專題09 基本圖形的平行與垂直——2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末知識點精講+訓(xùn)練學(xué)案+期末模擬卷（蘇教版2019必修第二冊）

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?專題09 基本圖形的平行與垂直


（一） 空間中直線與平面的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：有且只有三種
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；
②直線與平面相交——有且只有一個公共點；
③直線與平面平行——沒有公共點．
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．
【點撥】“直線與平面不相交”和“直線與平面沒有公共點”表示不同的意義，前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．
(2)符號表示：直線l在平面α內(nèi)，記為l?α；直線l與平面α相交于點M，記為l∩α＝M；直線l與平面α平行，記為l∥α．
(3)圖示：直線l在平面α內(nèi)，如圖a所示；直線l與平面α相交于點M，如圖b所示；直線l與平面α平行，如圖c所示．

（二） 直線與平面平行
1.直線與平面平行的判定定理
（1）定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；即：
（4）作用：證明直線與平面平行
2.直線與平面平行的性質(zhì)定理
（1）定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
（4）作用：證明兩直線平行.
（三）直線與平面垂直
1. 直線與平面垂直
（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
（2）記法：l⊥α
（3）有關(guān)概念： 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.它們唯一的公共點P叫做垂足.
（4）圖示與畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.
2. 直線與平面垂直的判定定理
（1）定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
（2）圖形語言
（3）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α， a∩b＝P?l⊥α
（4）作用：判斷直線與平面垂直.
3. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
（1）定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b
（4）作用：證明兩直線平行.
（四）兩平面的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：有且只有兩種
①兩個平面平行——沒有公共點；
②兩個平面相交——有一條公共直線．
(2)符號表示：兩個平面α、β平行，記為α∥β；兩個平面α、β相交于直線l，記為α∩β＝l．
(3)圖示：兩個平面α、β平行，如圖a所示；兩個平面α、β相交于直線l，如圖b所示．

（五）兩平面平行
1.判定定理
（1）定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行
（2）圖形語言：
（3）符號語言：a?β，b?β， a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
（3）作用：證明兩個平面平行
2.性質(zhì)定理
（1）定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.
（2）圖形語言：
（3）符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?__a∥b__
（4）作用：證明兩直線平行
（六）兩平面垂直
1.二面角
（1）有關(guān)概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．

（2）平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.

如圖，OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角.
（3）范圍：[0，π]
（4）記法：棱為l，面分別為α，β的二面角記為α－l－β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P－l－Q

（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
2.判定定理
（1）定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
（2）圖形語言：
（3）符號語言：l⊥α，l?β?α⊥β
（4）作用：判斷兩平面垂直
3. 性質(zhì)定理
（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
（2）圖形語言：
（3）符號語言：α⊥β，l?β，α∩β＝a，l⊥a?l⊥α
（4）作用：證明直線與平面垂直

題型一 平行、垂直相關(guān)命題的判定
【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（????）
A．若則
B．若則
C．若則
D．若則
【答案】D
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷A錯誤；根據(jù)面面垂直的判斷定理判斷B錯誤；舉反例判斷C錯誤；根據(jù)面面垂直的判定定理判斷D正確.
【詳解】對于A，則錯誤，原因是β不一定是經(jīng)過直線m的平面；故A錯誤；
對于B，若則錯誤，如圖所示，原因是由題設(shè)條件無法推出一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，故無法判定是否α與β一定垂直，故B錯誤；

對于C，若則，錯誤，例如教室的墻角，不妨設(shè)α為東墻面，γ為北墻面，β 為地面，滿足但α與γ相交，故C錯誤；
對于D，因為由面面垂直的判定定理得：，故D正確．
故選：D．
【典例2】（2021春·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)l是直線，是兩個不同的平面（????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】易判斷A錯誤；B項結(jié)合面面垂直判定定理可證明正確；C項可能存在；D項易判斷錯誤.
【詳解】對選項A，若，滿足，則，但不滿足，故A錯誤；
對選項B，如圖，若，必存在，則，又，所以，故B正確；

對選項C，若，存在，故C項錯誤；
對選項D，如圖，若，則，故D項錯誤.

