河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學年高三第一次模擬考試理科數(shù)學試題及答案

這是一份河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學年高三第一次模擬考試理科數(shù)學試題及答案，共21頁。試卷主要包含了單選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學年高三第一次模擬考試理科數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B．C．或 D．2．若，則的虛部為（    ）A． B．1 C． D．3．若，則（    ）A． B． C． D．4．對2021年某地某款汽車的銷售價格（單價：萬元）與銷售數(shù)量進行統(tǒng)計，隨機選取1000臺汽車的信息，這1000臺汽車的銷售價格都不低于5萬元，低于30萬元，將銷售價格分為，，，，這五組，統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，則在選取的1000臺汽車中，銷售價格在內(nèi)的車輛臺數(shù)為（    ）A．175 B．375 C．75 D．5505．在△中，，分別為邊，的中點，且與交于點，記，，則（    ）A． B． C． D．6．年詹希元創(chuàng)制了“五輪沙漏”，流沙從漏斗形的沙池流到初輪邊上的沙斗里，驅(qū)動初輪，從而帶動各級機械齒輪旋轉(zhuǎn)．最后一級齒輪帶動在水平面上旋轉(zhuǎn)的中輪，中輪的軸心上有一根指針，指針則在一個有刻線的儀器圓盤上轉(zhuǎn)動，以此顯示時刻，這種顯示方法幾乎與現(xiàn)代時鐘的表面結(jié)構(gòu)完全相同．已知一個沙漏的沙池形狀為圓雉形，滿沙池的沙漏完正好一小時（假設(shè)沙勻速漏下），當沙池中沙的高度漏至一半時，記時時間為（    ）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時7．從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)都是質(zhì)數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．8．已知，，則（    ）A． B． C． D．9．函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示，則（    ）A．0 B．2 C． D．10．已知拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，且的最小值為，M是線段AB的中點，是平面內(nèi)一定點，則下列選項不正確的是（    ）A．B．若，則M到x軸的距離為3C．若，則D．的最小值為411．已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，若該正三棱柱的外接球體積為，當最大時，該正三棱柱的體積為（    ）A． B． C． D．12．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空題13．若，則______．14．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則的面積為______．15．已知函數(shù)在定義域內(nèi)不存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______． 三、雙空題16．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上異于左、右頂點的任意一點，，的中點分別為M，N，O為坐標原點，四邊形OMPN的周長為4b，則橢圓C的離心率為______；若橢圓C過點，過點作直線l與橢圓C交于A，B兩點，則的最大值與最小值的和為______． 四、解答題17．已知是數(shù)列的前n項和，，且．(1)求的通項公式；(2)證明：．18．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，．(1)求五面體ABCDE的體積；(2)求二面角的正弦值．19．乒乓球被稱為中國的“國球”．甲、乙兩位乒乓球愛好者決定進行一場友誼賽，制定如下比賽規(guī)則：比賽分兩天進行，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局者獲得該天的勝利．若兩天比賽中一方連續(xù)勝利，則該方獲得勝利；若兩天比賽中雙方各勝一天，則第三天加賽一局，一局定勝負．設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，各局比賽相互獨立，沒有平局．(1)當時，求第一天比賽甲獲勝的概率；(2)記比賽結(jié)束時的總局數(shù)為，當時，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．20．在平面直角坐標系xOy中，已知，，動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．(1)求動點C的軌跡方程E．(2)過點作直線l交曲線E于P，Q兩點（P，Q在y軸兩側(cè)），過原點O作直線的平行線交曲線E于M，N兩點（M，N在y軸兩側(cè)），試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明．22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為．(1)寫出曲線C和直線l的直角坐標方程；(2)若，且直線l與曲線C沒有公共點，求m的取值范圍．23．已知關(guān)于的不等式有解．(1)求實數(shù)的最大值；(2)在（1）的條件下，已知為正數(shù)，且，求的最小值．
