2023年河南省中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2023年河南省中考數(shù)學(xué)試卷（含解析），共22頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023年河南省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中最小的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  北宋時(shí)期的汝官窯天藍(lán)釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，具有極高的歷史價(jià)值、文化價(jià)值如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 主視圖與左視圖相同
B. 主視圖與俯視圖相同
C. 左視圖與俯視圖相同
D. 三種視圖都相同3.  年河南省出版的億冊(cè)圖書(shū)，為貫徹落實(shí)黨的二十大關(guān)于深化全民閱讀活動(dòng)的重要精神，建設(shè)學(xué)習(xí)型社會(huì)提供了豐富的圖書(shū)資源數(shù)據(jù)“億”用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 5.  化簡(jiǎn)的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，點(diǎn)，，在上，若，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  關(guān)于的一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根8.  為落實(shí)教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于第批向全國(guó)中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目的通知精神，某校七、八年級(jí)分別從如圖所示的三部影片中隨機(jī)選擇一部組織本年級(jí)學(xué)生觀看，則這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為(    )
A.  B.  C.  D. 9.  二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)(    )A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限10.  如圖，點(diǎn)從等邊三角形的頂點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  某校計(jì)劃給每個(gè)年級(jí)配發(fā)套勞動(dòng)工具，則個(gè)年級(jí)共需配發(fā)______ 套勞動(dòng)工具．12.  方程組的解為______ ．13.  某林木良種繁育試驗(yàn)基地為全面掌握“無(wú)絮楊”品種苗的生長(zhǎng)規(guī)律，定期對(duì)培育的棵該品種苗進(jìn)行抽測(cè)如圖是某次隨機(jī)抽測(cè)該品種苗的高度的統(tǒng)計(jì)圖，則此時(shí)該基地高度不低于的“無(wú)絮楊”品種苗約有______ 棵
14.  如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且若，，則的長(zhǎng)為______ ．
15.  矩形中，為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______ ．三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.  本小題分
計(jì)算：；
化簡(jiǎn)：．17.  本小題分
蓬勃發(fā)展的快遞業(yè)，為全國(guó)各地的新鮮水果及時(shí)走進(jìn)千家萬(wàn)戶(hù)提供了極大便利不同的快遞公司在配送、服務(wù)、收費(fèi)和投遞范圍等方面各具優(yōu)勢(shì)櫻桃種植戶(hù)小麗經(jīng)過(guò)初步了解，打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家合作，為此，小麗收集了家櫻桃種植戶(hù)對(duì)兩家公司的相關(guān)評(píng)價(jià)，并整理、描述、分析如下：
配送速度得分滿(mǎn)分分：
甲：
乙：
服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計(jì)圖滿(mǎn)分分：
配送速度和服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計(jì)表： 項(xiàng)目
統(tǒng)計(jì)量
快遞公司配送速度得分服務(wù)質(zhì)量得分平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差甲乙根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
表格中的 ______ ； ______ 填“”“”或“”；
綜合上表中的統(tǒng)計(jì)量，你認(rèn)為小麗應(yīng)選擇哪家公司？請(qǐng)說(shuō)明理由；
為了從甲、乙兩家公司中選出更合適的公司，你認(rèn)為還應(yīng)收集什么信息列出一條即可？18.  本小題分
如圖，中，點(diǎn)在邊上，且．
請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線(xiàn)保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；
若中所作的角平分線(xiàn)與邊交于點(diǎn)，連接求證：．
19.  本小題分
小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚(yú)形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)和點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別作菱形和菱形，點(diǎn)，在軸上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，連接．
求的值；
求扇形的半徑及圓心角的度數(shù)；
請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分面積之和．
20.  本小題分
綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)處掛了一個(gè)鉛錘如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)，與樹(shù)頂在一條直線(xiàn)上，鉛垂線(xiàn)交于點(diǎn)經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)距地面，到樹(shù)的距離，求樹(shù)的高度結(jié)果精確到．
21.  本小題分
某健身器材專(zhuān)賣(mài)店推出兩種優(yōu)惠活動(dòng)，并規(guī)定購(gòu)物時(shí)只能選擇其中一種．
活動(dòng)一：所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；
活動(dòng)二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿(mǎn)元減元如：所購(gòu)商品原價(jià)為元，可減元，需付款元；所購(gòu)商品原價(jià)為元，可減元，需付款元
購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)為元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由；
購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動(dòng)一和選擇活動(dòng)二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價(jià)；
