高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用教案

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用教案，共13頁。教案主要包含了本節(jié)內容分析，學情整體分析，教學活動準備，教學活動設計等內容，歡迎下載使用。
?《導數(shù)在研究函數(shù)中的應用》教學設計
課時2函數(shù)的極值與導數(shù)
必備知識
學科能力
學科素養(yǎng)
高考考向
函數(shù)的單調性與導數(shù)
學習理解能力
觀察記憶
概括理解
說明論證
應用實踐能力
分析計算
推測解釋
簡單問題解決
遷移創(chuàng)新能力
綜合問題解決
猜想探究
發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新
數(shù)學運算
直觀想象
邏輯推理
數(shù)學抽象
【考查內容】
1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
2.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
3.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值
【考查題型】
選擇題、填空題、解答題
函數(shù)的極值與導數(shù)
數(shù)學抽象
邏輯推理
數(shù)學運算
直觀想象
函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)
數(shù)學抽象
直觀想象
數(shù)學運算
邏輯推理
數(shù)學建模
一、本節(jié)內容分析
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.變化規(guī)律可用函數(shù)性質來描述.導數(shù)方法是研究函數(shù)性質的方法.本節(jié)主要包括三方面內容:一是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性;二是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;三是利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.
在高考中常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,并求單調區(qū)間、極值、最值、以及利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.其中利用導數(shù)判斷單調性起著基礎性的作用,形成初步的知識體系,培養(yǎng)學生掌握一定的分析問題和解決問題的能力.激發(fā)學生獨立思考和創(chuàng)新的意識,讓學生有創(chuàng)新的機會,充分體驗成功的喜悅,開發(fā)了學生的自我潛能.
本節(jié)內容是高中數(shù)學的主要內容,也是高考考查的熱點,本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:

核心知識
1.函數(shù)的單調性與導數(shù)
2.函數(shù)的極值與導數(shù)
3.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)
直觀想象
數(shù)學抽象
邏輯推理
數(shù)學運算
數(shù)學建模
核心素養(yǎng)




二、學情整體分析
本節(jié)課是在學習導數(shù)的概念、運算的基礎上繼續(xù)深入學習的,學生已經了解了一些解題的基本思想和方法,應用導數(shù)的基本知識來解決實際問題對學生來說應該不會很陌生,所以本節(jié)的學習應讓學生能夠多參與、多思考,培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力,提高應用所學知識的能力.在課堂教學中,應該把以教師為中心轉向以學生為中心,把學生自身的發(fā)展置于教育的中心位置,為學生創(chuàng)設寬容的課堂氣氛,幫助學生確定適當?shù)膶W習目標和達到目標的最佳途徑,指導學生形成良好的學習習慣、掌握學習策略和發(fā)展認知能力,充分調動學生學習的積極性,倡導學生采用自主、合作、探究的方式學習.
學情補充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教學活動準備
【任務專題設計】
1.函數(shù)的單調性與導數(shù)
2.函數(shù)的極值與導數(shù)
3.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)
【教學目標設計】
1.導數(shù)的簡單應用,包括求函數(shù)的極值、最值、單調區(qū)間和判斷函數(shù)的單調性等.
2.綜合考查,包括解決應用問題,將導數(shù)內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式和函數(shù)的單調性結合在一起.
【教學策略設計】
根據(jù)新課標高中數(shù)學的教學實際及本節(jié)課的內容特點,本部分的教學先從幾個基本問題入手,在解決基本問題的過程中喚起學生對基礎知識、基本方法、基本技能的回顧,為實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,教學上主要采取以下的策略:
(1)結合實例,借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.結合典例,讓學生掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(求單調區(qū)間)的方法與步驟.
(2)結合函數(shù)圖象,直觀感受函數(shù)在某些特殊點的函數(shù)值與附近點函數(shù)值大小的關系,建立函數(shù)的極大值、極小值的概念.
(3)借助幾何直觀探索函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.
(4)結合典例,讓學生掌握利用導數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值、最小值的方法與步驟.
(5)通過適量的綜合性練習,讓學生進一步體會導數(shù)方法在研究函數(shù)中的優(yōu)越性.
【教學方法建議】
情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________________
【教學重點難點】
重點:
1.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性.
2.利用導數(shù)求函數(shù)的極值.
3.利用導數(shù)求函數(shù)的最值.
難點:
1.求解函數(shù)單調性的方法.
2.準確求函數(shù)極值.
3.準確求函數(shù)最值.
【教學材料準備】
1.常規(guī)材料:多媒體課件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教學活動設計
教學導入
師:通過上節(jié)課的學習,導數(shù)和函數(shù)單調性的關系是什么?
生:設函數(shù)在某個區(qū)間內有導數(shù),則在這個區(qū)間上,
(1)若,則在這個區(qū)間上為增函數(shù);
(2)若,則在這個區(qū)間上為減函數(shù);
(3)若恒有,則在這一區(qū)間上為常函數(shù).
反之,若在某區(qū)間上單調遞增,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于;若在某區(qū)間上單調遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0).
師:我們知道,在函數(shù)的定義域的某個區(qū)間內,導數(shù)的正負決定了原函數(shù)的增減,那么在導數(shù)的正負交替點處,函數(shù)的圖象和性質又是怎樣的呢?
【設計意圖】
通過回顧舊知,加強學生對新知和舊知的聯(lián)系,更便于利用舊知來學習新知.
教學精講
探究1 極值的概念
師:我們先來研究前面學習過的高臺跳水問題,觀察下圖:表示高臺跳水運動員
的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象,回答以下問題.
【情境設置】
探究極值的概念

