斷小明的觀點(diǎn)是否正確。
②在兩極板P和間的區(qū)域再加上磁場(chǎng)，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向，通過(guò)分析電子在P和間的運(yùn)動(dòng)情況可求出電子的速度。請(qǐng)說(shuō)明確定電子速度的方法。

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析
【詳解】（1）電子在加速電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理有
解得
（2）①設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中飛行時(shí)間為t，加速度為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律水平方向有
豎直方向有
其中
解得
設(shè)電子飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的偏角為，豎直分速度為則有，
根據(jù)幾何關(guān)系有
解得
可知，h與比荷無(wú)關(guān)，測(cè)出h不能求出電子的比荷
（2）在兩極板P和之間的區(qū)域加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，使電子能夠沿中心線方向通過(guò)兩極板間區(qū)域，此時(shí)電子受到的靜電力與洛倫茲力平衡，則有
解得

19.（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖所示，電子從燈絲K發(fā)出（初速度不計(jì)），在KA間經(jīng)加速電壓加速后，從A板中心小孔射出，進(jìn)入由M、N兩個(gè)水平極板構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，M、N兩板間的距離為d，電壓為，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度與電場(chǎng)方向垂直，射出時(shí)沒(méi)有與極板相碰。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子的重力及它們之間的相互作用力。求：
（1）電子穿過(guò)A板小孔時(shí)的速度大小v；
（2）電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)射出時(shí)垂直極板方向偏移的距離y；
（3）電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)射出時(shí)的速度方向。

【答案】（1）；（2）；（3）速度方向與水平方向夾角，斜向右下方
【詳解】（1）根據(jù)動(dòng)能定理
解得
（2）進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)



聯(lián)立解得
（3）設(shè)速度與水平方向夾角為θ，則
則
斜向右下方。

20．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖1所示，兩平行金屬板A、B間電勢(shì)差為U1，帶電量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，由靜止開(kāi)始從極板A出發(fā)，經(jīng)電場(chǎng)加速后射出，沿金屬板C、D的中心軸線進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電壓為U2的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，最終從極板C的右邊緣射出。偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，板間距為d。忽略重力的影響。
（1）求帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的大小v。
（2）求帶電粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)量的大小p。
（3）以帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的位置為原點(diǎn)、以平行于板面的中心軸線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2所示。寫(xiě)出該帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的軌跡方程。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）對(duì)帶電粒子從左極板由靜止，經(jīng)加速電場(chǎng)并進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理
解得
（2）設(shè)帶電粒子進(jìn)入和離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度分別為和v，對(duì)帶電粒子從進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理
解得
（3）設(shè)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度為，加速度為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后（為離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)），水平方向位移為x，豎直方向位移為y，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可得

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度
將和a代入x和y并消去時(shí)間t，可得帶電粒子的軌跡方程


21．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖所示，真空中A、B兩點(diǎn)分別固定電荷量均為的兩個(gè)點(diǎn)電荷，O為A、B連線的中點(diǎn)，C為A、B連線中垂線上的一點(diǎn)，C點(diǎn)與A點(diǎn)的距離為，AC與AB的夾角為，中垂線上距離A點(diǎn)為的點(diǎn)的電勢(shì)為（以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)）。一個(gè)質(zhì)量為的點(diǎn)電荷（其電荷量遠(yuǎn)小于Q），以某一速度經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，不計(jì)點(diǎn)電荷的重力，靜電力常量為。
（1）畫(huà)出C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向；
（2）若經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的點(diǎn)電荷的電荷量為，速度方向由C指向O，要讓此點(diǎn)電荷能夠到達(dá)O點(diǎn)，求其在C點(diǎn)的速度最小值；
（3）若經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的點(diǎn)電荷的電荷量為，要讓此點(diǎn)電荷能夠做過(guò)C點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其在C點(diǎn)的速度的大小和方向。

【答案】（1）；（2）；（3），方向垂直于紙面向里或者向外
【詳解】（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，C點(diǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)方向沿著AB連線的中垂線向上，如圖所示

（2）C點(diǎn)電勢(shì)為
O點(diǎn)電勢(shì)為
設(shè)此點(diǎn)電荷剛好能夠到達(dá)O點(diǎn)，由能量守恒定律可得
解得
（3）設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，C點(diǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為，則有



聯(lián)立解得
方向垂直于紙面向里或者向外。

22．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖所示，O點(diǎn)左側(cè)水平面粗糙，右側(cè)水平面光滑。過(guò)O點(diǎn)的豎直虛線右側(cè)有一水平向左、足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。一質(zhì)量為m、電荷量為的絕緣物塊，從O點(diǎn)以初速度水平向右進(jìn)入電場(chǎng)。求：
（1）物塊向右運(yùn)動(dòng)離O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離L；
（2）物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到靜電力的沖量I的大小和方向；
（3）物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能Q。

【答案】（1）;（2），其方向與方向相反;（3）
【詳解】（1）物塊向右減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有
得
（2)取方向?yàn)檎较?，由于物塊從出發(fā)到返回出發(fā)點(diǎn)的過(guò)程中，靜電力做功為零，所以返回出發(fā)點(diǎn)時(shí)的速度
根據(jù)動(dòng)量定理有
得
負(fù)號(hào)表示其方向與方向相反。
（3)在物塊運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，根據(jù)能量守恒有