購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動(dòng)二比選擇活動(dòng)一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為元，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．22.  本小題分
小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線(xiàn)路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在軸上，球網(wǎng)與軸的水平距離，，擊球點(diǎn)在軸上若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿(mǎn)足二次函數(shù)關(guān)系．
求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；
小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng)要使球的落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．
23.  本小題分
李老師善于通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
觀察發(fā)現(xiàn)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)軸，作關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形，再分別作關(guān)于軸和直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形和，則可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______ ；可以看作是向右平移得到的，平移距離為______ 個(gè)單位長(zhǎng)度．
探究遷移
如圖，?中，，為直線(xiàn)下方一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再分別作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)和直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和，連接，，請(qǐng)僅就圖的情形解決以下問(wèn)題：
若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
若，求，兩點(diǎn)間的距離．
拓展應(yīng)用
在的條件下，若，，，連接，當(dāng)與?的邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
根據(jù)實(shí)數(shù)的大小可得：
，
所以最?。?/span>
故選：．
先判斷的范圍，再比較幾個(gè)實(shí)數(shù)．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的知識(shí)，難度不大，認(rèn)真比較即可．
 2.【答案】 【解析】解：這個(gè)幾何體的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．
故選：．
根據(jù)三視圖的定義求解即可．
此題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
將一個(gè)數(shù)表示為的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．
本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，掌握形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
由對(duì)頂角的性質(zhì)得到，即可求出的度數(shù)．
本題考查對(duì)頂角，關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．
 5.【答案】 【解析】解：原式．
故選：．
根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可．
本題考查的是分式的加減法，熟知同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
故選：．
根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半即可得到答案．
本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半．
 7.【答案】 【解析】解：，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：．
根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．
本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：把三部影片分別記為、、，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中七、八年級(jí)選擇的影片相同的結(jié)果有種，
這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為，
故選：．
畫(huà)樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中七、八年級(jí)選擇的影片相同的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 9.【答案】 【解析】解：由函數(shù)圖象可得，，，
，
的圖象過(guò)一，二，三象限，不過(guò)第四象限，
故選：．
根據(jù)圖象確定，的符號(hào)，即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，令點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
，，
又為等邊三角形，
，，
≌，
，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)的路程為，
，即，
，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，則，
，
即等邊三角形的邊長(zhǎng)為．
故選：．
如圖，令點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，易知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)的路程為，可知，過(guò)點(diǎn)作，解直角三角形可得，進(jìn)而得出等邊三角形的邊長(zhǎng)．
本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用兩個(gè)圖形給出的條件．
 11.【答案】 【解析】解：給每個(gè)年級(jí)配發(fā)套勞動(dòng)工具，
個(gè)年級(jí)共需配發(fā)套勞動(dòng)工具．
故答案為：．
根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．
本題考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含的代數(shù)式表示個(gè)年級(jí)勞動(dòng)工具的套數(shù)．
 12.【答案】 【解析】解：，
，得，
．
，得，
．
，得，
．
原方程組的解為．
故答案為：．
利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡(jiǎn)便．
本題主要考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：由統(tǒng)計(jì)圖可得，該基地高度不低于的“無(wú)絮楊”品種苗約占，
棵，
該基地高度不低于的“無(wú)絮楊”品種苗約有棵．
故答案為：．
由統(tǒng)計(jì)圖得到高度不低于的“無(wú)絮楊”品種苗所占的百分比，再列式計(jì)算即可．
本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能從統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用的信息．
 14.【答案】 【解析】解：連接，

