人教A版 (2019)必修 第一冊2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式導(dǎo)學(xué)案

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式導(dǎo)學(xué)案，共10頁。
第1課時　一元二次不等式的解法 課程標(biāo)準(1)掌握一元二次不等式的解法．(2)能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題．  新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教 材 要 點要點一　一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是____的不等式，稱為一元二次不等式?.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.要點二　二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的________叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點?.要點三　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系 Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集________________________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集?________________________  助 學(xué) 批 注批注?　(1)“一元”指的是只有一個未知數(shù)，不代表只有一個字母，如a，b，c等．(2)“二次”指的是未知數(shù)的最高次必須存在并且是2，并且最高次系數(shù)不為0. 批注?　零點不是點，是交點的橫坐標(biāo)，是數(shù)． 批注?　對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．  基 礎(chǔ) 自 測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}，則必有a＞0.(　　)(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(　　)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　)2．不等式(x＋1)(x－3)<0的解集是(　　)A．{x|－1<x<3}B.  {x|－3<x<1}C.  {x|x<－1或x>3}D.  {x|x<－3或x>1}3．不等式x2－4>0的解集是(　　)A.{x|－2<x<2}    B．{x|x<－2}C.{x|x>2}        D．{x|x<－2或x>2}4．不等式2x2－x≤0的解集為________．  題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1　不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1　解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.     方法歸納解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟  鞏固訓(xùn)練1　(1)不等式x2＋2x－3>0的解集是(　　)A．{x|x<－3或x>1}    B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3}        D．{x|－3<x<1}(2)不等式x(1－x)>0的解集是________．  題型 2　三個“二次”之間的關(guān)系例2　已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．     方法歸納已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式解集的一般步驟   鞏固訓(xùn)練2　(多選)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解為{x|x≤－3或x≥4}，則下列說法正確的是(　　)A．a＞0B．不等式bx＋c＞0的解集為{x|x＜－12}C．a＋b＋c＞0D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集為{x<－或x>} 題型 3　解含參數(shù)的一元二次不等式角度1　對判別式“Δ”進行討論例3　解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.     角度2　對根的大小進行討論例4　解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．      角度3　對二次項系數(shù)進行討論例5　設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.     方法歸納解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟    鞏固訓(xùn)練3　[2022·河北唐山高一期末]已知關(guān)于x的不等式：ax2－(3a＋1)x＋3<0.(1)當(dāng)a＝－2時，解此不等式；(2)當(dāng)a>0時，解此不等式．   第1課時　一元二次不等式的解法新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一一個　2　要點二實數(shù)x　要點三{x|x<x1或x>x2}　{x|x≠－}　R　{x|x1<x<x2}　?　?[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．解析：由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，即原不等式的解集為{x|－1<x<3}．答案：A3．解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，解得x<－2或x>2，所以不等式的解集為{x|x<－2或x>2}．答案：D4．解析：由2x2－x≤0得x(2x－1)≤0，解得0≤x≤，故不等式2x2－x≤0的解集為.答案：題型探究·課堂解透例1　解析：(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為≤0，所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由x2＋2x－3>0，得(x－1)(x＋3)>0，解得x<－3或x>1.所以原不等式的解集為{x|x<－3或x>1}．(2)∵不等式x(1－x)>0可化為x(x－1)<0，解得：0<x<1，∴該不等式的解集是{x|0<x<1}．答案：(1)A　(2){x|0<x<1}例2　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為.方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6a<0，故原不等式的解集為.鞏固訓(xùn)練2　解析：由題意知，－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a＞0，即選項A正確；由韋達定理知，，即，所以不等式bx＋c＞0可化為－ax－12a＞0，即x＋12＜0，解得x＜－12，即選項B正確；不等式cx2－bx＋a＜0可化為－12ax2＋ax＋a＜0，即12x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，即選項D正確；因為1?{x|x≤－3或x≥4}，所以當(dāng)x＝1時，有a＋b＋c＜0，即選項C錯誤．答案：ABD例3　解析：Δ＝a2－16，下面分情況討論：(1)當(dāng)Δ＜0，即－4＜a＜4時，方程2x2＋ax＋2＝0無實根，所以原不等式的解集為R.(2)當(dāng)Δ＝0，即a＝±4時，若a＝－4，則原不等式等價于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，則原不等式等價于(x＋1)2＞0，故x≠－1；(3)當(dāng)Δ＞0，即a＞4或a＜－4時，方程2x2＋ax＋2＝0的兩個根為x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．此時原不等式等價于(x－x1)(x－x2)＞0，∴x＜x1或x＞x2.綜上，當(dāng)－4＜a＜4時，原不等式的解集為R；當(dāng)a＝－4時原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠1}；當(dāng)a＞4或a＜－4時，原不等式的解集為；當(dāng)a＝4時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}．例4　解析：原不等式等價于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)當(dāng)－1－a＜－1＋a，即a＞0時，－1－a≤x≤－1＋a；(2)當(dāng)－1－a＝－1＋a，即a＝0時，不等式即(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)當(dāng)－1－a＞－1＋a，即a＜0時，－1＋a≤x≤－1－a.綜上，當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為{x|－1－a≤x≤－1＋a}；當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為{x|－1＋a≤x≤－1－a}．例5　解析：(1)當(dāng)a＝0時，不等式可化為x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集為{x|x＞2}．(2)當(dāng)a≠0時，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－.①當(dāng)a＜－時，解不等式得－＜x＜2，即原不等式的解集為；②當(dāng)a＝－時，不等式無解，即原不等式的解集為?；③當(dāng)－＜a＜0時，解不等式得2＜x＜－，即原不等式的解集為；④當(dāng)a＞0時，解不等式得x＜－或x＞2，即原不等式的解集為.鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)當(dāng)a＝－2時，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，當(dāng)a＝－2時，原不等式解集為{x|x＜－或x＞3}．(2)當(dāng)a＞0時，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0，整理得：(x－3)(x－)＜0，當(dāng)a＝時，＝3，此時不等式無解；當(dāng)0＜a＜時，＞3，解得3＜x＜；當(dāng)a＞時，＜3，解得＜x＜3；綜上：當(dāng)a＝時，解集為?；當(dāng)0＜a＜時，解集為；當(dāng)a＞時，解集為.