高中數(shù)學(xué)新教材同步課時(shí)精品講練選擇性必修第二冊 第5章 §5.1 第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義(含解析)

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?第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．

知識(shí)點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．割線斜率與切線斜率
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是＝.

當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無限趨近于過點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)函數(shù)的定義
從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝ .
特別提醒：

區(qū)別
聯(lián)系
f′(x0)
f′(x0)是具體的值，是數(shù)值
在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值
f′(x)
f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)


1．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù)．(　√　)
2．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值．(　√　)
3．函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)數(shù)．(　×　)
4．直線與曲線相切，則直線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　×　)

一、求切線方程
例1　已知曲線C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲線C在點(diǎn)(1,2)處切線的方程；
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)處切線的傾斜角為α，求α的取值范圍．
解　因?yàn)椋剑?x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲線C在點(diǎn)(1,2)處切線的斜率為k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲線C在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲線C在任意一點(diǎn)處切線的斜率為k＝f′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
反思感悟　求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟

跟蹤訓(xùn)練1　曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．
答案?。?
解析　∵y′|x＝2＝
＝
＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.
∴曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P(2,5)處的切線方程為
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－3.
二、求切點(diǎn)坐標(biāo)
例2　過曲線y＝x2上某點(diǎn)P的切線滿足下列條件，分別求出P點(diǎn)．
(1)平行于直線y＝4x－5；
(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；
(3)與x軸成135°的傾斜角．
解　f′(x)＝
＝ ＝2x，
設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)．
(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是滿足條件的點(diǎn)．
(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是滿足條件的點(diǎn)．
(3)∵切線與x軸成135°的傾斜角，
∴其斜率為－1.即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是滿足條件的點(diǎn)．
反思感悟　求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟
(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)．
跟蹤訓(xùn)練2　已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值．
解　對于曲線f(x)＝x2－1，
k1＝ ＝2x0.
對于曲線g(x)＝1－x3，
k2＝
＝ ＝－3x.
由題意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或x0＝－.
經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意．
三、利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例3　已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是(　　)

A．0