與相切于點(diǎn)，
，
，，，
≌，
，
在中，，，
，
的面積的面積的面積，
，
，
，
，
故答案為：．
連接，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得，然后利用證明≌，從而可得再在中，利用勾股定理求出，最后根據(jù)的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】或 【解析】解：以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：
如圖，當(dāng)時(shí)，

則，
四邊形是矩形，
，
，
為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，
，
，
；
如圖，當(dāng)時(shí)，

則，
為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：如圖，當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：，
． 【解析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算即可；
根據(jù)完全平方公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及整式的混合運(yùn)算，熟記相關(guān)定義與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】   【解析】解：甲公司配送速度得分從小到大排列為：               ，
一共個(gè)數(shù)據(jù)，其中第個(gè)與第個(gè)數(shù)據(jù)分別為、，
所以中位數(shù)．
，
，
，
故答案為：，；
小麗應(yīng)選擇甲公司，理由如下：
配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服務(wù)質(zhì)量得分甲和乙的平均數(shù)相同，但是甲的方差明顯小于乙的方差，
甲更穩(wěn)定，
小麗應(yīng)選擇甲公司；
還應(yīng)收集甲、乙兩家公司的收費(fèi)情況．答案不唯一，言之有理即可
根據(jù)中位數(shù)與方差的定義即可求解；
根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和方差的意義進(jìn)行選擇即可；
根據(jù)題意求解即可．
本題考查了方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立，也考查了平均數(shù)、中位數(shù)．關(guān)鍵是能根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義對(duì)本題進(jìn)行分析．
 18.【答案】解：如圖所示，即為所求，

證明：平分，
，
，，
≌，
． 【解析】利用角平分線(xiàn)的作圖步驟作圖即可；
證明≌，即可得出結(jié)論．
本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖平分已知角的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
 19.【答案】解：將代入到中，
得：，
解得：；
過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交軸于，

，
，，
，
半徑為；
，
，
由菱形的性質(zhì)可知，，
，
圓心角的度數(shù)為：；
，
，
，
在菱形中，，
，
，
． 【解析】將代入中即可求解；
利用勾股定理求邊長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形中度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求解出角度，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解；
先計(jì)算出，再計(jì)算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合的幾何意義可求出，從而問(wèn)題即可解答．
本題考查反比例函數(shù)及的幾何意義，菱形的性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系等，正確的幾何意義是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由題意可知，，，
則，
，
，，
則，
，
，
則，
，
．
答：樹(shù)的高度為． 【解析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：元，元，
選擇活動(dòng)一更合算；
設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為元，
若，則活動(dòng)一按原價(jià)打八折，活動(dòng)二按原價(jià)，此時(shí)付款金額不可能相等；
，
，
解得，
一件這種健身器材的原價(jià)是元；
當(dāng)時(shí)，，
解得；
；
當(dāng)時(shí)，，
解得；
；
綜上所述，或． 【解析】根據(jù)已知列式計(jì)算即可；
設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為元，可得，即可解得答案；
分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別解不等式可得答案．
本題考查一元一次方程，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和不等式解決問(wèn)題．
 22.【答案】解：在中，令得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
把代入得：，
解得：，
的值是；
，，
，
，
在中，令得，
在中，令得舍去或，
，
選擇吊球方式，球的落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離更近． 【解析】在中，令可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為；把代入得的值是；
在中，令得，在中，令可得舍去或，由，即可得到答案．
本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)解析式，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征．
 23.【答案】   【解析】解：答案為：；
如圖，

，理由如下：
連接，
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：，，
，
；
如圖，

作于，作于，
，，
可得矩形和矩形，
，，
，
，
，，
，
；
如圖，

在中，，，，則，
設(shè)，則，，則，
，

當(dāng)時(shí)，作于，設(shè)交于，
，
，
，
，
，
由知：，
設(shè)，則，
，
，
，
由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：，
，
，
由得，
，
，
如圖，

當(dāng)時(shí)，設(shè)，
同理可得：，
，
，
綜上所述：或．
觀察可得出結(jié)果；
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：，，，從而得出結(jié)果；
作于，作于，可得矩形和矩形，從而，，求得，從而，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出，，進(jìn)一步得出結(jié)果；
先構(gòu)造 的直角三角形，求得的值；當(dāng)時(shí)，作于，設(shè)交于，可得出，設(shè)，則，從而得出，可得出，從而，根據(jù)得出，從而求得的值；當(dāng)時(shí)，同理可得出另一個(gè)結(jié)果．
本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，構(gòu)造直角三角形求得的值是解題的關(guān)鍵．