高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第一冊4.2 一元二次不等式及其解法學案設計

這是一份高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第一冊4.2 一元二次不等式及其解法學案設計，共15頁。
第2課時　一元二次不等式及其解法　一元二次不等式的應用　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　課前篇·自主梳理知識【主題1】　一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念一般地，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式的一般表達式是：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均為常數(shù)，且a≠0.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集．思考　(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式嗎？(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎？解：(1)不是，一元二次不等式一定為整式不等式．(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．2．一元二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解的對應關系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根(x1＝x2)無實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2，或x<x1}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??　　思考　仔細觀察上表，回答下列問題：(1)有人說：當Δ>0時，表中的x1，x2有三重身份，你能說出是哪三重身份嗎？(2)當Δ＝0時，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)與ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分別是什么？解：(1)x1，x2是一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，又是一元二次方程的兩個解，還是一元二次不等式解集的區(qū)間端點．(2)R，{x|x＝x1}．3．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解思路如圖：對于a<0時的一元二次不等式，可以直接類比a>0時的求解思路；也可以先把它化成二次項系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．【主題2】　一元二次不等式的應用利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實際意義確定答案．[自我檢測]1．思維辨析(對的打“√”，錯的打“”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集為R.(　　)(3)設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩解為x1，x2(x1<x2)，則一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集不可能為{x|x1<x<x2}．(　　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集為空集，則方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根．(　　)答案：(1)　解析：當m＝0時，是一元一次不等式；當m≠0時，是一元二次不等式．(2)　解析：若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)沒有實根．則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?.(3)　解析：當二次項系數(shù)小于0時，不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x1<x<x2}．(4)√　解析：當Δ<0時，一元二次不等式的解集為空集，此時方程無實根．2．不等式2x≤x2＋1的解集為(　　)A．?        B．RC．{x|x≠1}     D．{x|x>1或x<－1}答案：B3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集為________．答案：{x4．有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的純農(nóng)藥也不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________．答案：課堂篇·重難要點突破研習1  解簡單的一元二次不等式[典例1]　解下列不等式．(1)3x2－5x－2<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2－12x＋9>0；(4)－x2＋6x－10>0.解：(1)方程3x2－5x－2＝0中，Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，因此有兩個不相等的實數(shù)根，解得x1＝－，x2＝2，作出函數(shù)y＝3x2－5x－2的圖象，如圖1，結(jié)合圖象可得原不等式的解集為{x.(2)方程3x2－6x＋2＝0中，Δ＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，解得x1＝，x2＝，作出函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖象，如圖2，結(jié)合圖象可得原不等式的解集為{x.(3)方程4x2－12x＋9＝0中，因為Δ＝0，所以方程4x2－12x＋9＝0有兩個相等的實數(shù)根，解得x1＝x2＝，作出函數(shù)y＝4x2－12x＋9的圖象，如圖3，結(jié)合圖象可得原不等式的解集為{x.(4)原不等式可化為x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因為Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0無實數(shù)根，所以原不等式的解集為?.圖1　　　　　　圖2　　　　　　圖3[解題探究]　本例考查解一元二次不等式，同時考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng)．