2022-2023學(xué)年浙江省湖州中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年浙江省湖州中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版），共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年浙江省湖州中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的焦點坐標(biāo)是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的相關(guān)知識即可求得焦點坐標(biāo).【詳解】由已知可得，且拋物線的開口向下，故焦點坐標(biāo)為，故焦點坐標(biāo)為，故選：D2．直線的一個方向向量是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.3．已知為雙曲線的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（    ）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后可求基本量，從而可求漸近線方程，利用公式可求焦點到漸近線的距離.【詳解】由已知得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，設(shè)一個焦點，而一條漸近線的方程為，即，所以焦點到漸近線的距離為，故選：A． 4．直線的傾斜角的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直線方程得到直線斜率，確定斜率的范圍，再由斜率的定義，即可得出傾斜角的范圍.【詳解】設(shè)為直線的傾斜角，當(dāng)時，直線的斜率不存在，直線的傾斜角，當(dāng)時，直線的斜率＝，所以直線的傾斜角的取值范圍是.綜上所述，.故選：B.5．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為 A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【詳解】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.7．設(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角都等于，則（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】首先根據(jù)為單位向量得到，再利用與的夾角等于，得.聯(lián)立方程求解出與的值，最后再利用向量的夾角公式進行求解即可.【詳解】空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，，，，又，，又為單位向量，，聯(lián)立，得或，，，.故選：C.8．設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為 ，，所以，因為，當(dāng)，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ；當(dāng)，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．    二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．直線的傾斜角為B．直線在軸上的截距為C．直線恒過定點D．過點并在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為【答案】AC【分析】根據(jù)直線方程可得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可知A正確；將直線方程化為斜截式，即可確定在軸上的截距，知B錯誤；根據(jù)直線過定點的求法可知C正確；可將所求直線分為經(jīng)過原點和不經(jīng)過原點兩類，由此可得D錯誤.【詳解】對于A，由得：，即直線斜率，直線的傾斜角為，A正確；對于B，由得：，則其在軸上的截距為，B錯誤；對于C，由知：直線恒過定點，C正確；對于D，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點，即直線為時，其在兩坐標(biāo)軸上截距相等；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點，可設(shè)其方程為：，，則其方程為：；過點并在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為：和，D錯誤.故選：AC.10．已知曲線方程為，則下列說法正確的是（    ）A．若，則為焦點在軸上的雙曲線B．曲線不可能為一個圓C．若為橢圓，則其長軸長為D．當(dāng)時，其漸近線方程為【答案】BC【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對A，由，，方程滿足雙曲線方程，但焦點在軸上，故 A錯誤；對B，若要曲線為一個圓，則，而無解，故B正確；對C，若為橢圓，則，，又，所以，所以，故長軸為，故C正確；對D,由，可得，令，可得漸近線方程為，故D錯誤.故選：BC11．已知橢圓過雙曲線的焦點，的焦點恰為的頂點，與的交點按逆時針方向分別為，，，，為坐標(biāo)原點，則（    ）A．的離心率為B．的右焦點到的一條漸近線的距離為C．點到的兩頂點的距離之和等于D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)條件先求解出雙曲線方程中的值，由此可求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可判斷選項A和選項B；根據(jù)橢圓的定義判斷選項C；計算出橢圓和雙曲線的交點坐標(biāo)，由此可求四邊形的面積.【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可知：，，所以的離心率為，故A正確；的右焦點，方程中，所以的漸近線方程為，不妨取漸近線，所以到的距離為，故B錯誤；根據(jù)橢圓定義可知：，故C正確；聯(lián)立，所以，所以，故D正確；故選：ACD.12．在四棱錐中，底面為菱形，平面，為線段的中點，為線段上的動點，則（    ）A．平面平面B．三棱錐的體積為C．與平面所成角的最小值為D．與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊位置的點,即可排除A,根據(jù)等體積法求三棱錐的體積可求解B，根據(jù)線面角的幾何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判斷C，根據(jù)平移，用幾何法找線線角，即可用三角形的余弦定理求解D    .【詳解】對于D;取中點,連接,則,故或其補角為與所成角，由于為邊長為2的等邊三角形，則,因此故,在中，由余弦定理可得,故與所成角的余弦值為，D正確；對于A;由于為線段上的動點，若移動到點時，此時考慮平面與平面是否垂直，若兩平面垂直，則其交線為,由于,平面，則平面，平面，故,這顯然與D選項矛盾，故平面與平面不垂直，A錯誤，對于B;取中點為，則所以平面平面,故平面,因此點到平面的距離與點到平面的距離相等，故,因此，故B正確；對于C;取中點為,連接,則,所以平面,故為與平面所成角，在直角三角形中，,故當(dāng)長度最大時，最小，故當(dāng)運動到與重合時，最大值為，此時最小為，故C正確；故選：BCD 三、填空題13．