初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊5.1.1 相交線教案及反思

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊5.1.1 相交線教案及反思，共23頁。教案主要包含了知識梳理，課堂精講，課堂練習(xí)，課后鞏固練習(xí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考點1 鄰補角與對頂角
1．鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．
要點詮釋：
(1)鄰補角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180°．
(2)鄰補角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角．
(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．
(4)鄰補角滿足的條件：①有公共頂點；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.
2. 對頂角及性質(zhì)：
（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角．
（2）性質(zhì)：對頂角相等．
要點詮釋：
(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產(chǎn)生對頂角．
(2)對頂角滿足的條件：
①相等的兩個角；
②有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.
3. 鄰補角與對頂角對比：
考點2 垂線
1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．

要點詮釋：
(1)記法：直線a與b垂直，記作：；
直線AB和CD垂直于點O，記作：AB⊥CD于點O.
(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：
CD⊥AB．
2．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．
要點詮釋：
(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．
(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段．
3．垂線的性質(zhì)：
（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．
要點詮釋：
（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．
（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．
4．點到直線的距離：
定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
要點詮釋：
點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；
（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．
考點3 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念
1. “三線八角”模型
如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八個角，簡稱為“三線八角”，如圖1.
圖1

要點詮釋：
⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交．
⑵“三線八角”中的每個角是由截線與一條被截線相交而成．
2. 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義
在“三線八角”中，如上圖1，
（1）同位角：像∠1與∠5，這兩個角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同位角.
（2）內(nèi)錯角：像∠3與∠5，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角.
（3）同旁內(nèi)角：像∠3和∠6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角.
要點詮釋：
(1)“三線八角”是指上面四個角中的一個角與下面四個角中的一個角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點的兩個角.
(2)“三線八角”中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角．
考點4 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征
要點詮釋：巧妙識別三線八角的兩種方法：
(1)巧記口訣來識別： 一看三線，二找截線，三查位置來分辨.
(2)借助方位來識別
根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時依方位來識別，如圖2．

二、課堂精講：
（一）對頂角和鄰補角的概念與性質(zhì)
例1．（1）下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的圖形的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

（2）已知∠1與∠2是鄰補角，∠2是∠3的鄰補角，那么∠1與∠3的關(guān)系是（ ）.
A、對頂角 B、相等但不是對頂角 C、鄰補角 D、互補但不是鄰補角
【隨堂演練一】【A類】
1、下列語句錯誤的有（ ）個.
（1）兩個角的兩邊分別在同一條直線上，這兩個角互為對頂角
（2）有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角
（3）如果兩個角相等，那么這兩個角互補
（4）如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角
A、1 B、2 C、3 D、4
2、如圖，直線AB、CD相交于點O，∠1＝∠2．則∠1的對頂角是_____，∠4的鄰補角是______．∠2的補角是_________．

【B類】
3、如圖所示，AB和CD相交于點O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，試說明OM和ON成一條直線。
4、如圖所示，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．
（二）垂線
例2．（1）下列語句：其中正確的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
①兩條直線相交，若其中一個交角是直角，那么這兩條直線垂直。
②一條直線的垂線有無數(shù)條。
③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
④兩條直線相交成四個角，如果有兩個角相等，那么這兩條直線垂直。
（2）點P為直線外一點：點A、B、C為直線上三點，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，則點P到直線的距離是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超過2 cm
【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時要把握其中的本質(zhì)要求：
①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；
②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過任意一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。
【隨堂演練二】【A類】
1、下列說法中正確的是（ ）
A．有且只有一條直線垂直于已知直線。
B．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離。
C．互相垂直的兩條直線一定相交。
D．直線c外一點A與直線c上各點連接而成的所有線段中，最短線段的長是3cm，則點A到直線c的距離是3cm。
2、點到直線的距離是指這點到這條直線的（ ）
A、垂線段 B、垂線的長 C、長度 D、垂線段的長
3、如圖，∠1=30°，AB⊥CD，垂足為O，EF經(jīng)過點O．求∠2、∠3的度數(shù)．

【B類】
4、如圖，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求證：ON平分∠BOC.
（三）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別
例3．如圖，
(1)DE為截線,∠E與哪個角是同位角?
(2)∠B與∠4是同旁內(nèi)角，則截出這兩個角的截線與被截線是哪些直線？
(3)∠B和∠E是同位角嗎?為什么?

