平面解析幾何-廣西南寧高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題知識(shí)點(diǎn)分類匯編

這是一份平面解析幾何-廣西南寧高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題知識(shí)點(diǎn)分類匯編，共31頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?平面解析幾何-廣西南寧高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題知識(shí)點(diǎn)分類匯編

一、單選題
1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且，若，則橢圓的方程為（????）
A． B．
C． D．
2．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上兩點(diǎn)在第一象限，且滿足，則直線的斜率為（????）
A． B． C．1 D．
3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)（其中位于第一象限），若，則（?????????）
A． B． C．-1 D．
4．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知圓，圓，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），使得，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（????）．
A． B．
C． D．
5．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若且，則橢圓E的離心率為（????）．
A． B． C． D．
6．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）過拋物線：的焦點(diǎn)作傾斜角為60°的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的值為（????）
A．3 B．2 C． D．1
7．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn).若雙曲線C上存在點(diǎn)P滿足且，則雙曲線C的漸近線方程是（????）
A． B． C． D．
8．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，M為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（????）
A．2 B． C． D．3
9．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，過點(diǎn)的直線l（不與x軸重合）與圓C相切，則直線l的方程為（????）
A． B． C． D．
10．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C的離心率，虛軸長為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．或
C． D．或
11．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則m的值為（????）
A．3或 B．1或
C．0或4 D．或0
12．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的方程為（????）
A． B．
C．或 D．或
13．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（????）
A． B． C． D．
14．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為圓的圓心，又經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則（????）
A．12 B．14 C．16 D．18

二、填空題
15．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
16．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知圓和直線，則與直線l平行且與圓C相切的直線方程為_______.
17．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，且，則的離心率為__________．
18．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為________．
19．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若直線平分圓的周長，則ab的最大值為 ________
20．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知是橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上兩點(diǎn)，滿足且 ___

21．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為___________．

三、解答題
22．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，且直線交y軸于M，直線變y軸于N.
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)證明：存在定點(diǎn)T，使得，且.
23．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為，圓，橢圓上是否存在兩點(diǎn)使得圓內(nèi)切于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
24．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，長為3的線段AB的兩端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與（1）中的軌跡E交于C，D兩點(diǎn)，是否存在定實(shí)數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
25．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過曲線上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求的面積的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
26．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)點(diǎn)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)經(jīng)過變換公式把曲線C變換到曲線，設(shè)點(diǎn)P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最小值.
27．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且不垂直于x軸的直線交C于兩點(diǎn)，分別過作平行于x軸的兩條直線，設(shè)分別與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)R是的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若與x軸交于點(diǎn)D（異于點(diǎn)R），求的取值范圍.
28．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．
（1）求直線l的方程；
（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分．
29．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，若原點(diǎn)在曲線C的內(nèi)部，則求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，又點(diǎn)P為此時(shí)曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.
30．（2021·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知經(jīng)過原點(diǎn)O的直線與離心率為的橢圓交于A，B兩點(diǎn)，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且面積的最大值為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Р的橢圓C的切線與交于點(diǎn)M.記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

參考答案：
1．A
【分析】結(jié)合橢圓雙曲線的定義及焦點(diǎn)三角形的相關(guān)知識(shí)可得.
【詳解】由題意知橢圓與雙曲線的共焦點(diǎn)，，
所以，
因?yàn)殡p曲線的離心率，
所以，，所以雙曲線的方程為.
如圖：

根據(jù)雙曲線的定義知
由余弦定理，
得，又因，
得，.
根據(jù)橢圓的定義知：，所以，
，所以橢圓的方程為.
故選：A.
2．A
【分析】設(shè)，由拋物線定義可知，然后由可得答案.
【詳解】設(shè).由題可知的斜率存在，設(shè)的斜率為．
因都在軸上方，由題意知，由拋物線定義
則，注意到，
所以.
故選：A．
3．A
【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，利用拋物線定義及得，利用三角形知識(shí)求出傾斜角，進(jìn)一步求出直線斜率即可
【詳解】由題意知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，
準(zhǔn)線方程為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過A作的垂線，垂足為M，
如圖，

