高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)6.2 平面向量的運(yùn)算鞏固練習(xí)

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新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)課本教材目錄第六章 平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念   6.2平面向量的運(yùn)算   6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示  6.4平面向量的應(yīng)用第七章 復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念       7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算   7.3復(fù)數(shù)的三角表示第八章 立體幾何初步8.1簡(jiǎn)單的立體圖形   8.2立體圖形的直觀圖  8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系      8.5空間直線、平面的平行     8.6空間直線、平面的垂直第九章 統(tǒng)計(jì)9.1隨機(jī)抽樣         9.2用樣本估計(jì)總體      9.3統(tǒng)計(jì)分析案例 公司員工的肥胖情況調(diào)查分析 6.2.2  平面向量的數(shù)量積(精練)【題組一 向量的數(shù)量積】1．(2020·天水市第一中學(xué)高一期末)已知等邊的邊長(zhǎng)為2，若，，則等于(    )A． B． C．2 D．【答案】D【解析】等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，，，∴，，∴，，．故選：D．2．(2020·陜西渭南市·高一期末)在中，為線段的中點(diǎn)，，，則(    )A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】在中，為線段的中點(diǎn)，可得，,.故選：B.3．(2020·湖南益陽(yáng)市·高一期末)在中，，，為的重心，則________．【答案】6【解析】如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的重心，，，所以 故答案為：64．(2020·黑龍江大慶市·大慶一中高一期末)如圖，在中，是的中點(diǎn)，，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值是________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，，因此，故答案為：.5．(2020·四川內(nèi)江市)在等腰中，斜邊，，，，那么_____.【答案】【解析】由題可知在等腰中，斜邊，，，即，，.故答案為：.6．(2020·北京101中學(xué)高一期末)如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，若，則的值是______.【答案】【解析】∵，，∴，，∴，故答案為：.7．(2020·陜西咸陽(yáng)市·高一期末)已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，.若，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】兩個(gè)單位向量，的夾角為，，又，，，解得．故答案為：1．8．(2020·長(zhǎng)沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)已知非零向量，滿足=，，.若⊥，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____________.【答案】【解析】非零向量，滿足=，，,⊥,,解得，故答案為：【題組二 向量的夾角】1．(2020·山東臨沂市·高一期末)已知非零向量，，若，且，則與的夾角為(     )A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以， .故選:B.2．(2020·鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末)已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實(shí)數(shù)_______________.【答案】或【解析】由，可得，則.由為單位向量，得，則，即，解得或.3．(2020·浙江溫州市·高一期末)已知平面向，滿足，且，與夾角余弦值的最小值等于_________.【答案】【解析】平面向,滿足,則因?yàn)?/span>展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,因?yàn)?/span>,代入化簡(jiǎn)可得設(shè)與的夾角為則由上式可得而代入上式化簡(jiǎn)可得令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,而所以由余弦函數(shù)的值域可得,即將不等式化簡(jiǎn)可得,解不等式可得 綜上可得,即而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為,則 當(dāng)分母越大時(shí),的值越小;當(dāng)的值越小時(shí),分母的值越大所以當(dāng)時(shí), 的值最小代入可得所以與夾角余弦值的最小值等于故答案為: 4．(2020·延安市第一中學(xué)高一月考)已知向量滿足.(1)求在上的投影；(2)求與夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，設(shè)和的夾角為，在上的投影為：；(2)設(shè)與夾角為，.5．(2020·北京順義區(qū)·高一期末)已知平面向量，，，，且與的夾角為．(1)求；(2)求；(3)若與垂直，求的值．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)；(2)，；(3)，，即，解得：.6．(2020·南昌市·江西師大附中高一月考)已知向量滿足，(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求向量與夾角的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)?/span>，，所以，則與同向.因?yàn)?/span>，所以，即，整理得，解得，所以當(dāng)時(shí)，.(2)設(shè)的夾角為，則，當(dāng)，即時(shí)，取最小值， 又，所以，即向量與夾角的最大值為.7．(2020·全國(guó)高一專題練習(xí))已知向量，且，與的夾角為.，.(1)求證：；(2)若，求的值；(3)若，求的值；(4)若與的夾角為，求的值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或.(3)(4)【解析】(1)證明：因?yàn)?/span>，與的夾角為，所以，所以.(2)由得，即.因?yàn)?/span>，，所以，，所以，即.所以或.(3)由知，即，即.因?yàn)?/span>，，所以，，所以.所以.(4)由前面解答知，，.而，所以.因?yàn)?/span>，由得，化簡(jiǎn)得，所以或.經(jīng)檢驗(yàn)知不成立，故.【題組三 向量的投影】1．(2021·江西上饒市)若向量與滿足，且，，則向量在方向上的投影為()A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】利用向量垂直的充要條件有：，∴，則向量在方向上的投影為,故選B.2．