參考答案：1．D【分析】計算，或，再計算交集即可.【詳解】，或，故．故選：D2．B【分析】根據(jù)復數(shù)除法的運算法則，結(jié)合共軛復數(shù)的定義、復數(shù)虛部的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以的虛部為1．故選：B3．A【分析】根據(jù)兩角差的正切公式即可求得答案.【詳解】因為，所以,故選：A4．B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率和為1可求出，從而可求出銷售價格在內(nèi)的頻率，進而可求出銷售價格在內(nèi)的車輛臺數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖知，，所以，所以銷售價格在內(nèi)的頻率為，故銷售價格在內(nèi)的車輛臺數(shù)為．故選：B5．A【分析】根據(jù)重心的幾何特點，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得點G為△的重心，所以．故選：A.6．D【分析】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，然后根據(jù)題求出當沙池中沙的高度漏至一半時，所剩余的沙的體積，從而可求出漏下的沙子體積與總體積的關(guān)系，進而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，則沙的體積為，當沙池中沙的高度漏至一半時，所剩余的沙形成的圓錐的高為，底面半徑為，所以所剩余的沙的體積為所以漏下的沙子體積為總體積的，故記時時間為小時．故選：D7．B【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)即可得解.【詳解】2至8這7個數(shù)中質(zhì)數(shù)有4個，從7個數(shù)中取2個，共有個結(jié)果，取出2個數(shù)都為質(zhì)數(shù)，有個結(jié)果，所以所求概率．故選：B8．C【分析】根據(jù)對數(shù)與指數(shù)式的互化公式，結(jié)合對數(shù)的運算公式、指數(shù)與對數(shù)恒等式進行求解即可.【詳解】因為，所以．因為，所以，故．故選：C9．C【分析】根據(jù)圖像最高點和最低點得到,由周期得到，再將點代入函數(shù)解析式得到，將代入即可求解.【詳解】由圖可知，，所以，因為，解得，將代入得，結(jié)合已知范圍，解得，所以，故，故選：C10．C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合平面向量共線性質(zhì)、兩點間線段最短逐一判斷即可.【詳解】設(shè)點，．該拋物線的準線為，因為，所以的最小值為，所以，故A正確．若，則，所以M到x軸的距離為，故B正確．由向量共線可得AB過F點，設(shè)AB的方程為，與聯(lián)立可得，則．由，，得，所以或（舍去），所以，故C錯誤．過點A作拋物線的準線l：的垂線，垂足為點E，由拋物線的定義可得，所以，當且僅當P，A，E三點共線，即當時，取得最小值，故D正確．故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.11．B【分析】由外接球半徑體積可得外接球半徑，根據(jù)勾股定理，設(shè)，根據(jù)可行域可得當直線與曲線相切時最大，聯(lián)立令解出的值即可.【詳解】因為正三棱柱外接球的體積為，所以，設(shè)球心為，底面外接圓圓心為，由正三棱錐可得，底面外接圓半徑，所以由勾股定理得，設(shè)，當直線與曲線相切時，最大，聯(lián)立方程組得，由，得或（舍去），此時，，所以正三棱柱的體積，故選：B  12．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性三者之間的關(guān)系，結(jié)合導函數(shù)相等即其他等式，綜合運用各式之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以，得，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故①正確．因為為奇函數(shù)，所以，且．因為，所以，則的周期，所以，故③錯誤．因為，所以的周期也為4，所以，，所以，故②正確．因為，，，，所以，所以④正確．故選:D.【點睛】方法點睛：①若兩函數(shù)的導函數(shù)相等，則這兩個函數(shù)只差一個常數(shù)；②函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性三個性質(zhì)之間，其中任意兩個性質(zhì)可以推出第三個性質(zhì).13．－100【分析】根據(jù)二項式定理可知，是的系數(shù)，根據(jù)二項展開式的通項公式進行運算即可得出.【詳解】二項展開式的通項公式為：，當時，，二項展開式的通項公式為：，當時，，所以.故答案為：.14．【分析】由余弦定理及已知條件可得，再由三角形的面積公式即可得答案.【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，得，故．故答案為：15．【分析】由題可得或在上恒成立，然后根據(jù)參變分離及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，因為在定義域內(nèi)不存在極值點，所以或在上恒成立，即或在上恒成立，因為在上不可能恒成立，所以在上恒成立，即，所以，故．故答案為：.16．     ##；     ##.【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合三角形的中位線定理可得四邊形OMPN是平行四邊形，再由四邊形OMPN的周長為4b，結(jié)合橢圓的定義可得，則，從而可求出橢圓的離心率；設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后計算化簡，令，則，再由可求出的范圍，進而可求得結(jié)果.