2022-2023學(xué)年山西省晉城市第二中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年山西省晉城市第二中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年山西省晉城市第二中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（    ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故選：B2．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：A3．已知直線經(jīng)過焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)為，.根據(jù)，可設(shè)橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.因?yàn)?/span>，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.4．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】原方程可變形為，根據(jù)已知有，解出即可.【詳解】因?yàn)榉匠?/span>表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.5．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列的各項(xiàng)結(jié)合排除法即可.【詳解】選項(xiàng)A：，不符合題意；選項(xiàng)C：不符合題意；選項(xiàng)D：，不符合題意；而選項(xiàng)B滿足數(shù)列，故選：B6．在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則（    ）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，.故選：D7．在數(shù)列中，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）【答案】C【分析】由遞推關(guān)系，結(jié)合條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，列不等式可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，， 所以，又， ，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)按項(xiàng)數(shù)從小到大排列可得一公差為3的等差數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為大于等于3的奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)為大于等于3的奇數(shù)時(shí)，，化簡可得，當(dāng)為大于等于4偶數(shù)時(shí)，，解得，由可得，，所以，故選：C.8．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，,所以而，所以，所以故選：B 二、多選題9．在等比數(shù)列{}中，，則{}的公比可能為（    ）A． B． C．2 D．4【答案】BC【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{}中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，故選：.10．已知圓，則下列說法正確的是（    ）A．圓C的半徑為16B．圓C截x軸所得的弦長為4C．圓C與圓E：相外切D．若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BC【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1【詳解】A:將一般式配方可得：，A錯(cuò)；B：圓心到x軸的距離為2，弦長為B對(duì)；C:外切，C對(duì)；D: 圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，解之: ,D錯(cuò)；故選：BC11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】ACD【分析】根據(jù)題干條件利用可得到，，，然后即可根據(jù)三個(gè)結(jié)論依次判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，.對(duì)于A、B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，可知，，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．已知拋物線C：，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．若，則△PMF的面積為2C．|的最大值為D．△PMF的周長的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為，即可判斷A，根據(jù)拋物線定義得到，故點(diǎn)可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B，利用三角形任意兩邊之差小于第三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到，計(jì)算即可判斷C，三角形的周長，再結(jié)合拋物線定義即可求出的最小值，即得到周長最小值.【詳解】，，，準(zhǔn)線方程為，故A正確；根據(jù)拋物線定義得，，,軸，當(dāng)時(shí)，，若點(diǎn)在第一象限時(shí)，此時(shí), 故，的高為1，故，若點(diǎn)在第四象限，此時(shí)，故， 的高為1，故，故B錯(cuò)誤；，,故C正確；（連接，并延長交于拋物線于點(diǎn)，此時(shí)即為最大值的情況，圖對(duì)應(yīng)如下）過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，的周長，若周長最小，則長度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)位于同一條直線上時(shí)，的和最小，此時(shí),故周長最小值為，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則___________.【答案】4【分析】由條件，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，再對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以，故答案為：4.14．已知向量，，若，則 ___________.【答案】【分析】根據(jù)，列出，分別求出，然后得到，進(jìn)而計(jì)算，可求出的值.【詳解】，故，解得，故，，，則故答案為：15．在數(shù)列，中，，，且，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則數(shù)列的最小值為___________.【答案】【分析】可由題意構(gòu)建為等差，求出通項(xiàng)公式，可由得出的通項(xiàng)公式，再利用作差法求出新數(shù)列單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】由可得，即數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，首項(xiàng)，，可得，則，即，由，可得當(dāng)時(shí)，，，代入后符合，即的通項(xiàng)公式為，設(shè)新數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，得，即時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，得，即，綜上所述是最小值，即數(shù)列的最小值為，故答案為：16．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，離心率為，點(diǎn)A是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長AO交雙曲線C于另一點(diǎn)B，且，延長AF交雙曲線C于另一點(diǎn)Q，則___________.【答案】【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代數(shù)式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代數(shù)式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代數(shù)式表示，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，∵ ，則 ，，由雙曲線的對(duì)稱性知：， ，又∵，∴四邊形 為矩形，設(shè) ，則由雙曲線的定義知：，在中，，即： ，整理得：，即： ，∵，∴ ，∴設(shè) ，則由雙曲線的定義知：，在中，，即：，解得： ，即：，又∵，∴在中， ∴ 故答案為：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開可求得結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知， 解得：∴.故的通項(xiàng)公式為.（2）∵ 即：的前n項(xiàng)和.18．已知圓，直線，，且直線和均平分圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)直線和均平分圓，可知兩條直線都過圓心，通過聯(lián)立求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到圓心坐標(biāo)即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)，及為等腰三角形可得到，可得圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)橹本€和均平分圓，所以直線和均過圓心，因?yàn)?/span>，解得，所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閳A，所以圓心坐標(biāo)為，所以，解得，所以圓的方程為，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，因?yàn)?/span>，且為等腰三角形，所以，因?yàn)?/span>，所以圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的值為或.19．如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是菱形.， ，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn).(1)證明：PC⊥BD.(2)求平面PAB與平面BDE所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量垂直的判定條件證明即可；（2）通過第（1）問的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，，，，，，，，，，平面，平面，平面.過點(diǎn)作，則，，，分別以，，所在直線為，，軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，.，，，，，，，，.（2），，為中點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量為，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，，，設(shè)平面與平面夾角為，則，平面與平面所成角的余弦值為.20．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記的面積為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合條件得到，即可求解.（2）設(shè)直線，且（），，，聯(lián)立拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算得到，結(jié)合圖形得到，即可求證.【詳解】（1）由題意得：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，因?yàn)榻裹c(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，所以拋物線的方程為：.（2）由（1）知，焦點(diǎn)，如圖：過點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，直線的傾斜角不為，則，即，則設(shè)直線，且（），，，聯(lián)立，得：，由，得：，則，又，所以（），又，即.綜上：的面積，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.21．已知雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或或. 【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而先討論直線的斜率不存在不滿足條件，再討論的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立得線段中點(diǎn)為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為，所以，聯(lián)立方程得所以，且，所以，設(shè)，則所以，所以，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，點(diǎn)在線段的中垂線上，所以，所以，當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，，整理得，解得或，滿足.綜上，直線的方程為，或或.22．已知橢圓）的離心率為，且與直線相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根據(jù)題意得，由與直線相切，聯(lián)立方程得，即可解決；（2），結(jié)合韋達(dá)定理得，即可解決.【詳解】（1）由題知，，所以橢圓為，即，因?yàn)?/span>與直線相切，所以，消去得，所以，所以，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由，得所以，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得為定值.