設(shè)，因?yàn)椋裕?br /> 則，所以，
即直線的傾斜角等于，可得直線的斜率為.
故選：A.
4．D
【分析】由條件結(jié)合圓的切線性質(zhì)可得出，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出答案.
【詳解】由得．
因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，則，
則，即．
所以點(diǎn)P的軌跡方程為．
故選：D
5．C
【分析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，連接，，由橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，再由余弦定理可得出答案.
【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，連接，，

根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則．
因?yàn)?，可得?br /> 所以，則，．
由余弦定理可得，
即，即
故橢圓離心率，
故選：C．
6．A
【分析】首先，寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后，求解直線的方程，利用焦半徑公式求解比值．
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，
直線傾斜角為，
直線的方程為：．
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，、，，
，，
聯(lián)立方程組 ，消去并整理，得，
解得，，
，，
，
的值為3,
故選：
7．B
【分析】根據(jù)雙曲線的定義得出的關(guān)系，求得后可得漸近線方程．
【詳解】由得，又，
所以，，
又，則，，，，
漸近線方程為，即．
故選：B．
8．B
【分析】由結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及雙曲線的定義得出，，再由余弦定理得出，由得出，從而得出離心率.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，，
則，而，由得
，即，即或（舍），即．

故選：B
9．D
【分析】先求出圓心和半徑，然后設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)A，l與圓相切于點(diǎn)B，點(diǎn)，則可得，從而可求出直線l的傾斜角，再求出斜率，進(jìn)而可求出直線l的方程
【詳解】圓C可化為，∴圓心C坐標(biāo)是，半徑是．
設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)A，l與圓相切于點(diǎn)B，點(diǎn)，
則，故，
即直線l的斜率為，即l的方程為，即．
故選：D
10．D
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合求出，再按焦點(diǎn)位置即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長分別為a、b，半焦距為c，則，即，
于是得，而，解得，
所以，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線方程為.
故選：D
11．A
【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，
則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，
所以m的值為3或.
故選：A
12．C
【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)可知滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程.
【詳解】當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，方程為，與圓相切，滿足題意；
當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，
圓的圓心到的距離，解得：，
，即；
直線的方程為或.
故選：C.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的求解，解決此類問題采用待定系數(shù)法，利用圓心到直線距離等于半徑來進(jìn)行求解；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略切線斜率不存在的情況，造成丟根的情況出現(xiàn).
13．C
【分析】根據(jù)題意作出圖示，根據(jù)角度以及長度關(guān)系分別求解出，然后根據(jù)二倍角的正切公式求解出的關(guān)系式，則離心率可求.
【詳解】不妨設(shè)在第二象限，在第三象限，如下圖所示：

因?yàn)?，，所以?br /> 所以，，
又，所以，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以.
故選：C.
14．C
【分析】由已知求出，得出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長公式即可求出.
【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為，則，即，則拋物線方程為，
直線的傾斜角為60°，則斜率為，故直線的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線可得，
設(shè)，則，
則.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
15．
【分析】作出函數(shù)的圖形，求出過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程，以及函數(shù)的漸近線方程，結(jié)合兩角差的正切公式，數(shù)形結(jié)合可得出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，由可得，即，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程為
，設(shè)切點(diǎn)為，
所以，切線方程為，
將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，
即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
由，解得，所以，，
而函數(shù)的漸近線方程為，
設(shè)直線與的夾角為，設(shè)直線的傾斜角為，
則，
結(jié)合圖形可知，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于求出設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程以及函數(shù)的漸近線方程，再利用兩角差的正切公式以及數(shù)形結(jié)合思想求解.
16．或
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求直線方程，利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，
依題意，設(shè)所求直線的方程為：，由于該直線與圓C相切，
因此，解得或，
所以與直線l平行且與圓C相切的直線方程為或.
故答案為：或