[延伸探究]　若把本例(2)改為“0≤x2－x－2≤4”，該如何求解？解：原不等式可以化為 由①得x≥2，或x≤－1.由②，得－2≤x≤3.所以不等式組的解集為{x|－2≤x≤－1，或2≤x≤3}．解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)對不等式變形，使一端為零，且二次項系數(shù)大于零．(2)計算相應的判別式．(3)當Δ>0時，求出相應的一元二次方程的兩根．(4)根據(jù)一元二次不等式解集的結(jié)構(gòu)，寫出其解集．[練習1](1)(2019·天津卷)設x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范圍為________．(2)解不等式：①2x2－3x－2<0；②x2－2x＋2>0.(1)答案：(2)解：①方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.因為函數(shù)y＝2x2－3x－2是開口向上的拋物線，如下圖，所以不等式的解集是{x.②因為x2－2x＋2＝0的判別式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0無解．又因為函數(shù)y＝x2－2x＋2是開口向上的拋物線，如下圖，所以原不等式的解集為R.研習2  　三個“二次”之間的關系[典例2]　若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－3，或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．解：因為不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－3，或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關系可得，即所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化為－ax2＋2ax＋15≥0，即x2－2x－15a≥0，解得x≤－3，或x≥5，故所求不等式的解集為{x|x≤－3，或x≥5}．給出了一元二次不等式的解集，則可知a的符號和ax2＋bx＋c＝0的兩實根，由根與系數(shù)的關系可知a，b，c之間的關系．(1)如果不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|d<x<e}，則說明a<0，且x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，de＝；若解集為{x|x<d，或x>e}，則說明a>0，且x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，de＝.(2)如果不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|d<x<e}，則說明a>0，且x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，de＝；若解集為{x|x<d，或x>e}，則說明a<0，x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，de＝.[練習2](1)一元二次不等式解集與一元二次方程之間有何關系？(2)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－3，或x≥4}與不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|－3≤x≤4}中，引起解集不同的原因是什么？(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．(1)解：一元二次不等式解集的兩個端點值是一元二次方程的兩個根．(2)解：a值的正負不同．(3)解：由ax2＋bx＋c≥0的解集是{x知a<0，又×2＝<0，則c>0.又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，所以－＝.所以＝－.又＝－，所以b＝－a，c＝－a.所以不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)?/span>x2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0.又因為a<0，所以2x2＋5x－3<0.所求不等式的解集為{x.研習3 　解含參數(shù)的一元二次不等式角度1　對“Δ”進行討論[典例3]　解關于x的不等式x2－2ax＋2≤0.解：由題意知，Δ＝4a2－8，當Δ<0，即－<a<時，原不等式對應的方程無實根．又二次函數(shù)y＝x2－2ax＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為?.當Δ＝0，即a＝±時，原不等式對應的方程有兩個相等實根．當a＝時，原不等式的解集為{x|x＝}；當a＝－時，原不等式的解集為{x|x＝－}．當Δ>0，即a>，或a<－時，原不等式對應的方程有兩個不等實根，分別為x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集為{x|a－≤x≤a＋}．綜上所述，當－<a<時，原不等式的解集為?；當a＝時，原不等式的解集為{x|x＝}；當a＝－時，原不等式的解集為{x|x＝－}；當a>，或a<－時，原不等式的解集為{x|a－≤x≤a＋}．角度2　 對“解的大小”進行討論[典例4]　解關于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x－2a)(x＋a)<0.對應的一元二次方程的根為x1＝2a，x2＝－a.①當a>0時，x1>x2，不等式的解集為{x|－a<x<2a}；②當a＝0時，原不等式化為x2<0，無解；③當a<0時，x1<x2，不等式的解集為{x|2a<x<－a}．綜上，當a>0時，原不等式的解集為{x|－a<x<2a}；當a＝0時，原不等式的解集為?；當a<0時，原不等式的解集為{x|2a<x<－a}．角度3　對“二次項系數(shù)”進行討論[典例5]　解關于x的不等式a(x2＋1)≥2x.解：原不等式可化為ax2－2x＋a≥0.(1)當a＝0時，不等式化為－2x≥0，解得x≤0.(2)當a>0時，Δ＝4－4a2＝4(1－a2)．①當0<a<1時，Δ>0，此時方程ax2－2x＋a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，x1＝，x2＝，所以此時x≤，或x≥.②當a＝1時，不等式化為x2－2x＋1≥0，此時x∈R.③當a>1時，Δ<0，也有x∈R.(3)當a<0時，Δ＝4－4a2＝4(1－a2)．①當－1<a<0時，Δ>0，此時方程ax2－2x＋a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，x1＝，x2＝，所以此時≤x≤.②當a＝－1時，不等式化為－x2－2x－1≥0解得x＝－1.③當a<－1時，Δ<0，此時x∈?.