故選：B
【總結(jié)提升】
1.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行
2.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

3.垂直、平行關(guān)系 的轉(zhuǎn)化

題型二 直線與平面平行的判定與證明
【典例3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別是、的中點．證明：平面．

【答案】證明見解析
【分析】取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.
【詳解】證明：取的中點，連接、，

因為、分別是、的中點，所以且．
因為四邊形為平行四邊形，則且，
為的中點，則且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，故，
平面，平面，平面.
【典例4】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖①，在直角梯形中，，，，為的中點，、、分別為、、的中點，將沿折起，得到四棱錐，如圖②.求證：在四棱錐中，平面.

【答案】證明見解析
【分析】證明出平面平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.
【詳解】證明：在四棱錐中，、分別為、的中點，則，
平面，平面，平面，
在圖①中，，且，
為的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，
因為、分別為、的中點，所以，，則，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，因此，平面.
【總結(jié)提升】
1.證明線面平行的常用方法與思路
證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．
2.證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．
題型三 直線與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例5】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點，分別在和上，并且，平面，則線段的長為______．
【答案】##
【分析】連接并延長與交于點，連接，證明，根據(jù)比例關(guān)系得到，再利用余弦定理計算得到答案.
【詳解】如圖所示：連接并延長與交于點，連接，為中點，連接，

，故，，
平面，平面平面，平面，故，
故，，故，
，，
故.
故答案為：
【典例6】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，點為上一點，為，且平面.

(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證得：平面.
（2）結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理和三角形重心的知識證得：.
【詳解】（1）∵，平面平面，∴平面.
∵平面，平面平面，∴.
∵平面平面，???
∴平面.
（2）連接，設(shè)，，連接，
∵平面平面，平面平面，
∴，
∵，，所以，
∴，
∴點是的重心，
∴點是的中點，
∴，
∴，
∴.

【總結(jié)提升】
1.應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．
2.在應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．
題型四 面面平行的判定與證明
【典例7】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）（1）敘述兩個平面平行的判定定理，并證明;
（2）如圖，正方體中，分別為的中點，求證:平面平面.

【答案】（1）見解析；
（2）見解析.
【分析】（1）寫出面面平行的判定定理，然后用反證法證明即可；
（2）根據(jù)為正方體，，為，中點得到，，然后利用面面平行的判定定理證明即可.
【詳解】（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，即，，，，，
證明：假設(shè)，
∵，，，
∴，同理可得，，
∴，與矛盾，所以不成立，
所以.
（2）

取中點，連接，，，
∵為正方體，，為，中點，
∴，，，，
∴四邊形，為平行四邊形，，，
∵平面，平面，平面，平面，
∴∥平面，∥平面，
∵平面，平面，，
∴平面∥平面.
【典例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點．求證：

(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得，由此得證；
（2）利用線面平行的判定定理證得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，從而利用面面平行的判定定理即可得證.
【詳解】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點
∴GH是的中位線，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四點共面．
（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
【總結(jié)提升】
1.證明兩個平面平行的方法有：
①用定義，此類題目常用反證法來完成證明；
②用判定定理或推論(即“線線平行?面面平行”)，通過線面平行來完成證明；
③根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)進(jìn)行證明(l⊥α，l⊥β?α∥β)；
④借助“傳遞性”來完成(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
2.面面平行問題常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，需要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
題型五 平面與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例9】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直線被三個平行平面所截．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】討論共面或異面兩種情況，由面面平行的性質(zhì)證線線平行，進(jìn)而得到線段的比例關(guān)系即可.
【詳解】證明：①當(dāng)共面時，連接，則，從而．

②當(dāng)異面時，連接，設(shè)，連接．

因為，平面，平面，所以，則．
同理可證，所以，從而．
綜上，．
【典例10】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，平面平面平面，異面直線 分別與平面 相交于點和點．已知，，，求、、的長．

【答案】，，
【分析】連接交平面于點，連接，，利用面面平行的性質(zhì)定理得到，，再根據(jù)三角形相似得到對應(yīng)邊的比例，利用相似比例即可得到答案.
【詳解】連接交平面于點，連接，，
因為平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因為，所以，
所以，
因為，，所以，，
所以，
因為平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因為，所以，
所以，因為，所以，
所以，所以，
又因為，所以，
所以，，.