23．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）1913年，美國(guó)物理學(xué)家密立根用油滴實(shí)驗(yàn)證明電荷的量子性并測(cè)出電子的電荷量，由此獲得了1923年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
如圖是密立根油滴實(shí)驗(yàn)的原理示意圖，兩個(gè)水平放置、相距為d的金屬極板，上極板中央有一小孔。用噴霧器將細(xì)小的油滴噴入密閉空間，這些油滴由于摩擦而帶了負(fù)電。油滴通過(guò)上極板的小孔進(jìn)入到觀察室中。當(dāng)兩極板電壓為U時(shí)，某一油滴恰好懸浮在兩板間靜止。將油滴視為半徑為r的球體，已知油滴的密度為，重力加速度為g。
（1）求該油滴所帶的電荷量q。
（2）由于油滴的半徑r太小，無(wú)法直接測(cè)量。密立根讓油滴在電場(chǎng)中懸浮，然后撤去電場(chǎng)，油滴開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng)；由于空氣阻力的存在，油滴很快做近似勻速運(yùn)動(dòng)，測(cè)出油滴在時(shí)間t內(nèi)勻速下落的距離為h。已知球形油滴受到的空氣阻力大小為，其中為空氣的粘滯系數(shù)，v為油滴運(yùn)動(dòng)的速率。不計(jì)空氣浮力。請(qǐng)推導(dǎo)半徑r的表達(dá)式（用、h、t、和g表示）。
（3）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于質(zhì)量為m的油滴，如果改變它所帶的電荷量q，則能夠使油滴達(dá)到平衡的電壓必須是某些特定值，研究這些電壓變化的規(guī)律可發(fā)現(xiàn)它們都滿足方程，式中，，……。此現(xiàn)象說(shuō)明了什么？


【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析
【詳解】（1）由平衡可知


解得
（2）由題意可知
其中


解得
（3）研究這些電壓變化的規(guī)律可發(fā)現(xiàn)它們都滿足方程
式中，，……即
即
此現(xiàn)象說(shuō)明了油滴所帶電量都是某一值的整數(shù)倍。

24．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）類比是研究問(wèn)題的一種常用方法。
（1）物體受到地球的萬(wàn)有引力作用，可以認(rèn)為是通過(guò)引力場(chǎng)發(fā)生的。已知地球的質(zhì)量為M，引力常量為G。類比電場(chǎng)強(qiáng)度，推導(dǎo)地球在距地心為r處（r大于地球半徑）產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式。
（2）經(jīng)典電磁理論認(rèn)為氫原子核外電子的運(yùn)動(dòng)與行星類似，在庫(kù)侖引力的作用下繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，靜電力常量為k，電子處于基態(tài)時(shí)的軌道半徑為R。求電子處于基態(tài)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小v。
（3）a．物體從靜止開(kāi)始下落，除受到重力作用外，還受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反的空氣阻力（k為常量）的作用。其速率v隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用方程描述，其中m為物體質(zhì)量，為其重力。求物體下落的最大速率；并在圖1所示的坐標(biāo)系中定性畫(huà)出速度v隨時(shí)間t變化的圖像。
b．圖2為“演示電容器充、放電”的實(shí)驗(yàn)電路圖。電源電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻不計(jì)。電容器的電容為C，定值電阻的阻值為R。將開(kāi)關(guān)接1，給電容器充電，寫(xiě)出充電過(guò)程中極板電荷量q隨時(shí)間t變化的方程。類比圖像，在圖3所示的坐標(biāo)系中定性畫(huà)出電荷量q隨時(shí)間t變化的圖像。

【答案】（1）；（2）；（3）a.，；b. ，
【解析】
【詳解】（1）設(shè)質(zhì)量為的物體在距地心為處，受到地球的萬(wàn)有引力大小為
類比電場(chǎng)強(qiáng)度的定義得引力場(chǎng)強(qiáng)度大小為
解得
（2）氫原子核外電子在庫(kù)侖力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
解得
（3）a.當(dāng)加速度為零時(shí)，速度最大，所以
圖像如下圖所示

b.給電容器充電時(shí)，有




聯(lián)立可得
類比圖像，可得圖像如下圖所示


25．（2023·北京十二中·校考模擬）某空間區(qū)域內(nèi)存在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在其中一點(diǎn)處有一質(zhì)量為、帶電荷量為的小球?，F(xiàn)將小球由靜止釋放，小球會(huì)垂直擊中斜面上的點(diǎn)。已知斜面與水平方向的夾角為60°，之間的距離為，重力加速度為。求：

(1)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向；
(2)帶電小球從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)機(jī)械能的增量；
(3)在點(diǎn)給帶電小球一個(gè)平行斜面向上的初速度，小球落到斜面上時(shí)與點(diǎn)之間的距離。
【答案】(1),方向水平向右；(2) ；(3)
【解析】(1)根據(jù)題意，方向?yàn)楹狭Ψ较?，小球所受電?chǎng)力水平向右，小球帶正電，則勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向水平向右；
帶電小球合力方向與豎直方向成60°角，由平行四邊形定則可得
解得
(2)根據(jù)功能關(guān)系可知，電場(chǎng)力對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的增量，則
解得
(3)解法一 小球所受電場(chǎng)力與重力的合力沿方向，若小球初速度平行斜面向上，則小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示。由平行四邊形定則得
由牛頓第二定律得
設(shè)小球在斜面上的落點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，小球落到斜面上的時(shí)間為，則


解得

解法二 小球在水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球落在斜面上的點(diǎn)，水平位移，豎直位移，如圖乙所示。則



，則



聯(lián)立解得



解得