【詳解】因為M，O分別為，的中點，所以，，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，所以，所以．因為橢圓C過點，所以．因為，所以，，，所以橢圓C的方程為．設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，得．設(shè)，，則，．因為，所以．令，則．因為，所以．設(shè)的最大值與最小值分別為，，則，是方程的兩根，所以．故答案為：；.17．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由求，用作差法，再集合累乘法即可求解；（2）先表示出，再將裂項可求出的表達式可證.【詳解】（1）解：當時，可得．當時，，所以，所以，所以．因為，所以，時也符合，故．（2）證明：由（1）知，所以，所以．因為，所以．得證18．(1)(2) 【分析】（1）可將該五面體分割成多個簡單幾何體后進行體積求解.（2）建立空間直角坐標系，用空間向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【詳解】（1）因為平面ABC，所以．因為，平面BCE，平面BCE，所以平面BCE，所以，所以．（2）如圖，取AC的中點O，連接OB，因為，所以，作．以O為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐以標系，則，，，，，，，．設(shè)平面CDE的法向量為，則令，得．設(shè)平面ACE的法向量為，則令，得．因為，所以，故二面角的正弦值為．19．(1)；(2)分布列見解析，數(shù)學期望為. 【分析】（1）由題可知甲可能以或獲勝，然后計算概率即得；（2）由題可得可取4，5，6，7，分別計算概率可得分布列，再利用期望公式即得.【詳解】（1）第一天比賽甲可能以或獲勝，因為，，所以第一天甲獲勝的概率；（2）因為，所以第一天和第二天甲以獲勝的概率為，此時乙以負，第一天和第二天甲以獲勝的概率為，此時乙以負，即第一天和第二天甲、乙各自以和獲勝的概率都是，同樣以和負的概率都是，所以的所有可能取值為4，5，6，7，，，，，所以隨機變量Y的分布列為4567 所以．20．(1)(2)為定值2 【分析】（1）設(shè)，則由題意可得，化簡后可得動點C的軌跡方程；（2）由題意設(shè)直線：，，，將直線方程代入雙曲線方程中化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式表示出，設(shè)的方程為，代入雙曲線方程化簡后可表示出，從而可求出的值.【詳解】（1）設(shè)，因為直線AC與直線BC的斜率乘積為3，所以，所以，故動點C的軌跡方程為．（2）易知直線的斜率存在且不為0．設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程組得，則，因為P，Q在y軸兩側(cè)，所以，所以，所以．因為，所以的方程為．設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得．所以，，所以，所以，即為定值2．21．(1)見解析(2)，證明見解析 【分析】（1）首先求出導函數(shù)，再對的范圍分類討論，根據(jù)的正負即可得到的單調(diào)性；（2）首先將原式化簡整理成，令，得.再令，根據(jù)已知條件有兩個不相等的實根，，利用導數(shù)求出參數(shù)的取值范圍.進而要證，即證，即證，只需證．不妨設(shè)，則只要證，即，最后令，，其中，借助導數(shù)求解的最小值即可證明.【詳解】（1）因為，所以．當時，，所以在上單調(diào)遞增．當時，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方程，即，等價于．令，其中，則，顯然．令，則，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因為方程有兩個實根，，所以關(guān)于t的方程有兩個實根，，且，，所以．要證，即證，即證，只需證．因為，所以，整理可得．不妨設(shè)，則只要證，即．令，，其中，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點在于借助同構(gòu)思想將原始等價為，通過令，合理構(gòu)造函數(shù)來確定參數(shù)的取值范圍，第二步的關(guān)鍵點在于將等價轉(zhuǎn)化為，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而借助導數(shù)進一步證明.22．(1)曲線C的直角坐標方程為；直線l的直角坐標方程為；(2). 【分析】（1）結(jié)合余弦的二倍角公式消去參數(shù)，可得曲線C的直角坐標方程，將直線l的極坐標方程化簡后利用極坐標與直角坐標的互化公式可求得直線l的直角坐標方程；（2）將曲線C的參數(shù)方程代入到直線l的直角坐標方程化簡得，則由題意得無解，令，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，再結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，又，所以，即曲線C的直角坐標方程為．因為直線l的極坐標方程為，所以，又因為，所以直線l的直角坐標方程為，即．（2）聯(lián)立l與C的方程，將代人中，可得，要使l與C沒有公共點，則無解．令，，其對稱軸為，開口向下，所以，．因為，所以，即，所以m的取值范圍為．23．(1)(2)36 【分析】（1）利用絕對值不等式得，所以有解只需即可；（2）利用均值不等式求解即可.【詳解】（1）因為，當且僅當等號成立所以的最大值為3．因為不等式有解，所以，解得，所以實數(shù)的最大值．（2）由（1）知，，因為（當且僅當時，等號成立），，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為36．