【規(guī)律方法】
(1)兩平面平行，構(gòu)造與之相交的第三個平面，可得交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行，可用于證明線面平行．
題型六 線面垂直的判定與證明
【典例11】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示的長方體中，底面是邊長為2的正方形，O為與的交點，，M是線段的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析整理.
【詳解】（1）連接，如圖，
∵O、M分別是、的中點，是矩形，則，且，
∴四邊形是平行四邊形，則，
平面，平面，
∴平面.
（2）連接，
∵正方形的邊長為2，，
∴，，，
則，故，
又∵平面，平面，
∴，
由為正方形可得：，
，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，
，面，
∴平面.

【典例12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，

(1)求證：.
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用線面平行的判定定理直接進(jìn)行證明即可；
（2）首先利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，即，然后分別利用勾股定理證明，，最后利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）如圖，設(shè)正方形的對角線與交于，連.

，，得.
，，
為平行四邊形，
.
又
.
（2），，
，平面，.
連接，由（1）易知是邊長為1的正方形，
故，得，
，
，
，
，
同理，在中，，
，平面，平面，
.
【規(guī)律方法】
證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．
題型七 線線垂直的判定與證明
【典例13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.

【答案】證明見解析
【分析】由幾何關(guān)系證明BC⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)BC⊥平面ACD.
【詳解】如題圖(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
過C作CE⊥AB，E為垂足，
∴四邊形AECD為正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如題圖(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC?平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
【典例14】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知四邊形和四邊形都是直角梯形，，，，，，．設(shè)分別為的中點．證明：.

【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)直角梯形中的垂直關(guān)系，由線面垂直的判定和性質(zhì)可證得；根據(jù)長度關(guān)系證得為等邊三角形，由此可得；由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論.
【詳解】四邊形和四邊形都是直角梯形，，，
，，，平面，平面，
又平面，，
，，，，
，，
是等邊三角形，又為中點，，
又，平面，平面，
平面，.
【規(guī)律方法】
證明線線垂直的基本方法：
(1)證明一條直線垂直于經(jīng)過另一直線的平面，稱之為線面垂直法．
(2)計算兩條直線所成角等于90°，稱之為計算角度法
題型八 面面垂直的判定與證明
【典例15】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.

【答案】證明見解析
【分析】證明PC⊥BD，AC⊥BD，結(jié)合面面垂直的判定證明即可.
【詳解】∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
【典例16】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是的中點.求證：

(1)平面PCE
(2)平面平面
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）首先取的中點，連接，根據(jù)題意易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面.
（2）首先根據(jù)題意得到，，從而得到平面，根據(jù)即可得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證明平面平面.
【詳解】（1）取的中點，連接，如圖所示：

因為分別為的中點，所以，且.
又因為是的中點，所以，.
所以，，即四邊形為平行四邊形，即.
因為平面，平面，，
所以平面.
（2）因為平面，平面，所以.
因為，，，平面，所以平面.
又因為平面，所以.
因為為中點，，所以.
因為，，，平面，所以平面.
又因為，所以平面.
又因為平面，所以平面平面.
【規(guī)律方法】
1.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化
(1)兩種方法：
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)一個轉(zhuǎn)化：
在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
2．證面面垂直的思路
(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個面．這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮．
(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理．
題型九 面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
【典例17】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的五個頂點都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面平面ABCD，且，則球面O的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，取中點為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過做平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點為四棱錐外切球球心O.由題目條件，可證得四邊形為矩形，設(shè)外接球半徑為R，則.后可得答案.
【詳解】如圖，取中點為E，三角形外接圓圓心為，正方形ABCD外接圓圓心為，過作平面，底面ABCD垂線，則兩垂線交點為四棱錐外接球球心O.
因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，則平面ABCD.又平面ABCD，則.
因，則四邊形為矩形.
設(shè)三角形外接圓半徑為，則，又則.
則，設(shè)外接球半徑為R，則，又，
則，則球O表面積為：.
故選：C.

