初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊9.4 矩形、菱形、正方形達(dá)標(biāo)測試

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊9.4 矩形、菱形、正方形達(dá)標(biāo)測試，共35頁。試卷主要包含了2D．2等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?9.6矩形的判定
班級：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事項：
本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┮阎倪呅蜛BCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（????）
A．當(dāng)AB＝AD時，它是菱形 B．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形
C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
2．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（????）

A．當(dāng)AB=BC時，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
C．當(dāng)AC=BD時，它是矩形 D．當(dāng)∠ABC=90°時，它是正方形
3．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（????）
A．當(dāng)∠ABC=90°時，它是矩形 B．當(dāng)AB=BC時，它是菱形
C．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形 D．當(dāng)AC=BD時，它是正方形
4．（2021秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）小剛和小東在做一道習(xí)題，若四邊形ABCD是平行四邊形，請補(bǔ)充條件，使得四邊形ABCD是矩形．小剛補(bǔ)充的條件是：∠A=∠B；小東補(bǔ)充的條件是：∠A+∠C=180°．你認(rèn)為下列說法正確的是（????）
A．小剛和小東都正確 B．僅小剛正確 C．僅小東正確 D．小剛和小東都錯誤
5．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分線，EF⊥AE，則AF的長為（????）

A．32 B．4 C．25 D．10
6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，則△ADE的面積為（???）

A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)AP、EF．以下結(jié)論中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值為2．其中正確的是（????）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點(P不與B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值是(???)

A．2 B．3 C．1.2 D．2
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上
9．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）要使?ABCD是矩形，你添加的條件是 ___________．（寫出一種即可）
10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，若所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是_______．（只需寫出一個符合要求的條件）

11．（2021秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列說法：①如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中正確的有______個

12．（2018秋·江蘇南通·八年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，則∠OED=________°．

13．（2016秋·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形E FGH為矩形，∠ADC＋∠BCD應(yīng)為_____________度．

14．（2021秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當(dāng)θ＝_____°時，GC＝GB．

15．（2022秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是邊AB上的一動點，連接DE，點A與點P關(guān)于DE對稱，連接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，則BP的最小值為________．

16．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小紅以4m/s的速度沿路線B→A→G→E行走到E處，小明以小紅速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F處．若小紅行走的路程為310m，則小明行走的時間為______s．

三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2022秋·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且∠ABC=90°， ???，BE∥AC，CE∥DB，求證：四邊形OBEC是菱形．從以下三個選項中選兩個作為已知條件：①AD∥BC，??②AB=CD，??③AD=BC，并完成證明．
你選擇的條件是

18．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AF與DE相交于點G，BF與CE相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）若四邊形EHFG是矩形，則平行四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是____________．（直接寫出答案．不需要證明）
19．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠C與∠BED滿足條件 時，四邊形ABDF是矩形．

20．（2022秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AB和CD的中點．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC、BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形AMCN是矩形，請說明理由．

21．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，AB∥CD．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長．
(3)若∠AOB＝2∠ADB時，則平行四邊形ABCD為 形．
22．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．
23．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】
學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進(jìn)行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進(jìn)行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．
【深入探究】
第一種情況：如圖①，當(dāng)∠A＝∠C＝90°時，求證：四邊形ABCD是矩形．
第二種情況：如圖②，當(dāng)∠A＝∠C＞90°時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
第三種情況：如圖③，當(dāng)∠A＝∠C＜90°時，小明同學(xué)研究后認(rèn)為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請在圖中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．

24．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．

(1)試用含t的式子表示AE、AD的長；
(2)如圖，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；
(3)連接DE，當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？




答案與解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┮阎倪呅蜛BCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（????）
A．當(dāng)AB＝AD時，它是菱形 B．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形
C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形、矩形和正方形的判定逐項判斷即可得.
【詳解】解：A.由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得：當(dāng)AB=AD時，它是菱形，則此項正確，不符合題意；
B.由對角線相等的平行四邊形是矩形得：當(dāng)AC=BD時，它是矩形，不一定是正方形，則此項不正確，符合題意；
C.由有一個角是直角的平行四邊形是矩形得：當(dāng)∠ABC=90°時，它是矩形，則此項正確，不符合題意；
D.由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得：當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形，則此項正確，不符合題意.
故選：B.
【點睛】本題考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.
2．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（????）

