長郡集團初一競賽選拔考試數學試卷

這是一份長郡集團初一競賽選拔考試數學試卷，共26頁。試卷主要包含了已知，且，則等于，方程組，已知是方程的一個解，則的值為，若，則　　，分解因式等內容，歡迎下載使用。
長郡集團初一選拔卷（缺7、11、12、15題）一．選擇題（共9小題）1．（2015秋?黃陂區(qū)校級月考）已知，且，則等于　　A．105 B．100 C．75 D．502．（2016春?西湖區(qū)期末）已知多項式分解因式后有一個因式是，則的值為　　A．3 B． C．1 D．3．方程組　　A．沒有解 B．有1組解 C．有3組解 D．以上答案都不對4．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）已知是方程的一個解，則的值為　A．2022 B．2021 C．2020 D．20195．（2022春?重慶月考）如果關于的不等式組有且僅有四個整數解，且關于的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數的和是　　A．8 B．9 C．11 D．76．（2020?浙江自主招生）使分式的值為整數的全體自然數的和是　　A．5 B．6 C．12 D．22二．填空題（共10小題）7．（2020秋?邗江區(qū)期末）將正整數按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用有序數對表示第排、第個數，比如表示的數是8，則若表示的數是　　．8．（2020?浙江自主招生）設實數，，滿足，則的最大值為　　．9．若，則　　．10．分解因式：　　．11．已知，，則　　．12．若、、滿足和，則分式的值為　 　．13．如果關于的方程有正整數解，那么正整數的所有可能取值之和為　 　．14．（1）已知實數、、滿足，，，則　　．（2）已知實數、、滿足，，，則　　．15．已知，，．則　 　．16．已知，，，，，，，是互不相等的非零實數，且，則的值為　　． 三．解答題（共6小題）17．設，，．求（1）的值；（2）的值．  18．（2020?浙江自主招生）是大于零的實數，已知存在唯一的實數，使得關于的二次方程的兩個根均為質數．求的值．   19．對于有理數，用表示不大于的最大整數，請解方程．   20．已知，均為自然數，且滿足不等式．若對于某一給定的自然數，只有唯一的自然數使不等式成立，求所有符合要求的自然數中的最大數和最小數．    21．設，是兩個不相等的正整數，為質數，滿足，且是整數．（1）求證：；（2）求的值；（3）求，的值．
          長郡集團初一選拔卷參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．（2015秋?黃陂區(qū)校級月考）已知，且，則等于　　A．105 B．100 C．75 D．50【考點】代數式求值；完全平方式；因式分解的應用【專題】轉化思想【分析】由已知，且，兩等式左右兩邊分別相減，可得到，觀察發(fā)現，利用完全平方差公式，可轉化為，再將上面的式子代入，問題得解．【解答】解：，故選：．【點評】本題主要考查完全平方差公式因式分解．將看作是難點．2．（2016春?西湖區(qū)期末）已知多項式分解因式后有一個因式是，則的值為　　A．3 B． C．1 D．【考點】因式分解的意義【專題】整式；一次方程（組及應用；運算能力【分析】由多項式分解因式后有一個因式是得出當時，多項式的值為0，由此得出關于的方程，求出方程的解即可，【解答】解：多項式分解因式后有一個因式是，當時，多項式的值為0，即，解得：，故選：．【點評】本題考查了因式分解和多項式乘多項式，能得出關于的方程是解此題的關鍵．3．方程組　　A．沒有解 B．有1組解 C．有3組解 D．以上答案都不對【考點】分式方程的解【專題】方程思想；計算題；數感【分析】根據等式的性質，對給出的方程組進行變形，進而進行求解．【解答】解：原方程組可變形為：，根據方程組可得；對方程組進行變形可得，，①②，可得，④，②③，可得，⑤，④⑤，得，④⑤，得，將，，代入原方程組，可得，，．檢驗可知，，，是原方程組的解．故選：．【點評】本題主要考查等式的基本性質，以及對等式的變形的能力，正確的變形，并進行消元是解決本題的關鍵．4．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）已知是方程的一個解，則的值為　　A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【考點】一元二次方程的解【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】先根據一元二次方程的解的定義得到，變形得到，，然后利用整體代入的方法進行計算．【解答】解：由題意得：，所以，，所以，原式．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，也考查了代數式的變形能力．5．（2022春?重慶月考）如果關于的不等式組有且僅有四個整數解，且關于的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數的和是　　A．8 B．9 C．11 D．7【考點】分式方程的解；一元一次不等式組的整數解【專題】運算能力；分式方程及應用；一元一次不等式（組及應用【分析】解不等式組和分式方程得出關于的范圍及的值，根據不等式組有且僅有三個整數解和分式方程的解為非負整數得出的值，即可求解．