若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則____．【答案】【詳解】試題分析：由題設(shè)可得雙曲線的一個焦點是,故,故應(yīng)填.【解析】拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)及運用． 14．圓與圓的公共弦長為___________.【答案】【分析】由兩圓的方程先求出公共弦所在的直線方程，再利用點到直線的距離公式，弦長公式，求得公共弦長即可.【詳解】 兩圓方程分別為： ①，②，由- 可得： ，即， 兩圓的公共弦所在的直線方程為：， 的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ，圓心到公共弦的距離為： ，公共弦長為： .綜上所述，公共弦長為： 故答案為：.15．一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【詳解】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.【解析】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 16．過雙曲線上的任意一點，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點，若，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)點，分別聯(lián)立兩組直線方程，求出的坐標(biāo)，然后利用向量的數(shù)量積，推出離心率的范圍即可.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為：，即，設(shè)點，可得：，聯(lián)立方程組，解得：，同理可得：，所以，因為，所以，所以，由題意可得：，所以，故離心率，又因為雙曲線的離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故答案為：. 四、解答題17．已知圓，直線.(1)寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)若直線與圓交于不同的兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線與圓相交(2)或 【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，求出直線所過的定點，判斷出定點在圓內(nèi)，從而得到直線與圓相交；（2）求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出，求出直線方程.【詳解】（1）整理得：，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線變形為，故直線過定點，因為，故在圓內(nèi)，所以直線與圓相交；（2）圓心到的距離為，由垂徑定理得：，解得：，故直線的方程為或.18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且.(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面的法向量，及直線的方向向量，然后利用空間向量的夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）由（1）可知，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故設(shè)直線與平面所成角的正弦值為.19．如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?【答案】(1)；(2)該船有觸礁的危險． 【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.【詳解】（1）依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點，又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為，由（1）知，圓C的圓心為，半徑，則圓心C到直線l的距離，則，所以該船有觸礁的危險.20．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點． （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以． [方法二] 【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．  [方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時． [方法二] ：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學(xué)生的思維.第二問：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學(xué)生的思維．21．已知點A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點. (1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.【答案】（1） （2） 【詳解】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，. 又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 22．已知雙曲線的中心為原點，左右焦點分別是，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.(1)求實數(shù)的值；(2)求證：直線與直線的斜率之積是定值，并求出此定值；(3)點的縱坐標(biāo)為1，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點，在線段上取異于點的點，滿足，試問：點是否恒在一條定直線上，若是，請求出這條定直線，否則，請說明理由【答案】(1)(2)(3)是， 【分析】（1）根據(jù)雙曲線關(guān)系即可. （2）根據(jù)已知條件表示出斜率化簡整理即可.（3）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線進行表示，解方程組即可得到點的橫縱坐標(biāo)所滿足的線性關(guān)系.【詳解】（1）解：由已知離心率，又因為所以，解得.（2）證明：由（1）可知，，設(shè)，，因為所以 所以在雙曲線上，所以 所以與直線的斜率之積是定值為（3）過點過點的直線與雙曲線右支交于不同的兩點設(shè)， ，因為在雙曲線上.所以，故，設(shè)，則 得 由，得 將，代入 得， 將帶入得恒在定直線上.【點睛】（1）圓錐曲線第一問通常是涉及基本量的計算.（2）定值問題首先根據(jù)題意將等量關(guān)系進行表示后在化簡，必要時借助于直曲聯(lián)立，通過韋達定理減少計算量.（3）定點過定直線通常設(shè)出定點后找到定點的橫縱坐標(biāo)所滿足的線性關(guān)系，一般計算量較大.