【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-1.4.1《第2課時(shí) 空間中直線、平面的平行、垂直》講學(xué)案（必修1）

空間中直線、平面的平行、垂直 知識(shí)點(diǎn)一　線線平行的向量表示 設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2. 知識(shí)點(diǎn)二　線面平行的向量表示 設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0. 知識(shí)點(diǎn)三　面面平行的向量表示 設(shè)n1 ，n2 分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2 . 知識(shí)點(diǎn)四　線線垂直的向量表示 設(shè) u1，u2 分別是直線 l1 , l2 的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0. 知識(shí)點(diǎn)五　線面垂直的向量表示 設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn. 知識(shí)點(diǎn)六　面面垂直的向量表示 設(shè)n1，n2 分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 題型一、證明線線平行 1．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)，證明：. 【詳解】連接,如圖， 由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點(diǎn)， 所以， 即是的中點(diǎn)， 又N是AC的中點(diǎn)， 所以. 題型二、證明線面平行 2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角.求證：CM∥平面PAD. 【詳解】證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD， 所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， 所以∠PBC＝30°. 因?yàn)镻C＝2，所以BC＝2，PB＝4， 所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， 所以＝(0，－1,2)， ＝(2，3,0)， ＝. 設(shè)＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量， 由 得 取y＝2，得x＝－，z＝1，所以＝(－，2,1)是平面PAD的一個(gè)法向量. 因?yàn)椋?所以，.又平面PAD， 所以CM∥平面PAD. 題型三、證明面面平行 3．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個(gè)面的中心，求證：平面平面HMN． 【詳解】由題意知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2， 則， 得， 所以，即， 又平面HMN，平面HMN， 所以平面HMN，平面HMN， 又平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG平面HMN. 題型四、證明線線垂直 4．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在BD上，且；點(diǎn)F在上，且． 求證：（1）； （2）． 【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，，所以，，所以，，所以，所?（2）由（1）可知，所以，所以 題型五、證明線面垂直 5．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E是CD的中點(diǎn)．求證：平面． 【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， 所以，， 所以，，所以，， 因?yàn)椋矫妫?所以平面． 題型六、證明面面垂直 6．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD； 【詳解】 ∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP兩兩互相垂直， 如圖所示，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， M（1，0，0），N（1，1，1）， ∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2） 設(shè)（x，y，z）是平面MND的一個(gè)法向量， 可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1， ∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一個(gè)法向量， 同理可得（0，1，1）是平面PCD的一個(gè)法向量， ∵?2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴， 即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直， 可得平面MND⊥平面PCD. 1．如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別在線段，上，且，，P為棱的中點(diǎn)．求證：． 【詳解】證明：． 因?yàn)?，?所以， ， ． 又因?yàn)镻為中點(diǎn)， 所以， 從而與為共線向量． 因?yàn)橹本€MN與BP不重合， 所以． 2．已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面. 【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以?與的方向?yàn)閤?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則???????，M是棱的中點(diǎn)得，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，則令，則.又，因?yàn)槠矫妫云矫? 3．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn).試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 【詳解】證明：因?yàn)锳B＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)， 所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形. 因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中點(diǎn)M，連接DM， 則DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D為原點(diǎn)，DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(xiàn)(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)， 所以∥，∥， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 因?yàn)镃C1，CF?平面FCC1，CC1∩CF＝C，DD1，DA平面FCC1， 所以DD1∥平面FCC1，DA∥平面FCC1， 又DD1∩DA＝D， DD1，DA?平面AA1D1D， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 4．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．求證：． 【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，所以． 又，，所以． 所以． 所以，即． 5．如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD． 【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則， ，， 由于，所以平面. 6．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB.求證：平面BCE⊥平面CDE. 【詳解】設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a， 以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB所在直線為x軸，z軸，以過(guò)點(diǎn)A在平面內(nèi)垂直于AC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)， E(a，a，2a)． 所以＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)． 設(shè)平面BCE的法向量為＝(x1，y1，z1)，由＝0，＝0可得 即令z1＝2，可得＝(1，－，2)． 設(shè)平面CDE的法向量為＝(x2，y2，z2)，由＝0，＝0可得 即 令y2＝1，可得＝(，1，0)．因?yàn)椋?×＋1×(－)＋2×0＝0.所以， 所以平面BCE⊥平面CDE. 1．直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則實(shí)數(shù)（???????） A． B．1 C． D． 【答案】A 【詳解】直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，且， 所以，所以. 故選：A. 2．