【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪幾個；（2）將這幾個角抽出來，觀察分析它們的位置關(guān)系；（3）再取其它的線為截線，再抽取與該截線相關(guān)的角來分析.
【隨堂演練三】【A類】
1、下列圖形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【總結(jié)升華】要分析各對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把復(fù)雜圖形按題目要求分解成簡單的圖形后，結(jié)論便一目了然.
【B類】
2、如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？
3、分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.
三．小結(jié)：
1、對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；
2、如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角
3、如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。
4、兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。
5、兩直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，那么就稱這兩條直線相互垂直；垂線的性質(zhì)：⑴過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。⑵連接直線外一點與直線上各點的所在線段中，垂線段最短。
6、在復(fù)雜圖形中，分析同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，應(yīng)把圖形分解成幾個“兩條直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點處的角來分析．
四、課堂練習(xí)
1、已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度數(shù).
2、如圖，107國道上有一個出口M，想在附近公路旁建一個加油站，欲使通道最短，應(yīng)沿怎樣的線路施工？
3、直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，∠COE＝40°，求∠BOD的度數(shù)
4、如圖所示，O是直線AB上一點，射線OC、OD在AB的兩側(cè)，且∠AOC＝∠BOD，試證明∠AOC與∠BOD是對頂角．
五、課后鞏固練習(xí)
【A類】
一、選擇題
1． a、b、c是平面上任意三條直線，交點可以有（ ）
A．1個或2個或3個B．0個或1個或2個或3個
C．1個或2個D．都不對
2．下列說法正確的有 ( )
①因為∠1與∠2是對頂角，所以∠1＝∠2；
②因為∠1與∠2是鄰補角，所以∠1＝∠2；
③因為∠1和∠2不是對頂角，所以∠1≠∠2；
④因為∠1和∠2不是鄰補角，所以∠1+∠2≠180°．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3．如圖，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT等于（ ）
A．42° B．64° C．48° D．24°
4．已知關(guān)于距離的四種說法： ①連結(jié)兩點的線段長度叫做兩點間的距離；
②連結(jié)直線外的點和直線上的點的線段叫做點到直線的距離；
③以直線外一點所引的這條直線的垂線叫做點到直線的距離；
④直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離．
其中正確命題的個數(shù) （ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D． 3個
5. 已知圖（1）—（4）：





在上述四個圖中，∠1與∠2是同位角的有（ ）.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）
6.如圖，下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．∠5與∠2是對頂角； B．∠1與∠3是同位角；
C．∠2與∠3是同旁內(nèi)角；D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角.
7.在圖中，∠1與∠2不是同旁內(nèi)角的是 （ ）.

【B類】
1．如圖，直線AD、BC被直線AC所截，則∠1和∠2是( ).
A．內(nèi)錯角 B．同位角 C．同旁內(nèi)角 D．對頂角
2．如圖，能與構(gòu)成同位角的有( ).
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

3．如圖，下列說法錯誤的是( ).
①∠1和∠3是同位角； ②∠1和∠5是同位角；
③∠1和∠2是同旁內(nèi)角； ④∠1和∠4是內(nèi)錯角.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4.如圖，∠1和∠2是內(nèi)錯角，可看成是由直線( )．
A.AD，BC被AC所截構(gòu)成 B.AB，CD被AC所截構(gòu)成
C.AB，CD被AD所截構(gòu)成 D.AB，CD被BC所截構(gòu)成
5.如圖所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE為∠BOD的平分線，∠BOE=17°．求∠AOC的度數(shù)．
【C類】
1、如圖，