17．
【分析】根據(jù)給定的條件，利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理計(jì)算作答.
【詳解】由正弦定理得，所以，
即，由雙曲線的定義可得，
所以；
因?yàn)?，由余弦定理可得?br /> 整理可得，
所以，即．
故答案為：.
18．/
【分析】數(shù)形結(jié)合可知，，且，利用中邊的關(guān)系即可求得離心率.
【詳解】如圖所示：

由題可知，，，則，
又，，
又，則，
作交于點(diǎn)，
可得，，則.
在中，，
即，得，
又，化簡可得，
，雙曲線的離心率為.
故答案為：.
19．
【分析】因?yàn)橹本€平分圓，則直線過圓心，再利用基本不等式求出ab的最大值.
【詳解】由題意得，直線過圓心，所以，
所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，取“=”），
又，所以ab的最大值為.
故答案為：.
20．/0.2
【分析】延長與橢圓交于點(diǎn),在中根據(jù)題意及橢圓對(duì)稱性，利用余弦定理求解即可.
【詳解】延長與橢圓交于點(diǎn),,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,

設(shè)，，
，且，
又，
又，，
在中，,,
,.
故答案為：
21．
【分析】由得為矩形，則，故，結(jié)合正弦函數(shù)即可求得范圍．
【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形．

所以，
又因?yàn)椋裕?br /> 得離心率．
因?yàn)?，所以，可得?br /> 從而．
故答案為：
22．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）先求出拋物線方程，然后和直線l聯(lián)立，得到關(guān)于斜率滿足的條件，從而求出斜率的取值范圍；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出和，最后求出定點(diǎn)T.
【詳解】（1）解法1：將代入拋物線得，.
依題意可設(shè)，，直線，
聯(lián)立直線l與拋物線得：，
則，
由得且，
又直線交y軸于M，直線交y軸于N，所以直線不能過及，
且，
綜上.
解法2：將代入拋物線得，.
依題意可設(shè)，，直線，
由得：，
則解得且
又直線交y軸于M，直線交y軸于N，所以直線不能過及，
且，
綜上.
（2）設(shè)點(diǎn)，，由，，，
則可設(shè)，，
，，
故
同理：，
，
直線，
令得，
同理，
，，

，
又，.
所以存在點(diǎn)滿足題意.
23．(1)
(2)直線存在，且直線的方程為.

【分析】（1）根據(jù)圓橢上的點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出a,b,c，即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線AB、AC與圓M相切，求出直線BC方程，再利用直線BC與圓M相切建立r的方程，求解即可.
【詳解】（1）由題意可知橢圓的右焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以
，所以，橢圓的方程為．
（2）由（1）可知橢圓的上頂點(diǎn)為，假設(shè)這樣的存在，且設(shè)，
則直線的斜率為，直線的方程為，
因?yàn)橹本€與圓相切，則，所以
兩邊平方化簡得，
整理得，
因?yàn)?，消去得?br /> 因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以，得，
整理得，即點(diǎn)在直線上，
同理點(diǎn)也在直線上，
因此直線的方程為，
若直線與圓相切，則，
解得（舍去）或.
因此直線存在，且直線的方程為，
即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．
24．(1)
(2)存在；

【分析】（1）設(shè)，由向量的數(shù)乘運(yùn)算，用表示出，由可得軌跡方程；
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，計(jì)算并代入，分析它是與無關(guān)的常數(shù)，由此得出值，再檢驗(yàn)這個(gè)值對(duì)斜率不存在的直線也適用，由此得結(jié)論．
（1）
設(shè)
由，得，即
而，即．所以，即．
（2）
假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．
由，消去y，得．
則．
所以，，
則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，若
則．
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得為定值為5．
25．(1)；
(2)．

【分析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系求出該圓和x軸和y軸均相切，得到M的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；
(2)設(shè)，則，.設(shè)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出在A、B處切線方程，代入可得切點(diǎn)弦AB方程，聯(lián)立AB方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式可求，求出O到AB距離d，用表示出，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出范圍即可．
(1)
依題意得，設(shè)，
由拋物線性質(zhì)，可得．
∵圓心是MF的中點(diǎn)，∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心縱坐標(biāo)為1，則MF⊥y軸，

