2023年新高二數(shù)學暑假講義+習題（人教A版） 第12講 拋物線

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?第12講 拋物線
新課標要求
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)。
2.了解拋物線的簡單應用。

知識梳理
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程

y2＝2px
(p＞0)
F
x＝－

y2＝－2px
(p＞0)
F
x＝

x2＝2py
F
y＝－

x2＝－2py(p＞0)
F
y＝
3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標準方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
圖象





性質(zhì)
范圍
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
對稱軸
x軸
y軸
頂點
(0,0)
焦點




準線
x＝－
x＝
y＝－
y＝
離心率
e＝1
4.直線與拋物線y2＝2px的位置關系及判定
位置關系
公共點
判定方法
相交
1個或2個
公共點
k＝0或

聯(lián)立直線與拋物線方程，得到一個一元二次方程，記判別式為Δ
相切
一個公
共點
Δ＝0
相離
無公共點
Δ＜0

名師導學
知識點1 求拋物線的標準方程
【例1-1】根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程．
(1)準線方程為x＝－1；
(2)焦點為直線3x－2y－6＝0與坐標軸的交點；
(3)經(jīng)過點(－3，－1)．


【變式訓練1-1】根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程．
(1)準線方程為y＝－2；
(2)焦點在x軸上，焦點到準線的距離等于5；
(3)過點(1，－2)．

知識點2 根據(jù)拋物線方程求焦點坐標、準線方程
【例2-1】求下列拋物線的焦點坐標及準線方程．
(1)y2＝－4x；
(2)y＝4x2；
(3)3x2＋2y＝0；
(4)y2＝ax(a＞0)．





【變式訓練2-1】(1)已知拋物線x2＝ay的準線方程是y＝－，則a＝________.
(2)(全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8

知識點3 拋物線定義的應用
【例3-1】(1)若動點P到定點F(1,1)的距離與它到定直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動點P的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
(2)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　)
A. B．1 C. D．
(3)(晉中市期末)已知直線l1：3x－4y－6＝0，直線l2：y＝－2，拋物線x2＝4y上的動點P到直線l1與直線l2距離之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
【變式訓練3-1】(1)已知動圓過定點F，且與直線x＝－相切，其中p>0，求動圓圓心的軌跡方程；
(2)已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是焦點，點A(－2,4)，
在此拋物線上求一點P，使|PF|＋|PA|的值最?。?br /> 知識點4 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
【例4-1】設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．8
C. D．
【變式訓練4-1】設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為該拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率為－，則△PAF的面積為(　　)
A．2 B．4
C．8 D．8
【變式訓練4-2】已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，求拋物線的標準方程．



知識點5 拋物線的焦點弦的性質(zhì)及應用
【例5-1】已知AB是拋物線y2＝2px(p＞0)的過焦點F的一條弦，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p；
(2)若AB的傾斜角為θ，則|AB|＝；
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(4)＋為定值.




【變式訓練5-1】設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

知識點6 直線與拋物線的位置關系的判斷
【例6-1】已知拋物線的方程為y2＝2x，直線l的方程為y＝kx＋1(k∈R)．當k分別為何值時，直線l與拋物線只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？





【變式訓練6-1】如果直線l過定點M(1,2)且與拋物線y＝2x2有且只有一個公共點，求直線l的方程．




知識點7 弦長、中點弦問題
【例7-1】過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，且該弦恰被Q平分，求AB所在的直線方程及|AB|.




【變式訓練7-1】(臺州市月考)過拋物線y2＝mx(m>0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，|PQ|＝m，則m＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
知識點8 拋物線中的定點、最值問題
【例8-1】如圖，已知△AOB的一個頂點為拋物線y2＝2x的頂點O，A，B兩點都在拋物線上，且∠AOB＝90°.
(1)證明：直線AB必過一定點；
(2)求△AOB面積的最小值．





【變式訓練8-1】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P(2，n)(n>0)在拋物線C上，|PF|＝3，直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點．
(1)求拋物線C的方程及點P的坐標；
(2)求·的最大值．