A．當(dāng)AB=BC時，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
C．當(dāng)AC=BD時，它是矩形 D．當(dāng)∠ABC=90°時，它是正方形
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．
【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應(yīng)用，能正確運用判定定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，難度適中．
3．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（????）
A．當(dāng)∠ABC=90°時，它是矩形 B．當(dāng)AB=BC時，它是菱形
C．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形 D．當(dāng)AC=BD時，它是正方形
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．
【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應(yīng)用，能正確運用判定定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．
4．（2021秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）小剛和小東在做一道習(xí)題，若四邊形ABCD是平行四邊形，請補(bǔ)充條件，使得四邊形ABCD是矩形．小剛補(bǔ)充的條件是：∠A=∠B；小東補(bǔ)充的條件是：∠A+∠C=180°．你認(rèn)為下列說法正確的是（????）
A．小剛和小東都正確 B．僅小剛正確 C．僅小東正確 D．小剛和小東都錯誤
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的判定定理，逐項證明即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．故小剛正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，故小東正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的判定定理，解題關(guān)鍵是熟記矩形的判定定理，準(zhǔn)確進(jìn)行推理證明．
5．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分線，EF⊥AE，則AF的長為（????）

A．32 B．4 C．25 D．10
【答案】D
【分析】由已知可得△ABE是等腰直角三角形，求得DF＝1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3,∠B=∠BAD=90°，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AB=2，
∴CE=1．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠EFC=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴CF=CE=1，
∴DF=1，
∴AF=DF2+AD2=10．
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC ，CD⊥DE ，CD=ED,AD=4,BC=6，則△ADE的面積為（???）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】過點D作DG⊥BC 于G，過點E作EF⊥AD ，交AD 的延長線于點F，先證明△EDF≌△CDG（AAS），從而得EF=CG，再證明四邊形ABGD為矩形，然后利用EF=CG=BC-BG=BC-AD，求得EF的值，最后利用三角形面積公式計算即可得出答案．
【詳解】過點D作DG⊥BC 于G，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于點F

又∵CD⊥DE
∴∠EDF+∠FDC=90°,∠GDC+∠FDC=90°
∴∠EDF＝∠GDC
∴在△EDF和△CDG中
∠F＝∠GDC∠EDF＝∠GDCED＝CD ，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG，
∵AD∥BC,AB⊥BC,DG⊥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DGB=90° ，
∴四邊形ABGD為矩形，
∴BG=AD=4，
又∵BC=6，
∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=6-4=2，
△ADE的面積為：12AD×EF=12×4×2=4；
故選C．
【點睛】此題考查全等三角形判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的面積計算，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.
7．（2022秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)AP、EF．以下結(jié)論中：① AP＝EF；②AP⊥EF；③ EF的最小值為2．其中正確的是（????）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】①連接PC，證明△ADP≌△CDP，則AP＝PC，證明四邊形PECF是矩形，根據(jù)矩形對角線相等得PC＝EF，即可判斷；②證明△AMP≌△FPE（HL），得到∠BAP＝∠PFE，進(jìn)而求解；③當(dāng)AP⊥BD時，即AP=12BD＝22時，EF的最小值等于22，即可判斷．
【詳解】解：①連接PC，EF，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四邊形PECF為矩形，
∴PC＝EF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正確；
②延長FP與AB交于點M，延長AP與EF交于點H，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵PF⊥CD，
∴PM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠MAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠MAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴∠PHF＝180°-（∠PFH+∠HPF）＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正確；
③由EF＝PC＝AP，
∴當(dāng)AP最小時，EF最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB2+AD2=42，△ABD是等腰直角三角形，
則當(dāng)AP⊥BD時，AP最小，
∴AP=12BD＝22時，EF的最小值等于22；
故③不正確；
綜上，①②正確．
故選：A．
【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點(P不與B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值是(???)