(2020·沈陽(yáng)市第一七〇中學(xué)高一期末)已知向量，，其中，，，則在方向上的投影為(    )A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)聯(lián)立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影為.故選：C.3．(2020·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中高一月考)已知向量，滿足，，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則，從而，因?yàn)?/span>，故，所以．故選：A．4．(2020·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高一期中)已知，，，則在上的投影是(    )A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，，，所以所以在上的投影故選：C5(2020·陜西渭南市·高一期末)已知，，，則向量在向量方向的投影(    )A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意，向量，，，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故選：A.6．(2020·四川綿陽(yáng)市·高一期末)在△ABC中，0，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，且||＝||，則向量在向量上的投影為(    )A． B．- C．﹣ D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，又點(diǎn)為中點(diǎn)，故可得，如下所示：故三角形為等邊三角形，故可得，不妨設(shè)，故可得，則向量在向量上的投影為.故選：.7．(2020·營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高一期末)已知向量滿足，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______.【答案】【解析】向量滿足，可得，，即為，，兩式相減可得，則向量在向量上的投影為．故答案為：．8．(2020·湖北武漢市·高一期末)設(shè)向量，滿足，，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為_(kāi)______.【答案】【解析】，，，，，向量在向量上的投影的數(shù)量為.故答案為：.9．(2021·河南鄭州市)已知平面向量滿足，則在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則有：，據(jù)此可得，在方向上的投影等于.10．(2020·四川高一期末)已知邊長(zhǎng)為2的等邊中，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)____．【答案】【解析】因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以向量與向量的夾角為，因?yàn)?/span>邊長(zhǎng)為2，所以向量在向量方向上的投影為，故答案為：.11．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知為一個(gè)單位向量，與的夾角是.若在上的投影向量為，則_____________.【答案】4【解析】為一個(gè)單位向量,與的夾角是由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量投影定義可得,∴.故答案為:412．(2020·福建省福州第一中學(xué)高一期末)已知非零向量、滿足，，在方向上的投影為，則_______.【答案】【解析】，在方向上的投影為，，，，可得，因此，.故答案為：.【題組四 向量的模長(zhǎng)】1．(2020·全國(guó)高一)已知平面向量，滿足，，若，的夾角為120°，則(    )A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意得，，故選：A.2．(2020·全國(guó)高一)若向量與的夾角為60°，且 則等于(    )A．37 B．13 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?/span>與的夾角為60°，且 所以所以，故選：C．3．(2020·全國(guó)高一開(kāi)學(xué)考試)已知向量，滿足，，，則(    )A．0 B．2 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?/span>,滿足,,則故選:D4．(2020·銀川市·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知向量、滿足：，，，則_________.【答案】.【解析】，，，因此，，故答案為.5．(2020·全國(guó)高一單元測(cè)試)若平面向量，滿足，，則__________，__________．【答案】-1    4    【解析】由，得，①由，得，②①-②得：，∴．故．故答案為：①-1；②4.6．(2020·全國(guó)高一)已知，，則的最大值為_(kāi)_____；若，，且，則______.【答案】14    10    【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為14，由兩邊平方可得：，所以，所以，即.故答案為：14；107．(2020·東北育才學(xué)校)已知向量，滿足，在上的投影(正射影的數(shù)量)為-2，則的最小值為         【答案】8【解析】因?yàn)?/span>在上的投影(正射影的數(shù)量)為，所以，即，而，所以，因?yàn)?/span>所以，即，故選D.9．(2020·四川廣元市·高一期末)設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為(    )A． B． C． D．1【答案】B【解析】對(duì)于，和的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖 ，，,，，，，，，，，化簡(jiǎn)得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.10．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知平面向量、滿足，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，則，設(shè)與的夾角為，則，，，，可得，，則，所以，，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.11．(2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開(kāi)中學(xué)高一期末)已知向量與向量的夾角為，且，.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)∵，∴，∴，∴.(2)∵，∴，整理得：，解得：或.12．(2020·北京朝陽(yáng)區(qū)·人大附中朝陽(yáng)學(xué)校高一月考)已知平面向量滿足:，|.(1)若，求的值；(2)設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)若，則，又因?yàn)?/span>，|，所以，所以；(2)若，則，又因?yàn)?/span>，，所以即，所以，解得或，所以.13．(2020·全國(guó)高一單元測(cè)試)已知向量，，，且．(1)求，；(2)求與的夾角及與的夾角．