名師導練
3.3.1 拋物線及其標準方程
A組-[應知應會]
1．到定點F(1，－1)的距離與到直線3x－2y－5＝0的距離相等的點P的軌跡是(　　)
A．拋物線 B．橢圓
C．雙曲線的一支 D．直線
2．已知拋物線y2＝2px上一點M(1，m)到其焦點的距離為5，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝8 B．x＝－8
C．x＝4 D．x＝－4
3．(杭州模擬)已知拋物線x2＝4y上一點A的縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為(　　)
A.　　　 B．4 C.　　　 D．5
4．若橢圓＋＝1(p＞0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p為(　　)
A．3　　　 B． C.　　　 D．6
5．(牡丹江一中期末)下列拋物線中，焦點到準線的距離最小的是(　　)
A．y2＝－x B．y2＝2x
C．2x2＝y(tǒng) D．x2＝－4y
6．(運城期末)若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到點A(－2,1)的距離之和最小，則點P的坐標為(　　)
A. B．
C．(－2，－2) D．(－2,2)
7．在拋物線y2＝－2px(p>0)中，p的幾何意義是 ____________________________________________
8．若拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的焦點，則p＝________.
9．(南陽市一中開學考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A，B為拋物線上的兩點，以AB為直徑的圓過點F，過AB的中點M作準線的垂線，垂足為N，則的最大值為________．
10．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且與y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，求拋物線的方程．





11．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，試判斷|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差數(shù)列．






12．(南陽一中檢測)已知定點A(1,0)，定直線l：x＝－2，動點P到點A的距離比點P到l的距離小1.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點B(0,2)的直線l與(1)中軌跡C相交于兩個不同的點M，N，若·0)的焦點為F，F(xiàn)關于原點的對稱點為P，過F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點，有下列四個命題：
①△PMN必為直角三角形；②△PMN不一定為直角三角形；③直線PM與拋物線相切；④直線PM不一定與拋物線相切．其中正確的命題為(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
5．(鄭州模擬)過拋物線y2＝4x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|＝(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
6．(馬鞍山市階段測試)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線交于M，N兩點，若＝4，則直線l的斜率為(　　)
A．± B．±
C．± D．±
7．(凱里市期末)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則此拋物線的方程為________．
8．如圖，已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F恰好是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點，且兩曲線的公共點連線AB過F，則橢圓的離心率是________．

9．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝，|AF|＝3，則此拋物線的標準方程為________．
10．拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程．



11．已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．
(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．



12．在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(0，－2)的距離比它到x軸的距離大2，記點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)若直線y＝2x＋b與軌跡C恰有2個公共點，求實數(shù)b的取值范圍．



B組-[素養(yǎng)提升]
(全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.




3.3.3 直線與拋物線的位置關系
A組-[應知應會]
1．拋物線的對稱軸為x軸，過焦點且垂直于對稱軸的弦長為8，若拋物線頂點在坐標原點，則其方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．在拋物線y2＝8x中，以(1，－1)為中點的弦所在直線的方程是(　　)
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
3．已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　)
A．直線與拋物線有一個公共點
B．直線與拋物線有兩個公共點
C．直線與拋物線有一個或兩個公共點
D．直線與拋物線可能沒有公共點
4．(鄭州市期中)已知F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，以為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝(　　)
A．16 B．4
C. D．
5．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為－1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
6．(綿陽模擬)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A在y軸上，若線段FA的中點B在拋物線上，且點B到拋物線準線的距離為，則點A的坐標為(　　)
A．(0，±2) B．(0,2)
C．(0，±4) D．(0,4)
7．直角△ABC的三個頂點都在給定的拋物線y2＝2x上，且斜邊AB和y軸平行，則直角△ABC斜邊上的高的長度為________．
8．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的弦的中點坐標為________．
9．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(1，m)(m>0)到其焦點的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則雙曲線的離心率為________．
10．(平頂山調(diào)研)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A，B兩點，若∠AMB＝90°，求k的值．






11．求過定點P(－1,1)，且與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線l的方程．




12．設拋物線C：y2＝2x，點A(2,0)，B(－2,0)，過點A的直線l與拋物線C交于M，N兩點．
(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；
(2)證明：∠ABM＝∠ABN.


B組-[素養(yǎng)提升]
(北京卷)已知拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)．
(1)求拋物線C的方程及其準線方程；
(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．