A．2 B．3 C．1.2 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，AM=12EF，利用三個直角的四邊形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，當(dāng)AP最小時，AM有最小值，根據(jù)垂線段最短，計算AP的長即可．
【詳解】解：如圖所示，連接AP，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=32+42=5，
∴BC邊上的高h(yuǎn)=125（三角形面積法），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M為EF的中點，
∴AM=12EF，
∴AM=12AP，
∴當(dāng)AP最小時，AM有最小值，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AP為BC上的高時即AP=h時最短，
∴AP的最小值為125，
∴AM的最小值為65，
故選C．

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上
9．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）要使?ABCD是矩形，你添加的條件是 ___________．（寫出一種即可）
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【分析】添加的條件是AC=BD，根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，即可推出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：AC=BD．（答案不唯一）
【點睛】本題主要考查對矩形的判定的理解和掌握，能靈活運用矩形的判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．此題是一個開放性題目，答案不唯一．
10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，若所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是_______．（只需寫出一個符合要求的條件）

【答案】AC⊥BD
【分析】根據(jù)平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出∠E=90°即可．
【詳解】解：添加的條件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形，
故答案為：AC⊥BD．
【點睛】本題主要考查對矩形的判定，平行四邊形的判定，平行公理及推論等知識點的理解和掌握，能求出平行四邊形EFGH和∠E=90°是解此題的關(guān)鍵．
11．（2021秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列說法：①如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中正確的有______個

【答案】2
【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出AD平分∠BAC，再根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定推出即可．
【詳解】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四邊形AEDF是矩形，故①正確；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴四邊形AEDF是菱形，故②正確；
③∵AD⊥BC，AC=AB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AF=DF，
∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴四邊形AEDF是菱形，四邊形AEDF不一定是正方形，故③錯誤；
即正確的個數(shù)是2個，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知識點，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
12．（2018秋·江蘇南通·八年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， 且∠EDO=15°，則∠OED=________°．

【答案】30
【詳解】在矩形ABCD中,∠ADC=90°,DE平分∠ADC,則∠ADE=∠CDE=45°,
又∠EDO=15°,則∠ADO=∠ADE+∠EDO=60°,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相等且互相平分,AO=DO,又∠ADO=60°,得△ADO是等邊三角形,AO=DO=AD,
∠AOD=∠DAO=∠ADO=60°,又∠DAE=90°,∠ADE=45°,△ADE是等腰直角三角形,AD=AE,∠AED=∠ADE=45°,∴AO=AD=AE,△EAO是等腰三角形,∠AOE=∠AEO,
又∠EAO=90°-∠DAO=30°,得∠AEO=（180°-∠EAO）/2=75°,
∠OED=∠AEO-∠AED=75°-45°=30°,故答案為:30.
13．（2016秋·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形E FGH為矩形，∠ADC＋∠BCD應(yīng)為_____________度．

【答案】90
【詳解】試題分析：根據(jù)矩形的判定定理以及三角形中位線的性質(zhì)可得：∠ADC＋∠BCD=90°.
考點：(1)、矩形的性質(zhì)；(2)、中位線的性質(zhì)
14．（2021秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當(dāng)θ＝_____°時，GC＝GB．

【答案】60或300
【分析】當(dāng)GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG＝60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù)．
【詳解】解：當(dāng)GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，
分兩種情況討論：
①當(dāng)點G在AD右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，

∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四邊形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝12AD＝12AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等邊三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋轉(zhuǎn)角θ＝60°；
②當(dāng)點G在AD左側(cè)時，同理可得△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG＝60°，
∴旋轉(zhuǎn)角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案為60或300
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是邊AB上的一動點，連接DE，點A與點P關(guān)于DE對稱，連接EP、DP、BP，若AB=3，BC=4，則BP的最小值為________．