【典例18】（2023·全國·高一專題練習(xí)）直三棱柱的所有棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為______．
【答案】##
【分析】設(shè)的中點為，再根據(jù)題意結(jié)合正三棱柱的性質(zhì)和球的性質(zhì)即可求解即可.
【詳解】設(shè)的中點為，則，，
又因為面面，且面面面，
所以面，
所以題中所求交線即為以為圓心，為半徑的一段圓弧，
設(shè)該圓弧與的交點分別為，
球與側(cè)面的交線如圖所示，則，
易知，

所以該圓弧所對的圓心角為，
故所求弧長為.
故答案為：.
【規(guī)律方法】
1.在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直．
2.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．
3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
題型十 平行、垂直的綜合問題
【典例19】（2021秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知菱形的對角線交于點，四邊形是平行四邊形.將三角形沿線段折起到的位置，如圖2所示.

(1)求證：；
(2)在線段上是否分別存在點，使得平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，分別是的中點，證明見解析
【分析】對于（1），證明平面即可.
對于（2），使即可.
【詳解】（1）證明：折疊前，四邊形是菱形，，
折疊后.

平面，
又平面.

（2）在線段上分別存在點，且分別是的中點時，平面平面.
證明如下：
如圖，分別取的中點，連結(jié)，
在中，分別是的中點，.
分別是的中點，四邊形是平行四邊形，
平行且等于四邊形是平行四邊形，.
又平面
平面，
平面平面.

【典例20】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．

(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在側(cè)棱PC上是否存在點M，使得平面PAD，若存在，確定點M位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；點是的中點
【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，結(jié)合AD⊥CD，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
（2）取的中點為，的中點為，連接，，，根據(jù)中位線即可證明，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，
又因為，，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）存在，當(dāng)點是的中點時，平面，證明如下：
如圖，設(shè)的中點為，連接，，，如圖所示：

所以是的中位線，即，且，
因為，，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
故當(dāng)點是的中點時，平面.
【規(guī)律方法】
1.存在、探索性問題解答策略：
(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．
(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．
2.易錯提醒：
（1）在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.
（2）線面平行關(guān)系證明的難點在于輔助面和輔助線的添加，在添加輔助線、輔助面時一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù)，絕不能主觀臆斷.
（3）解題中注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用.

一、單選題
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】利用線面平行以及線面垂直的相關(guān)知識，逐一驗證，可得答案.
【詳解】對于A，由，則設(shè)，當(dāng)時，也是符合條件的，故A錯誤；
對于B，由，則直線與的位置是平行或異面，故B錯誤；
對于C，由，則存在，，由，則，故C正確；
對于D，設(shè)，當(dāng)時，且，也可推出，故D錯誤，
故選：C
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用線面平行判定定理可知B，C，D均不滿足題意，A選項可證明出直線AB與平面MNQ不平行，從而可得答案.
【詳解】對于選項B，如圖1，連接CD，

因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，
B選項不滿足題意；
對于選項C，如圖2，連接CD，
因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，
C選項不滿足題意；

對于選項D，如圖3，連接CD，
因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因為平面，平面，所以AB平面MNQ，

可知D不滿足題意；
如圖4，取BC的中點D，連接QD，
因為Q是AC的中點，
所以QDAB，
由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，
A正確.

故選：A
3．（2023·高一單元測試）已知在正方體中，交于點，則（????）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
【答案】C
【分析】由線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.
【詳解】作出圖形如圖所示，連接，因為，所以平面平面，故平面，其他三個選項易知是錯誤的.