(1)當時,高臺跳水運動員距水面的高度最大,那么函數(shù)在處的導數(shù)是多少呢?
(2)在點附近的圖象有什么特點?
(3)點附近的導數(shù)符號有什么變化規(guī)律?
【學生發(fā)表意見,教師引導點撥】
生:函數(shù)在點處,在的附近,當時,函數(shù)單調遞增,;當時,函數(shù)單調遞減,,即當在的附近從小到大經過時,先正后負,且連續(xù)變化,于是.
師:對于這一事例是這樣,對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質呢?
【通過幾何畫板進行動畫演示】

【教師引導學生應用上節(jié)課函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系回答上面問題】
師:以兩點為例,我們可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小,;而且在點附近的左側,右側.類似的,函數(shù)在點的變化情況呢?
生:函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大,;而且在點附近的左側,右側.
師:我們把點叫做函數(shù)的極小值點,叫做函數(shù)的極小值;點叫做函數(shù)的極大值點,叫做函數(shù)的極大值.極大值點與極小值點稱為極值點,極大值與極小值稱為極值.
【以學定教】
用本章多次出現(xiàn)的高臺跳水問題引入,熟悉情境,自然貼切,要說明極值的概念,并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的,就必須加強對圖象的分析,讓學生先形成一個直觀概念,可以避免一些常見錯誤的出現(xiàn).通過教師的點拔,幫助學生構建知識體系,完善、深化對知識、規(guī)律內涵的認識.
【意義學習】
通過圖象歸納總結具體的概念,讓學生運用數(shù)形結合的思想方法,體會從特殊到一殷的研究過程.使學生經歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比的思維過程,了解極值點和極值的概念.
【要點知識】
函數(shù)的極值的概念
一般地,設函數(shù)在點及其附近有定義,
(1)若對于附近的所有點,都有,則是函數(shù)的一個極大值,記作;
(2)若對附近的所有點,都有,則是函數(shù)的一個極小值,記作.
極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數(shù)值.
【意義學習】
通過對函數(shù)極值概念的總結和理解,讓學生進行深度思考,概括分析出極值點,表示出極值點是自變量的值,極值指的是函數(shù)值,從而提升概括理解能力.
探究2 求函數(shù)極值的基本步驟
師:通過以上探索,你能歸納出可導函數(shù)在某點取得極值的充要條件嗎?
生:充要條件:且點的左右兩邊的導數(shù)值符號要相反.
師:我們觀察上圖(教材P90圖5.3-11)辨析以下問題:(判斷命題真假)
(1)圖中的是函數(shù)的極大值;(2)函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值;
(3)函數(shù)的極大值一定大于極小值;(4)函數(shù)的極小值(或極大值)可能不止一個.
【學生思考、辨析、回答,得出結論】
生:極值點不是點,指的是“高點”或“低點”的橫坐標的值,極值是縱坐標的值;極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況,刻畫的是函數(shù)的局部性質;函數(shù)的極大值和極小值之間沒有確定的大小關系;函數(shù)的極值可能不止一個.
【典型例題】
求函數(shù)極值
例1:求函數(shù)的極值.
【教師點撥:(1)求,解出,找函數(shù)極點;(2)由函數(shù)單調性確定在極點附近的符號,從而確定哪一點是極大值點,哪一點為極小值點,從而求出函數(shù)的極值】
生解:∵.令,解得,或.下面分兩種情況討論:當,即或時;當0,即時.當變化時,的變化情況如下表:

因此,當時,有極大值,且極大值為;當時,有極小值,且極小值為,函數(shù)的圖象如下:

師:根據(jù)上面的例題我們歸納求函數(shù)極值的方法是什么?
生:求,解方程,當時:
(1)如果在附近的左邊,右邊,那么是極小值.
(2)如果在附近的左邊,右邊,那么是極大值.
【以學論教】
設置一個開放性的問題,請學生再思考函數(shù)的極值、極值點還有什么特點.教師選擇了設置幾個具有導向性的問題來加深學生對極值概念的理解.使學生知道極值刻畫的是函數(shù)的局部性質,而最值刻畫的是函數(shù)的整體性質.
【自主學習】
此函數(shù)的導函數(shù)為學生熟悉的二次函數(shù),可以引導學生畫出導函數(shù)的簡圖,由導函數(shù)的圖象直接讀出在某個區(qū)間的正負,達到“以形助數(shù),以數(shù)輔形”.
【要點知識】
求函數(shù)極值的基本步驟
1.確定函數(shù)的定義域;
2.求導數(shù);
3.求方程的根;
4.檢查在方程根左右的值的符號,如果左正右負,則在這個根處取得極大值;如果左負右正,則在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)
師:下面我們根據(jù)所學知識繼續(xù)鞏固練習.
【典型例題】
探究函數(shù)的極值點
例2:(1)如圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點?
(2)如果該函數(shù)圖象是導函數(shù)的圖象,那么函數(shù)的極大值點,極小值點又是哪些呢?

生解:(1)、、、是函數(shù)的極值點,其中、是函數(shù)的極大值點,、是函數(shù)的極小值點.
(2)、是函數(shù)的極值點,其中是函數(shù)的極大值點,是函數(shù)的極小值點.不是極值點.
師:導數(shù)值為0的點一定是極值點嗎?例如函數(shù),在處,,但不是函數(shù)的極值點.那么函數(shù)的導數(shù)不存在的點也可能是極值點.
如:函數(shù),在處,左側時,右側時,當時,是的極小值,但不存在.
【整體學習】
學生通過對例題的學習,達到對本節(jié)課所學知識的整體復習,加深對函數(shù)極值的理解,掌握求函數(shù)極值的基本步驟.
【以學定教】
通過原函數(shù)和導函數(shù)的圖象,運用所學知識進行概念的辨析,讓學生掌握求極值點不只令導數(shù)為0,還需清楚判斷極值點的依據(jù),加深對極值概念的理解.
下面我們來總結一下函數(shù)的極值點與導數(shù)為0點的區(qū)別.
【要點知識】
函數(shù)的極值點與導數(shù)為0點的區(qū)別
1.可導函數(shù)的極值點一定是導函數(shù)為0的點,但導數(shù)為0的點不一定是極值點.即是可導函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件.
2.可導函數(shù)在點取得極值的充要條件是且在兩側,的符號相異.
3.函數(shù)的導數(shù)不存在的點也可能是極值點.
【簡單問題解決能力】
利用導數(shù)解決極值問題,理解導數(shù)與極值的密切關系,體現(xiàn)導數(shù)法求極值的優(yōu)越性.
師:下面我們根據(jù)所學知識繼續(xù)練習.
【典型例題】
求函數(shù)的系數(shù)
例3:已知函數(shù),當時,取得極大值7;當時,取得極小值.求這個極小值及、、的值.
生解:.據(jù)題意,是方程的兩個根,由韋達定理得,極小值極小值為.
師:我們來總結一下本節(jié)課所學知識.
【課堂小結】
函數(shù)的極值與導數(shù)
1.函數(shù)極值的定義.
2.函數(shù)極值求解步驟.
3.一個點為函數(shù)的極值點的充要條件.
【設計意圖】
本課從函數(shù)圖象入手,結合導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與單調性的知識去學習函數(shù)的極值,針對這些特殊的點,從特殊性到一般性進行分析,得出極大值和極小值的概念,對概念的理解和運用是本節(jié)課的重點,通過實現(xiàn)學生的主體地位,加強師生間的交流協(xié)作,增強學生自主探究能力和獨立解決問題的能力,使學生體會數(shù)形結合,分類討論和函數(shù)的思想方法.
教學評價
從利用導數(shù)能求單調區(qū)間、極值、最值這一認知基礎出發(fā),讓學生在新的問題情境中,引導學生運用作圖、猜想、歸納、驗證等方法解決問題,在問題解決過程中獲得新知,讓學生逐漸體會到數(shù)學問題的緊密聯(lián)系,從而進一步完善數(shù)學認知結構.導數(shù)思想方法具有程序化、易掌握的顯著特點,它是一種有力的工具,可以作為解決函數(shù)的極值、單調區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值等基本方法.導數(shù)的廣泛應用為研究函數(shù)性質、函數(shù)圖象開辟了新的捷徑,成為溝通函數(shù)與數(shù)列、不等式、圓錐曲線等問題的一座橋梁.我們要意識到導數(shù)工具的重要性,教學中下最大的功夫進行突破,為今后的深入學習與研究打下堅實的基礎.
【設計意圖】
引導學生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,讓學生運用課程教學過程中所學到的學科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計算)解決問題,從而達到數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的素養(yǎng)目標要求.
根據(jù)所學知識,完成下面各題:
1.已知函數(shù)的圖象如圖1所示,則其導函數(shù)的圖象可能是( )