【答案】1
【分析】根據(jù)點A、P的關(guān)系可知，點P的運動軌跡為以點D為圓心，AD為半徑的圓弧，所以當(dāng)點B、P、D三點在一條直線時，BP=BD?DP最短．
【詳解】如圖所示，以點D為圓心，AD為半徑畫圓弧
∴AD=DP'
由圖可知，當(dāng)點P運動到P'時BP'最短
∴BP'=BD?DP'=BD?AD
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠DAB=90°
∴BP'=32+42?4=1
故答案為：1．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=150m，小紅以4m/s的速度沿路線B→A→G→E行走到E處，小明以小紅速度的1．25倍沿B→A→D→E→F行走到F處．若小紅行走的路程為310m，則小明行走的時間為______s．

【答案】92
【分析】連接GC，由“SAS”可證ΔABG?ΔCBG，可得AG=GC，由矩形的性質(zhì)GC=EF=AG，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接GC，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=150m，∠ABD=∠CBD=∠BDC=45°，
在ΔABG和ΔCBG中，
BG=BG∠ABG=∠CBG=45°AB=BC，
∴ΔABG?ΔCBG(SAS)
∴AG=GC，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四邊形GECF是矩形，
∴GC=EF，
∴EF=AG，
∵∠BDE=45°，GE⊥DE，
∴∠GDE=∠DGE，
∴GE=DE，
∵小紅行走的路程為310m，
∴AB+AG+GE=310m，
∴小明行走的路程=AB+AD+DE+EF=AB+AG+GE+AD=310+150=460m，
∴t=4604×1.25=92s，
故答案為：92．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2022秋·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且∠ABC=90°， ???，BE∥AC，CE∥DB，求證：四邊形OBEC是菱形．從以下三個選項中選兩個作為已知條件：①AD∥BC，??②AB=CD，??③AD=BC，并完成證明．
你選擇的條件是

【答案】①③或②③
【分析】選擇的條件只要能證得四邊形ABCD是矩形即可證明四邊形OBEC是菱形.
【詳解】選擇①③時，
證明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四邊形OBEC是菱形．
選擇②③時，
證明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四邊形OBEC是菱形．
綜上可得，選擇的條件是①③或②③
【點睛】本題考查了菱形、矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形和菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AF與DE相交于點G，BF與CE相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）若四邊形EHFG是矩形，則平行四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是____________．（直接寫出答案．不需要證明）
【答案】（1）見解析；（2）AB＝2AD
【分析】（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）由AB＝2AD證出四邊形AEFD是菱形，得出AF⊥DE，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AB＝CD，
∵E是AB中點，F(xiàn)是CD中點，
∴AE＝CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四邊形FGEH是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)AB＝2AD時，平行四邊形EHFG是矩形．理由如下：
連接EF，如圖所示：
∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，且AB＝CD，
∴AE＝DF，且AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
又∵AB＝2AD，E為AB中點，
則AB＝2AE，
于是有AE＝AD＝12AB，
∴四邊形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EGF＝90°，
由（1）得：四邊形EHFG是平行四邊形，
∴四邊形EHFG是矩形；
故答案為：AB＝2AD．

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，注意找準(zhǔn)條件，有一定的難度．
19．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠C與∠BED滿足條件 時，四邊形ABDF是矩形．

【答案】（1）見解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】（1）要證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AB=DF即可，然后根據(jù)題目中的條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先寫出∠C與∠BED之間的關(guān)系，然后根據(jù)矩形的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)，得到∠BAF=90°，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到四邊形ABDF是矩形．
【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵點E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）∠BED=2∠C時，四邊形ABDF是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四邊形ABDF是平行四邊形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形．
【點睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的判定方法和矩形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
20．（2022秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AB和CD的中點．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC、BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形AMCN是矩形，請說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）AC=BC，理由見解析
【分析】（1）推導(dǎo)出AM=CN且AM∥CN，從而證四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC=BC時，可得出CM⊥AB，則有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB＝CD，AB∥CD???????????????????????
∵M(jìn)，N分別為AB和CD的中點
∴AM=12AB，CN=12CD??????????????????
∴AM＝CN，且AB∥CD
∴四邊形AMCN是平行四邊形??????
（2）答：AC=BC時，四邊形AMCN是矩形???
證明∵AC=BC，且M是BC的中點
∴CM⊥AB?????????????????????????????????????
即∠AMC＝90°
∴四邊形AMCN是矩形
【點睛】本題考查平行四邊形和矩形的證明，根據(jù)證明需要的條件，在題干中相應(yīng)推導(dǎo)出來即可．
21．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，AB∥CD．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長．
(3)若∠AOB＝2∠ADB時，則平行四邊形ABCD為 形．
【答案】(1)見解析；
(2)DE=2；
(3)矩