【答案】(1)，；(2)，．【解析】(1)因?yàn)橄蛄?/span>，，，且，所以，所以，又，所以；(2)記與的夾角為，與的夾角為，則，所以．，所以．【題組五 平面向量的綜合運(yùn)用】1．(2020·北京豐臺(tái)區(qū)·高一期末)，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】A．可能方向不同，故錯(cuò)誤；B．，兩向量夾角未知，故錯(cuò)誤；C．，所以，故錯(cuò)誤；D．由C知，故正確，故選：D.2．(2020·全國(guó)高一單元測(cè)試)若是非零向量，是單位向量，①，②，③，④，⑤，其中正確的有(    )A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②【答案】D【解析】∵，∴，①正確；為單位向量，故，②正確；表示與方向相同的單位向量，不一定與方向相同，故③錯(cuò)誤；與不一定共線，故不成立，故④錯(cuò)誤，若與垂直，則有，故⑤錯(cuò)誤．故選：D.3．(2021·重慶)設(shè)為向量，則“”是“” (  )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算， 若，即 = 所以 = 1，即所以若，則的夾角為0°或180°，所以“或即所以“”是“”的充分必要條件所以選C4．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若，，均為單位向量，且，，則的最大值是(    )A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】，，均為單位向量，且，，，設(shè)，，得：，，方程有解，，，的最大值為2．故選：A．5．(2020·甘肅蘭州市·蘭州一中高一期末)已知向量、、滿足，且，則、、中最小的值是(    )A． B． C． D．不能確定【答案】C【解析】由，可得，平方可得．同理可得、，，則、、中最小的值是．故選：．6．(2020·浙江湖州市·高一期末)已知空間向量，，和實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是(    )A．若，則或 B．若，則或C．若，則或 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)，若，則或或，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，得，即可得其模相等，但方向不確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，得，則或或，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，可得或，故正確，故選：.7．(多選)(2021·江蘇高一)若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是(    )A．B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯(cuò)，若，則與方向相反，∴，B對(duì)，若，則，即，不能推出，C錯(cuò)，若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯(cuò)，故選：ACD.8．(多選)(2020·山東臨沂市·高一期末)已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是(    )A．B．若且，則C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】對(duì)于A，由平面向量數(shù)量積定義可知，則，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)與都和垂直時(shí)，與的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，兩個(gè)非零向量，，若，可得，即，，則兩個(gè)向量的夾角為，則與共線且反向，故C正確；對(duì)于D，已知，且與的夾角為銳角，可得即可得，解得，當(dāng)與的夾角為0時(shí)，，所以所以與的夾角為銳角時(shí)且，故D錯(cuò)誤；故選:AC.9．(2020·浙江高一期末)已知，，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】，，，代入，原式，當(dāng)時(shí)，原式最小值為.故答案為：10．(2020·湖北高一開(kāi)學(xué)考試)在中，已知，，，則在方向上的投影為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以所以，即因?yàn)?/span>，所以即，即，所以解得或因?yàn)?/span>，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以所以在方向上的投影為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的幾何意義，屬于中檔題.11．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】        【解析】由題意，平面向量，其中，的夾角是，可得，則，所以，又由，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：；.12．(2020·天津市濱海新區(qū)大港太平村中學(xué)高一期末)在中，，，，是中點(diǎn)，在邊上，，，則________，的值為_(kāi)_______.【答案】        【解析】因?yàn)?/span>，，，所以，由題意，，所以，所以；由可得，解得.故答案為：；.13．(2020·湖北黃岡市·高一期末)已知向量與向量的夾角為，且，，.(1)求的值(2)記向量與向量的夾角為，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，所以.(2)因?yàn)?/span>所以所以.14．(2020·山東省五蓮縣第一中學(xué)高一月考)已知，，向量與向量夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍.【答案】【解析】∵，，與夾角為45°，∴，而，要使向量與的夾角是銳角，則，且向量與不共線，由得，得或.由向量與不共線得所以的取值范圍為：15．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在中，，記，且為正實(shí)數(shù))，(1)求證：；(2)將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù)；(3)求函數(shù)的最小值及此時(shí)角的大?。?/span>【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)2，.【解析】(1)在中，，可得，所以，所以.(2)由，可得，即，整理得，所以．(3)由(2)知，因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，即，此時(shí)，因?yàn)?/span>，可得，又因?yàn)?/span>，此時(shí)為等邊三角形，所以．16．(2020·全國(guó)高一單元測(cè)試)在如圖所示的平面圖形中，已知，，點(diǎn)A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)．(1)試用，表示；(2)若，，且，的夾角，試求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)連接AB，則，∵A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)，∴，則．(2)，將，代入，則．∵，∴，則，故．