故選：C.
4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知兩條不同的直線與兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】在正方體中，通過反例可說明ABC錯誤；由面面垂直的判定可知D正確.
【詳解】
對于A，在正方體中，，，平面，平面，
則，，此時與異面，A錯誤；
對于B，在正方體中，平面，平面，，，
則，，，此時，B錯誤；
對于C，在正方體中，，，平面，
則若，，此時，C錯誤；
對于D，根據(jù)面面垂直的判定定理知：若，，則，D正確.
故選：D.
5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列結(jié)論：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n，
③若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m，
其中正確的結(jié)論個數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)空間的點、線、面的位置關(guān)系一一判斷各項即可.
【詳解】對①，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β，故①正確；
對②，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n，故②正確；

對③，若α∩β＝m，n?α，n⊥m，
如正方體中，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，AB?平面ABCD，AB⊥BC，
但AB與平面A1BCD1不垂直，故③錯誤；
對④，α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，
如正方體中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，
平面ADD1A1∩平面A1BCD1＝A1D1，但BCA1D1，故④錯誤．
所以正確的結(jié)論個數(shù)為2個．
故選：C．
6．（2020春·江蘇徐州·高一?？计谥校┰O(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①；② ；③ ；④ .其中正確的命題是（　?。?br /> A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根據(jù)線面，面面平行和垂直的判定定理，性質(zhì)定理逐項進(jìn)行分析即可求解.
【詳解】若，，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可得，故①正確；
若，，則或與相交或在平面內(nèi)，故②不正確；
因為，所以內(nèi)有一直線與平行，而，則，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，故③正確；
若，，則或，故④不正確，
故選：.
7．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（　?。?br />
A． B．平面????
C．平面 D．平面平面
【答案】D
【分析】利用反證法可判斷A；由二面角的變化可判斷B；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C；利用面面垂直的判定定理可判斷D．
【詳解】解：翻折前，，，翻折后，，
，平面，則平面，
平面，平面平面，故D正確；
由上述可知二面角的平面角為，
在翻折的過程中，會發(fā)生變化，故與不一定垂直，
與平面不一定垂直，故B錯誤；
設(shè)，在圖一中，，
，解得，，
，，
，，
在圖二中，過點在平面內(nèi)作，交于點，連接，
則，故，則，
，不為的中點，
，，則，
若，，平面，則平面，
平面，則，
，平面，且，，
為的中點，則為的中點，與已知矛盾，故A錯誤；
由選項A知，，平面，平面，
平面；
若平面，則，平面，則平面平面，
平面平面，平面平面，則，
為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，故C錯誤．
故選：D．

二、多選題
8．（2023·高一單元測試）如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法正確的是（????）

A．MN與CC1垂直
B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行
D．MN與A1B1平行
【答案】ABC
【分析】根據(jù)線線垂直、線線平行等知識確定正確答案.
【詳解】由于是的中點，所以三點共線，則是的中點，
由于是的中點，所以，C選項正確.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，
由于平面，所以，所以，A選項正確.
由于，所以，B選項正確.
由于，與相交，所以與不平行，D選項錯誤.
故選：ABC

9.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，長方體被平面BCFE截成兩個幾何體，其中E，F(xiàn)分別在和上，且，則以下結(jié)論正確的是（????）

A． B．平面
C．幾何體為棱臺 D．幾何體為棱柱
【答案】ABD
【分析】A由長方體的性質(zhì)及線線平行的推論判斷；B根據(jù)線面平行的判定判斷；C、D根據(jù)棱臺、棱柱的定義判斷正誤.
【詳解】由及，得，則A正確；
由，平面，平面，得平面，則B正確；
以兩個平行的平面和為底面，其余四面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，符合棱柱的定義，則C錯誤（由于延長后不交于一點，則幾何體不為棱臺）；
以兩個平行的平面和為底面，其余三面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，符合棱柱的定義，則D正確，
故選：ABD
10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是（????）.