(1)∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角；
(2)∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角；
(3)∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角；
(4)∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線 所截得的________角；
(5)∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線 所截得的________角．
2.如圖，已知A、O、B三點在一直線上，∠AOC＝120°，OD、OE分別是∠AOC，
∠BOC的平分線．
(1)判斷OD與OE的位置關(guān)系；
(2)當(dāng)∠AOC大小發(fā)生變化時，OD、OE仍分別是∠AOC、∠BOC的平分線，則OD與OE的位置關(guān)系是否改變? 請說明理由．
第一講 相交線【答案】
例1.（1）B
（2）A
【隨堂演練一】
1、C
2、∠3；∠1或∠3；∠EOB或∠4
3、解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分線定義）。
∵∠AOC=∠BOD（對頂角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代換）。
∵∠AON+∠BON=180°（鄰補角定義），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代換），
∴ OM和ON共線。
4、解：設(shè)∠1＝x，則∠2＝4x．
∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
例2．（1）①②
（2）D
【隨堂演練二】
1、D
2、D
3、解：由題意得：
∠3=∠1=30°（對頂角相等）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠BOD=90°（垂直的定義）
∴∠3+∠2=90°
即30°+∠2=90°
∴∠2=60°
4、解：如圖，
∵OM平分∠AOB
∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON
∴∠3=90°－∠2
由圖可得：∠4=180°－2∠2－∠3
=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
例3．解：（1）DE為截線,∠E與∠3是同位角；
（2）截出這兩個角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；
（3）不是,因為∠B與∠E的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以∠B和∠E不是同位角.
【隨堂演練三】
1、C
2、解：同位角：∠5與∠1，∠4與∠3；
內(nèi)錯角：∠2與∠3，∠4與∠1；
同旁內(nèi)角：∠4與∠2，∠5與∠3，∠5與∠4.
3、解： 同位角：∠B與∠ACD，∠B與∠ECD；
內(nèi)錯角：∠A與∠ACD，∠A與∠ACE；
同旁內(nèi)角：∠B與∠ACB，∠A與∠B，∠A與∠ACB，∠B與∠BCE．
四、課堂練習(xí)
1、【答案與解析】
解：∵a⊥b,
∴∠2＝∠1＝90°.
又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,
又∠3與∠4互為鄰補角，
所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.
所以∠4＝135°.
2、【答案與解析】
解：如圖，過點M作MN⊥，垂足為N，欲使通道最短，應(yīng)沿線路MN施工.
3、【答案與解析】
解：分兩種情況.
第一種：如圖1，直線AB，CD相交后，∠BOD是銳角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.
∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°
第二種：如圖2，直線AB、CD相交后，∠BOD是鈍角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.
∵∠COE＝40°,
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°.
4、【答案】
證明：因為∠AOC+∠COB＝180°(平角定義)，
又因為∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D三點在一條直線上(平角定義)，
即直線AB、CD相交于點O，
所以∠AOC與∠BOD是對頂角(對頂角定義)．
提示：證三點共線的方法，通常采用證這三點組成的角為平角，即∠COD＝180°
五、課后鞏固練習(xí)
【A類】
1.B
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
【B類】
1.A
2.B
3.C
4.B
5.
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵OE為∠BOD的平分線，∠BOE=17°，
∴∠BOD=2∠BOE=34°，
∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣34°=146°．
【C類】
1. (1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 內(nèi)錯； (3)AB, AC, BC, 同旁內(nèi);
(4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁內(nèi)．
2. 解：(1)OD⊥OE．
(2)不變，理由如下：
∵ OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，
∴ ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．
∴ ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴ OD⊥OE．
課程目標(biāo)
1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；
2.理解點到直線的距離的概念，掌握垂直的定義及性質(zhì)；
3.了解“三線八角”模型特征；掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識別它們．
課程重點
能依據(jù)對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質(zhì)，進行簡單的計算.
課程難點
同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識別它們．
角的名稱
特 征
性 質(zhì)
相 同 點
不 同 點
對頂角
①兩條直線相交形成的角
②有一個公共頂點；
③沒有公共邊.
對頂角相等.
①都是兩條直線相交而成的角；
②都有一個公共頂點；
③都是成對出現(xiàn)的.
①有無公共邊；
②兩直線相交時，對頂角只有2對；鄰補角有4對.
鄰補角
①兩條直線相交而成；
②有一個公共頂點；
③有一條公共邊.
鄰補角互補.