圓半徑為1，且過(1，0)，據(jù)此可知該圓與x軸和y軸均相切，故圓心為(1，1)，則，
代入拋物線方程得，∴，
∴拋物線C的方程為；
(2)
在曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，．
∵y＝，∴，∴在點(diǎn)處的切線斜率為，
則在點(diǎn)處的拋物線的切線方程為．
又點(diǎn)在切線上，∴，同理可得，
則切點(diǎn)弦AB的方程為(*)，
聯(lián)立方程組，消y得，
由韋達(dá)定理得，，
由(*)知，則，
點(diǎn)O到AB：的距離為，
則，
∵在曲線上，則，，
故，，
令，則，
時(shí)，≤，
∴在恒成立，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，
∴的面積的取值范圍．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線斜率，寫出切線方程，根據(jù)切線方程求出切點(diǎn)弦AB的方程.在求三角形面積范圍時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求范圍即可．
26．(1)；
(2).

【分析】（1）把點(diǎn)M用極坐標(biāo)表示出，結(jié)合已知將用極角的三角函數(shù)表示，通過三角變換借助正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.
（2）求出曲線的參數(shù)方程及直線的普通方程，利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.
(1)
因點(diǎn)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有，并滿足，
于是得，
其中銳角由確定，而，則，
所以的取值范圍是：.
(2)
消去中的參數(shù)t得直線的普通方程：，
由，即得曲線的普通方程：，
經(jīng)過變換，即得曲線：，即，
因此，曲線的普通方程為：，其參數(shù)方程為，為參數(shù)，
則點(diǎn)到直線的距離，
其中銳角由確定，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)由得，即點(diǎn)，
所以點(diǎn)P到直線的距離的最小值是.
27．(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）設(shè)出直線的方程為，并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，通過證明來證得.
（2）由，結(jié)合（1）來求得的取值范圍.
(1)
設(shè)直線的方程為，，
則，
，
要證，只需證即可，
只需證，只需證.
聯(lián)立，消去并化簡得.
所以，
所以成立，所以.
(2)
延長交于點(diǎn)，
由（1）得，且，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).
所以，則，因此，
從而.
由（1）得，
，，
，即.
令，則，
，
因?yàn)?，?br /> 故的取值范圍是.

28．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；
（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，
聯(lián)立方程組可得，
設(shè)，則．
又因?yàn)?，得?br /> 故直線l的方程為：即為；
（2）由題意可設(shè)，
可設(shè)過P的直線為．
聯(lián)立方程組可得，顯然．
設(shè)，則．
所以

．
所以始終被x軸平分．
29．（1），；（2）
【分析】（1）將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)得出普通方程，將代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程，由可求出的范圍；
（2）利用弦長公式求出，求出點(diǎn)P到直線的最大距離，即可得出面積的最大值.
【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，
可得普通方程為，即，
將代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程為，
若原點(diǎn)在曲線C的內(nèi)部，則，解得；
（2）當(dāng)時(shí)，圓C的方程為，圓心為，半徑，
直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，
由得，
設(shè)，則，
，
要使面積最大，只需點(diǎn)P到直線的距離最大，
圓心到直線的距離，
則點(diǎn)P到直線的最大距離為，
所以面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查三角形面積的最值，解題的關(guān)鍵是清楚極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，知道三角形面積最大只需滿足點(diǎn)P到直線的距離最大.
30．（1）；（2）.
【分析】（1）由點(diǎn)A在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，得到，再根據(jù)橢圓的離心率為求解.
（2）設(shè)直線PM的方程為與聯(lián)立，根據(jù) PM是橢圓的切線，由，得到，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法求得，然后根據(jù)，由 求解.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，
所以，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，
所以，又，
解得，
所以橢圓的方程是.
（2）設(shè)直線PM：與聯(lián)立得：，
因?yàn)镻M是橢圓的切線，
所以，即，
由，得，
所以，則，
設(shè)，則①，
因?yàn)椋?br /> 所以②，
將①②代入，得，
因?yàn)橥?hào)，
所以，
因?yàn)镸在直線上，
所以，
所以 ，
所以,
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．