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，則（　?。?A．l∥α或l?α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 【答案】A 【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為， ，， 或， 故選：A 3．已知向量，分別是直線?的方向向量，若，則下列幾組解中可能正確的是（???????） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【詳解】由題意，即，代入各選項(xiàng)中的值計(jì)算，只有C滿足． 故選：C. 4．若，分別為直線，的一個(gè)方向向量，則（???????）． A． B．與相交，但不垂直 C． D．不能確定 【答案】C 【詳解】由，，得， 所以，即. 故選：C. 5．設(shè)是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（???????） A．l⊥α B．lα C．lα或l?α D．l⊥α或l?α 【答案】C 【詳解】，，可知l∥α或l?α.. 故選：C. 6．設(shè)α，β是不重合的兩個(gè)平面，α，β的法向量分別為，l和m是不重合的兩條直線，l，m的方向向量分別為，那么αβ的一個(gè)充分條件是（???????） A．l?α，m?β，且 B．l?α，m?β，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【詳解】對(duì)于A，由線面垂直的性質(zhì)可知，只要l?α，m?β，都有，并不能說(shuō)明αβ，則A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，若l?α，m?β，且，則平面α，β平行或者相交，則B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，由，且可得，，則，則C正確； 對(duì)于D，若，且，則平面α，β平行或者相交，則D錯(cuò)誤； 故選：C 7．（多選）已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），下列結(jié)論正確的有（???????） A． B． C． D． 【答案】AB 【詳解】因?yàn)槠矫妫恢睾希?所以平面，的法向量平行（或垂直）等價(jià)于平面，平行（或垂直）， 所以AB正確， 因?yàn)橹本€的方向量平行于平面的法向量等價(jià)于直線垂直于平面，所以C錯(cuò)誤， 因?yàn)橹本€的方向量垂直于平面的法向量等價(jià)于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，所以D錯(cuò)誤， 故選：AB 8．（多選）給定下列命題，其中正確的命題是（???????） A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則 B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則 C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則 D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直 【答案】ACD 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由線面垂直的定義若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們稱直線和平面垂直，所以，∴，A正確； 對(duì)于B選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，所以B錯(cuò)誤； 對(duì)于C選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，∴或∴，C正確； 對(duì)于D選項(xiàng)，兩平面垂直它們的法向量垂直，所以兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直，D正確. 故選：ACD. 9．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，_________． 【答案】 【詳解】由題可知：//，則 10．已知直線的方向向量為，平面的法向量為若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________. 【答案】 【詳解】由題意，直線的方向向量為，平面的法向量為， 因?yàn)?，可得，可得，解? 故答案為：. 11．已知直線的方向向量為，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則___________，___________. 【答案】???? ???? 【詳解】因?yàn)?，所以，解得? 故答案為：-3；3. 12．已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________ 【答案】6 【詳解】∵，∴，∴，∴． 故答案為：6． 13．若平面外的一條直線的方向向量是，平面的法向量為，則與的位置關(guān)系是_____. 【答案】平行 【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量是，平面的法向量為， 所以， 所以，所以直線與平面平行，即l∥β. 故答案為：平行. 14．已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______. 【答案】 【詳解】因?yàn)槠矫?，所以，則，解得. 故答案為： 15．若為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，已知，則的值為_(kāi)_________． 【答案】 【詳解】根據(jù)題意，若∥，則∥， ∴，解得， ∴. 故答案為：. 16．設(shè)，分別是平面，的法向量．若，則______． 【答案】5 【詳解】 ∵，則，∴． 故答案為：5 17．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__． 【答案】36 【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得， ∴． 故答案為：36． 18．如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E，C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線MN有________條． 【答案】1 【詳解】假設(shè)存在滿足條件的直線MN，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D1(2,0,2)，E(1,2,0)， 設(shè)M(x，y，z)，eq \o(D1M,\s\up6(—→))＝meq \o(D1E,\s\up6(—→))(0≤m≤1)， 所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m， 所以M(2－m，2m，2－2m)， 同理，若設(shè)eq \o(C1N,\s\up6(—→))＝neq \o(C1F,\s\up6(—→))(0≤n≤1)，可得N(2n，2n，2－n)， eq \o(MN,\s\up6(→))＝(m＋2n－2,2n－2m，2m－n)， 又因?yàn)镸N⊥平面ABCD，eq \o(CD,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \o(CB,\s\up6(→))＝(0,2,0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋2n－2＝0，,2n－2m＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(2,3)，)) 即存在滿足條件的直線MN，有且只有一條． 19．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn).求證：四邊形AEC1F是平行四邊形. 【詳解】如下圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則, 所以, 所以， 所以， 又因?yàn)? 所以， 所以四邊形AEC1F是平行四邊形. 20．如圖，在四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)．直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得？ 【詳解】假設(shè)直線AD上存在點(diǎn)F使，設(shè)， ，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以， ，若，則， 即，所以，即， 所以 ，此時(shí)顯然不成立，所以不存在點(diǎn)F，使得. 21．如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用向量法證明： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【詳解】 （1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向 分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)， D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量. 由于＝(0，1，－1)， 則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN?平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. （2）證明：因?yàn)椋?2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 則， 即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個(gè)法向量， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 22．