A．直線與是異面直線 B．平面
C．平面 D．
【答案】AB
【分析】由異面直線的定義可判斷A；由該幾何體是長方體可判斷B；取的中點為Q，連接，構(gòu)造平行四邊形即可判斷C；通過，且與不垂直即可判斷D．
【詳解】由與平面相交于點，且不在直線上，平面，
故與是異面直線，故A正確；
根據(jù)題意知為長方體，故平面，故B正確；
取的中點為Q，連接，且，故四邊形為平行四邊形，故，
又與平面相交于點A，故與平面不平行，即與平面不平行，故C錯誤；
因為，且與不垂直，所以與也不垂直，故D錯誤．
故選：AB．

11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，下列結(jié)論正確的是（????）

A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ACD
【分析】A選項，由得到線面平行；
B選項，由得到與不垂直，得到B錯誤；
C選項，由平面，平面，得到面面平行；
D選項，由線面垂直得到，結(jié)合得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直.
【詳解】因為平面平面，所以平面，故A正確；
與不垂直，則與不垂直，故平面不正確，故B錯誤；
因為平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，
所以平面平面，故C正確；
正方體中，有平面，
因為平面，
則，又，，平面，
可得平面，
因為平面，
從而平面平面，故D正確.
故選：.
三、填空題
12.（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，，，現(xiàn)將△CBD沿對角線BD翻折，使得平面ABD與平面CBD垂直，此時A、C兩點之間的距離為_____________
【答案】
【分析】根據(jù)題意過點作，垂足為，過點作，垂足為，連接，，利用面面垂直的性質(zhì)得到，利用勾股定理計算即可求解.
【詳解】如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，連接，，

因為在矩形ABCD中，，，
所以，
則中，由面積相等可得，
解得，則
同理，，所以，
在中，，
因為平面平面，且平面平面，又因為，
且平面，所以平面，因為平面，所以，
在中，，
故答案為：.
四、解答題
13．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得PA//平面DEF？并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析
(2)能；證明見解析

【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得答案；
（2）假設(shè)存在，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，可得線線平行，利用菱形性質(zhì)，可得三角形相似，進(jìn)而得到線段成比例，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．
（2）連接DE，EF，DF，設(shè)DE交AC于點H，連接HF
因為PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；
由于底面ABCD為菱形，為的中點，易證，所以，由PA//，可得，
所以存在點為棱上靠近的三等分點，可使PA//平面DEF.

14.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是中點，與相交于點.

(1)證明： 平面；
(2)若四邊形是正方形，，求證：平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）欲證明 平面 ，只需證明平行于平面 內(nèi)的一條直線即可；
（2）欲證明平面平面，只需證明其中的一個面經(jīng)過垂直于另一個面的直線即可.
【詳解】（1）易知分別為的中點，
是的中位線， ，
平面平面，
平面；
（2）底面 平面，
又平面，且，
平面，
又 平面，
四邊形是正方形，，
平面，
平面，
又平面平面平面.
15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.

(1)證明：AF平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，證明見解析
【分析】（1）取中點，證明四邊形為平行四邊形即可；
（2）設(shè)，取中點，先證明平面，即可證明點在線段靠近端的三等分點時符合題意.
【詳解】（1）證明：取中點，連接，在中，為的中點，
.
為的中點，，
即四邊形為平行四邊形，.
平面平面平面.

（2）設(shè)，取中點，連接，則在中，
分別是的中點，

平面平面，
平面.
與相似，且相似比為，

為的三等分點.
在點位置時滿足平面.
即點在線段靠近端的三等分點時符合題意.

16．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，，E為線段上一點．

(1)當(dāng)∥平面，求證：為的中點；
(2)在線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)存在，當(dāng)時，平面平面.
【分析】（1）由題意可知為的中點，由線面平行的性質(zhì)定理可得∥，即可得證；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得，只需滿足，即可得平面，從而有平面平面，故只需找出成立時，的長度即可.
【詳解】（1）證明：因為為正方形，，
所以為的中點，
又因為∥平面，平面平面，平面，
所以∥，
又因為為的中點，所以為的中點；
（2）存在，當(dāng)時，平面平面，理由如下：
設(shè)，

因為為正方形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，所以，
又因為在矩形中，，
當(dāng)時，在中，，
在中，，
所以，
又因為，
所以，則，
所以，
又因為，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面.