【分析】（1）運用ASA證明△ABO≌△CDO得AB=CD，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠ABE=∠AEB，繼而可得AB=AE，然后根據(jù)已知可求得DE的長度；
（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四邊形的性質(zhì)可得AC=BD，從而可得結(jié)論．
（1）
∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
∠BAO=∠DCOAO=CO∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴DE=AD-AE=BC-AB，
∵BC-AB=2，
∴DE=2；
（3）
∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB=2∠ADB，
∴∠OAD=∠ODA，
∴AO=DO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
故答案為：矩．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
22．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．
【答案】(1)詳見解析；
(2)75°；
(3)43．

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）由矩形和角平分線的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結(jié)果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可．
（1）
證明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）
解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的對角線互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=23，
∴矩形OEC的面積=BC×AB=43．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】
學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進(jìn)行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進(jìn)行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．
【深入探究】
第一種情況：如圖①，當(dāng)∠A＝∠C＝90°時，求證：四邊形ABCD是矩形．
第二種情況：如圖②，當(dāng)∠A＝∠C＞90°時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
第三種情況：如圖③，當(dāng)∠A＝∠C＜90°時，小明同學(xué)研究后認(rèn)為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請在圖中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【分析】（1）連接BD，證明Rt△ABD≌Rt△CDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判定定理證明結(jié)論；
（2）別過點B、D作BE⊥AD交AD的延長線于點E，DF⊥BC交BC的延長線于點F，證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，證明結(jié)論；
（3）以B為圓心，BD為半徑作弧，交AD于D′，以B為圓心，BA為半徑作弧交以D為圓心，AD′為半徑的弧于A′，根據(jù)圖形證明結(jié)論．
【詳解】解：（1）證明：如圖①，連接BD，

在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AB=CDBD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC=AD，
∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）證明如圖②，分別過點B、D作BE⊥AD交AD的延長線于點E，DF⊥BC交BC的延長線于點F，

則∠E=∠F=90°．
∵∠DAB=∠BCD，
∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠E=∠F∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，AE=CF，
∵∠E=∠F=90°，BE=DF，
∴四邊形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）如圖③，以B為圓心，BD為半徑作弧，交AD于D′，以B為圓心，BA為半徑作弧交以D為圓心，AD′為半徑的弧于A′，

則△ABD′≌△A′BD，
∴∠A=∠A′，
而四邊形A′BCD不是平行四邊形．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
24．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．

(1)試用含t的式子表示AE、AD的長；
(2)如圖，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；
(3)連接DE，當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？
【答案】(1)AE=t，AD=12-2t；
(2)見解析
(3)當(dāng)t=3秒或t=245秒時，△DEF為直角三角形．

【分析】（1）根據(jù)題意直接表示出來即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖（1），當(dāng)∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，此時 AE=12AD，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值；
③如圖（2），當(dāng)∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°-∠A=30°，此時AD=12AE，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值．
（1）
解：由題意得AE=t，AD=12-2t；
（2）
解：∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=12CD=12×2t=t，
∵AE=t，
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）
解：①顯然∠DFE＜90°；
②如圖（1），當(dāng)∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，

此時 AE=12AD，
∴t=12（12-2t），
∴t=3；
③如圖（2），當(dāng)∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°，

∴∠AED=90°-∠A=30°，
∴AD=12AE，
∴12-2t=12t，
∴t=245，
綜上：當(dāng)t=3秒或t=245秒時，△DEF為直角三角形．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．另外，解題時，需要分類討論．