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)F在什么位置時(shí)，平面，并說(shuō)明理由. 【詳解】點(diǎn)F位于的三等分點(diǎn)（靠近D點(diǎn)）時(shí)，平面，理由如下： 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為， 則，設(shè)， 故 ， 設(shè)平面的法向量為， 則 ，令得：， 所以， 因?yàn)椋?令，解得：， 所以當(dāng)點(diǎn)F位于的三等分點(diǎn)（靠近D點(diǎn)）時(shí)，平面. 23．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，Q為PD的中點(diǎn)．求證：． 【詳解】證明：由題意，在四棱錐中，平面ABCD， 底面四邊形ABCD為直角梯形，． 以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向， 建立空間直角坐標(biāo)系： 則，，，，． 因?yàn)镼為PD的中點(diǎn)，所以， 所以，， 所以，所以． 24．如圖，四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于a，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．求證：，． 【詳解】由題意可知，三個(gè)向量?jī)蓛砷g的夾角為， 因?yàn)镸，N分別是AB，CD的中點(diǎn)， 所以, 則 ， 所以，同理可證. 25．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)． （1）求證：BM∥平面ADEF； （2）求證：BC⊥平面BDE； （3）證明：平面BCE⊥平面BDE. 【詳解】證明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(2，0，2)． （1）∵M(jìn)為EC的中點(diǎn)，∴M(0，2，1)， 則，，， ，故共面． 又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF. （2），，， ，∴BC⊥DB. 又，∴BC⊥DE. 又DE∩DB＝D，DB，DE?平面BDE，∴BC⊥平面BDE. （3）證明　由（2）知BC⊥平面BDE，又BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE. 26．在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求證：平面EFG⊥平面PBC. 【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則E(0，2，1)，F(xiàn)(0，1，0)，G(1，1，0)． 所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量是＝(x，y，z)， 則有⊥，⊥. 所以 令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即平面EFG的一個(gè)法向量＝(0，1，－1)． 顯然＝(3，0，0)是平面PBC的一個(gè)法向量． 又·＝0，所以⊥， 即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直， 所以平面EFG⊥平面PBC. 27．在棱長(zhǎng)是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn). (1)求的長(zhǎng)； (2)證明：平面； (3)證明：平面. 【詳解】(1)以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則， ∵E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，∴， ∴. (2)∵，∴， 又平面平面， ∴平面. (3)， ∵，∴， 又，?平面， ∴平面. 28．如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，． (1)求證：平面； (2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證面． 【詳解】(1)證明：如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，，，，， 面，，且， 又， 面，為面的法向量， ，， 又平面， 平面． (2)證明：由（1）可知，，，， ，， ， 又， 面． 29．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明： (1)； (2)平面． 【詳解】(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)， 則， ， 所以. (2)， ， 設(shè)平面的法向量為， 則，故可令， ，所以平面. 30．如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【詳解】由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E， 則＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝. 設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為＝(x1，y1，z1)． 則 令x1＝1，得y1＝1.∴＝(1，1，0)． 設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為＝(x2，y2，z2)． 則? 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴＝(1，－1，4)． ∵＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 31．如圖所示，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)． 求證：（1）直線平面； （2）平面平面． 【詳解】 （1）因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)，所以，則為正三角形． 因?yàn)榈酌鏋榈妊菪?，所以?取的中點(diǎn)，連接，則，所以． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則，，，，， 所以，，． 設(shè)平面的法向量為，則， 令，可得平面的一個(gè)法向量為， 則，所以． 又直線平面，所以直線平面． （2）因?yàn)?，，?所以，． 設(shè)平面的法向量為， 則， 令，可得平面的一個(gè)法向量為． 由（1）知，所以，即，所以平面平面． 32．如圖，在正三棱柱中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，求證：平面平面． 【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè)，則，，， ∴，． ∵軸平面，∴可取平面的一個(gè)法向量為． 設(shè)平面的法向量為，則 ，取，得為平面的一個(gè)法向量． ∵，∴， ∴平面平面． 33．如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面． 證明如下：設(shè)符合題意．連接，，． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2， 則，，，，， ∴，，． 設(shè)平面的法向量為， 則，即， 令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為． 若平面平面，則也是平面的一個(gè)法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面． 34．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn)，求證： （1）直線平面； （2）直線直線.（用向量方法） 【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則. （1），， 又平面，平面，直線平面. （2），. 35．如圖，在四棱錐中，平面ABCD．，四邊形ABCD滿足，，，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAB． 【詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD， 所以，． 又， 所以PA，AB，AD兩兩垂直． 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 則，，，． 因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以，故． 又，， 所以． 所以，，為共面向量． 又平面PAB， 所以平面PAB． 36．如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，是的重心，，分別為，上的點(diǎn)，且． （1）求證：平面平面； （2）求證：與直線與都垂直． 【詳解】 證明：（1）如圖．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，，，，，， 于是，． 設(shè)平面的法向量是，則， ∴，令，得． 顯然是平面的一個(gè)法向量． 又，∴． ∴平面平面． （2）由（1），知，，， ∴，， ∴，， ∴與直線與都垂直． 37．如圖，在平行六面體中，，，求證：直線平面． 【詳解】證明：設(shè)，，， 則為空間中的一個(gè)基底，且 因?yàn)?，?所以，． ，， ． ． 故是平面的法向量，故直線平面．