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組有且僅有四個整數解，，解得：，解關于的分式方程，得：，分式方程有非負整數解，且，，解得：，所以所有滿足條件的整數值的和為7．故選：．【點評】本題主要考查分式方程的解和一元一次不等式組的解，熟練掌握解分式方程和不等式組的能力，并根據題意得到關于的范圍是解題的關鍵．6．（2020?浙江自主招生）使分式的值為整數的全體自然數的和是　　A．5 B．6 C．12 D．22【考點】分式的值【專題】分式；運算能力【分析】利用原式，為使為整數，進而求出即可．【解答】解：由于原式，為使為整數，則自然數可取0，1，2，3，5，11，其和為22．故選：．【點評】此題主要考查了分式的值，逆用分式加減法則進行變形，使分子為整數，再用整除的性質求解是解題關鍵．二．填空題（共10小題）7．（2020秋?邗江區(qū)期末）將正整數按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用有序數對表示第排、第個數，比如表示的數是8，則若表示的數是　306　．【考點】規(guī)律型：數字的變化類【專題】創(chuàng)新題型；能力層次【分析】據表示整數8，對圖中給出的有序數對進行分析，可以發(fā)現：對所有數對，有：，．【解答】解：若用有序數對表示從上到下第排，從左到右第個數，對如圖中給出的有序數對和表示整數8可得，，；，；，由此可以發(fā)現，對所有數對，有：，．所以，．故答案為：306．【點評】此題考查對數字變化類知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的圖形、數值、數列等已知條件，認真分析，找出規(guī)律，解決問題．8．（2020?浙江自主招生）設實數，，滿足，則的最大值為　　．【考點】因式分解運用公式法【專題】因式分解；運算能力【分析】中后兩項提取變形，根據題中等式表示出，代入中配方變形后，利用非負數的性質求出的最大值即可．【解答】解：，當且僅當，時，取等號，此時．故答案為：．【點評】此題考查了因式分解運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．9．若，則　　．【考點】分式的化簡求值【分析】根據已知可得，再把的值整體代入所求式子中，合并、約分即可．【解答】解：，，，故答案是．【點評】本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是注意整體代入．10．分解因式：　　．【考點】56：因式分解分組分解法【專題】69：應用意識；512：整式【分析】先利用乘法公式展開、合并得到原式，再進行分組得到完全平方公式，所以原式，然后再把括號內分組分解即可．【解答】解：原式．故答案為．【點評】本題考查了因式分解分組分解：分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現公因式，二是分組后能應用公式．11．已知，，則　6　．【考點】二次根式的化簡求值【專題】計算題【分析】先把和的值分母有理化得到，，則，，再利用完全平方公式變形原式得到，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：，，，，，，原式．故答案為6．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值；二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．12．若、、滿足和，則分式的值為　　．【考點】64：分式的值；：解三元一次方程組【分析】把看成已知數解關于、的方程組，再代入求出即可．【解答】解：，，解得：，，故答案為：．【點評】本題考查了解三元一次方程組的應用，主要考查的計算能力．13．如果關于的方程有正整數解，那么正整數的所有可能取值之和為　23　．【考點】：取整函數【分析】首先根據題意得出或，進而分別分析得出的取值范圍，利用，的關系得出的值．【解答】解：由是整數知，或．若為前者，由于，故知只能為7．此時，，解得：，因此，2，3，但一一驗證知均不成立，若為后者，設，其中是正整數．則，故時取到）或時取到）．因此所求答案為．故答案為：23．【點評】此題主要考查了取整計算，利用分類討論得出的值是解題關鍵．14．（1）已知實數、、滿足，，，則　　．（2）已知實數、、滿足，，，則　　．【考點】因式分解的應用；分式的化簡求值【專題】因式分解；整式；運算能力；推理能力【分析】（1）根據完全平方公式變形可得，將已知條件代入可得；進而求得和的值，則將要求的式子變形，分別代入、和的值，可得答案．（2）解法和（1）一致，區(qū)別在于，，，這三個式子的值不同與（1）中．【解答】解：（1），，，，；故答案為：．（2），，，，；故答案為：．【點評】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是靈活掌握的展開公式，并能靈活變形，本題屬于競賽題，難度較大．15．已知，，．則　　．【考點】：分式的化簡求值【專題】11：計算題【分析】由已知，兩邊平方整理可得，又，所以，可得，同理可得，，，代入原式，整理即可得出；【解答】解：，兩邊平方得，，，，又，，同理得，，，，，，，，；故答案為：．【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，熟記分式的基本性質，是正確解答本題的關鍵．