綜上可知，當a<－1時，不等式的解集為?.當a＝－1時，不等式的解集為{x|x＝－1}．當－1<a<0時，不等式的解集為{x.當a＝0時，不等式的解集為{x|x≤0}．當0<a<1時，不等式的解集為{x.當a≥1時，不等式的解集為R.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟[練習3](1)解含參數(shù)的一元二次不等式的關鍵是什么？(2)解關于x的不等式ax2－x>0.(1)解：結(jié)合二次項系數(shù)和Δ值求解不等式的解集．(2)解：當a＝0時不等式為－x>0，所以x<0.當a≠0時，方程ax2－x＝0的兩根為0與.①當a>0時，>0，所以x>，或x<0；②當a<0時，<0，所以<x<0.綜上，當a>0，不等式的解集為{x；當a＝0時，不等式的解集為{x|x<0}；當a<0時，不等式的解集為{x.研習4  不等式的恒成立問題角度1　在R上恒成立問題[典例6]　若對于一切實數(shù)x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范圍．[解題探究]　本例主要考查不等式的恒成立問題，突出考查了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．解：要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0，滿足題意；若m≠0，?－4<m<0.所以m的取值范圍是{m|－4<m≤0}．[延伸探究]　本例若把不等式改為“mx2－mx＋1>0”，則m的取值范圍為________．答案：{m|0≤m<4}角度2　在給定區(qū)間上的恒成立問題[典例7]　若x∈{x|1<x<2}時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范圍．解：設y＝x2＋mx＋4，圖象開口向上，因為當x∈{x|1<x<2}時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以需滿足x＝1與x＝2時的函數(shù)值同時小于或等于0，即解得m≤－5.一元二次不等式恒成立問題的常見類型及解法1．在R上恒成立問題．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?2．在給定區(qū)間上的恒成立問題．(1)a>0時，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時小于0.(2)a<0時，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時大于0.[練習4]已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若對于任意的實數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍．解：當m＝0時，－2x－2<0，顯然對任意x不能恒成立；當m≠0時，由二次函數(shù)的圖象可知有解得m<1－，故m的取值范圍是{m|m<1－}．研習5 　一元二次不等式的實際應用[典例8]　某農(nóng)貿(mào)公司按每擔200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預測收購量可增加2x個百分點．(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．解：(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔，收購總金額為200a(1＋2x%)元．依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原計劃稅收為200a·10%＝20a(萬元)．依題意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%.化簡得，x2＋40x－84≤0，所以－42≤x≤2.又因為0<x<10，所以0<x≤2.所以x的取值范圍是{x|0<x≤2}．  解不等式應用題的四步驟(1)審：認真審題，把握問題中的關鍵量，確定不等關系．(2)設：引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實際問題．特別提醒：確定答案時應注意變量具有的“實際含義”．[練習5](1)解決實際應用問題的一般步驟是什么？(2)某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中注水60噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時內(nèi)供水總量為120噸(0≤t≤24)．①從供水開始到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？②若蓄水池中水量少于80噸時，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問：在一天的24小時內(nèi)，有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象？(1)解：審題，建模，解模，檢驗作答．(2)解：①設t小時后蓄水池中的水量為y噸，則y＝400＋60t－120(0≤t≤24)．令x＝ ，則t＝，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)，所以當x＝6，即t＝6時，ymin＝40，即從供水開始到第6小時時，蓄水池水量最少，只有40噸．②由已知400＋10x2－120x<80，化簡得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<<8，<t<，而－＝8，所以每天約有8小時供水緊張．課后篇·演練提升方案1．不等式3x2－2x＋1>0的解集為(　　)A．{x        B．{xC．?        D．R答案：D2．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是{x，則a的值為(　　)A．－        B．2 C．－2    D．答案：C3．已知0<a<1，關于x的不等式(x－a)>0的解集為(　　)A．{x        B．{x|x>a}C．{x        D．{x答案：A4．若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是(　　)A．100臺        B．120臺 C．150臺        D．180臺答案：C5．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則(　　)A．－1<a<1        B．0<a<2C．－<a<        D．－<a<答案：C6．某小學為了美化校園，準備在一塊長32米，寬20米的長方形場地上修筑兩條寬度相同的道路，余下部分作草坪．現(xiàn)在有一位學生設計了如圖所示的方案，則圖中道路的寬最大為________米時，可使草坪的面積不小于540平方米．答案：2