A.
B.
C.
D.
解析:本題考查函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.根據(jù)原函數(shù)圖象的單調性及極值點的情況,得到導函數(shù)的零點個數(shù)及導函數(shù)的正負取值,由此即可得到導函數(shù)的圖象的大致形狀.由函數(shù)的圖象看出,在軸左側,函數(shù)有兩個極值點,且先增后減再增,在軸右側函數(shù)無極值點,且是減函數(shù),根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的符號和原函數(shù)單調性間的關系可知,導函數(shù)在軸右側應有兩個零點,且導函數(shù)值是先正后負再正,在軸右側無零點,且導函數(shù)值恒負,由此可以斷定導函數(shù)的圖象是的形狀.( )
答案:
2.函數(shù),則( )
A.在上單調遞增
B.在上單調遞減
C.在上單調遞增
D.在上單調遞減
解析:掌握函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系:在某個區(qū)間內,如果0,那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減.
因為函數(shù),定義域為,所以,當時,解得,即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為;當時,解得,即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.
答案:
【分析計算能力】
利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調區(qū)間,先求函數(shù)的定義域,重視對數(shù)函數(shù)的定義域對單調區(qū)間的影響.利用導數(shù)求函數(shù)的極值,導數(shù)為零的點不一定存在極值,要進行合理判斷.
【綜合問題解決能力】
本題已知在切點處的斜率求函數(shù)方程及最值,是高考常見考查內容,通過解題,提高學生的綜合問題解決能力.
3.已知函數(shù),求函數(shù)的極值.
思路:求函數(shù)的極值的一般步驟如下:首先令,可解出其極值點,然后根據(jù)導函數(shù)大于0、小于0即可判斷函數(shù)的增減性,進而求出函數(shù)的極大值和極小值.
解析:因為,所以,令得,.又的定義域為,由得,由得,,所以時,有極小值為1,無極大值.
4.若函數(shù),在點處的斜率為.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
思路:(1)求出函數(shù)的導數(shù),利用切線的斜率,求解即可.(2)求出導函數(shù),求出極值點,判斷函數(shù)的單調性,然后求解函數(shù)的最值即可.
解析:(1),即,解得;實數(shù)的值為1;
(2)為遞增函數(shù),∴,存在,使得,所以,.
教學反思
教師應根據(jù)本班的實際情況靈活安排教學步驟,切實把關注學生的發(fā)展放在首位來考慮,并依此制定合理而科學的教學計劃.
【以學定教】
啟發(fā)并引導學生理解以導數(shù)為研究函數(shù)的重要工具來解決函數(shù)的單調性和最值問題,理解函數(shù)單調性與導數(shù)的關系,掌握利用導數(shù)求函數(shù)極值和最值的方法,側重導數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應用.
【以學論教】
根據(jù)學生實際學習用導數(shù)求函數(shù)的單調性與極值最值的情況和課堂效果總結出教學過程中的方法和策略的成功之處,不足之處及改進方法.