16．已知，，，，，，，是互不相等的非零實數，且，則的值為　2　．【考點】：分式的化簡求值【專題】11：計算題；66：運算能力【分析】可設，則，即，，，設，，由可得，由得，代入計算即可求解．【解答】解：設，則，整理得，，，，設，，由得，由得，原式．故答案為：2．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則和性質是解題的關鍵．三．解答題（共6小題）17．設，，．求（1）的值；（2）的值．【考點】59：因式分解的應用【專題】11：計算題；66：運算能力；44：因式分解；512：整式【分析】（1）由已知得出，再由，將已知條件代入即可解出；（2）由，將已知條件及（1）中推得的式子代入，即可求出的值，由，即可解出答案．【解答】解：（1）．（2）的值為98．【點評】本題考查了利用因式分解進行整式的化簡求值，計算難度較大，需要較高的計算技巧．18．（2020?浙江自主招生）是大于零的實數，已知存在唯一的實數，使得關于的二次方程的兩個根均為質數．求的值．【考點】：質數與合數【專題】34：方程思想【分析】根據根與系數的關系，可得方程，①．②，從而得到，③．得出，求得，，代入①得，④，再根據判別式求得的值．【解答】解：設方程的兩個質數根為、．由根與系數的關系，有，①，②①②，得，則．③由③知，、顯然均不為2，所以必為奇數．故和均為整數，且，若為奇數，則必，2，，從而，為合數，矛盾．因此，必為偶數．同理，也為偶數．所以，和均為整數，且．不妨設，則或5．當時，，得，，均為質數．當時，，得，，為合數，不合題意．綜上可知，，．代入①得．④依題意，方程④有唯一的實數解．故△．解得．【點評】此題考查了二次方程根的情況與判別式△的關系以及根與系數的關系，質數的基本性質，有一定的難度．19．對于有理數，用表示不大于的最大整數，請解方程．【考點】取整函數；換元法解一元二次方程【分析】由表示不大于的最大整數，得出整數，且，進而得到是整數，得到關于的不等式，并列舉出所有可能，得到列表的結果，總結出符合要求的答案．【解答】解：因為方程左邊的第1、3項都是整數，所以是整數．注意到，代入方程，得到，．所以是整數，是10的倍數．令，是整數，代入得，其中，對于有理數，．所以有，．當取不同整數時，的情況如下表：的可能值是和3，相應的和．代入驗算得到或．故答案為：或．【點評】此題主要考查了取整函數的性質以及換元法解一元二次方程，假設，是整數，得出的取值范圍是解決問題的關鍵．20．已知，均為自然數，且滿足不等式．若對于某一給定的自然數，只有唯一的自然數使不等式成立，求所有符合要求的自然數中的最大數和最小數．【考點】：函數最值問題【分析】由題意可得：，整理得：①，也可得②，根據對于某一給定的自然數，的值只有一個，可得出的最大值，再由①可得，然后依次試驗、9、，即可得出的最小值．【解答】解：，，①，②，為自然數，且對于給定來說的值只有一個，，即，，當時，代入②有：，只能取得唯一一個，的最大值為84；又根據①式，，顯然，當取8時，，沒有符合條件的整數；當取9時，，沒有符合條件的整數；當取10時，，沒有符合條件的整數；當取11時，，沒有符合條件的整數；當取12時，，沒有符合條件的整數；當取13時，，，為符合條件的最小值．綜上可得：的最大值為84，的最小值為13．【點評】本題考查了函數的最值問題，解答此類提競賽類題目，關鍵是靈活變通，本題的靈活之處在與由得出，難度較大．21．設，是兩個不相等的正整數，為質數，滿足，且是整數．（1）求證：；（2）求的值；（3）求，的值．【考點】：質數與合數；：約數與倍數；：質因數分解；：因式分解【專題】15：綜合題；32：分類討論；49：反證法【分析】（1）運用不等式的性質和因式分解，由可推出，然后用反證法證明不成立，從而解決問題；（2）設（其中，為正整數），則有，與條件“”結合，可得．若為正整數，則與中有一個是1，另一個是，或兩個都是；若是正整數，則與中有一個是1，另一個是，或兩個都是．只需通過分類討論就可解決問題；（3）由（2）可知，只有當時，存在正整數、及質數，使得條件成立，此時，整理得，從而得到．由是大于1的正整數可得是小于3的正整數，從而求出，就可得到．【解答】解：（1），是兩個不相等的正整數，，都是正整數，．是整數，，，，即．假設，則有．與連續(xù)整數，是偶數，為質數，，，，，，與條件“是整數”矛盾，； （2）設（其中，為正整數），則有，，．是質數，．①且，此時，整理得，方程無解．②且，此時，與條件“、為不相等的正整數”矛盾；③，此時，，．為整數，也是整數，正整數．，正整數，，，，與為正整數矛盾；④且，此時，整理得，解得，，與為正整數矛盾；⑤且，此時，，，，，與“是大于1的正整數”矛盾；⑥，此時，整理得，則．是大于1的正整數，是小于3的正整數，整數，，，．綜上所述：； （3）由（2）可知，只有當時，存在正整數、及質數，使得條件成立，此時，整理得，則．是大于1的正整數，是小于3的正整數，整數，，．【點評】本題考查了質數與合數、質因數的分解、因式分解、分式的分解等知識，難度比較大，在解決問題的過程中用到了分類討論、轉化（將一個分式轉化為一個整數與一個分子是整數的簡單分式的和）、反證法等重要的數學思想方法，應學會使用．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/9/15 17:58:12；用戶：惟楚-數學03；郵箱：wc14@xyh.com；學號：23562250