專題05 規(guī)律探究-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題專項(xiàng)講練系列（蘇科版）

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?專題05 規(guī)律探究（壓軸題專項(xiàng)講練）

【典例1】觀察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝　 　2＝　 　2；
根據(jù)以上規(guī)律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝　 　2＝　 　2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路點(diǎn)撥】
（1）通過(guò)觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；
（2）通過(guò)觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；
（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算．
【解答過(guò)程】
解：（1）由題意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案為：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案為：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．

1．（2021?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：?a32，a64，?a98，a1216，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（　?。?br /> A．（﹣1）n﹣1a3n2n?1 B．（﹣1）na3n2n
C．（﹣1）n﹣1a3n2n D．（﹣1）na3(n?1)2n?1
【思路點(diǎn)撥】
由所給的單項(xiàng)式可看出，分母為2n，分子為a3n，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，據(jù)此即可作答．
【解答過(guò)程】
解：∵?a32=（﹣1）1×a3×121，
a64=（﹣1）2×a3×222，
?a98=（﹣1）3×a3×323，
a1216=（﹣1）4×a3×424，
…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：（﹣1）na3n2n．
故選：B．
2．（2021?五華區(qū)二模）列數(shù)81，82，83，84，…，82022，其中個(gè)位數(shù)字是8的數(shù)有（　?。?br /> A．672個(gè) B．506個(gè) C．505個(gè) D．252個(gè)
【思路點(diǎn)撥】
前面5個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是8，4，2，6，8，從而發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的個(gè)位數(shù)字以8，4，2，6，每4個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此可解答．
【解答過(guò)程】
解：∵81的個(gè)位數(shù)字是8，
82的個(gè)位數(shù)字是4，
83的個(gè)位數(shù)字是2，
84的個(gè)位數(shù)字是6，
85的個(gè)位數(shù)字是8，
86的個(gè)位數(shù)字是4，
…
∴這列數(shù)的個(gè)位數(shù)字以8，4，2，6，每4個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，
∵2022÷4＝505…2，
∴第2021個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)是8，
∴個(gè)數(shù)數(shù)字是8的個(gè)數(shù)為：505+1＝506（個(gè)）．
故選：B．
3．（2020秋?天橋區(qū)期末）對(duì)一組數(shù)（x，y）的一次操作變換記為P1（x，y），定義變換法則如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且規(guī)定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））為大于1的整數(shù)．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），則＝P2021（1，﹣1）＝（　?。?br /> A．（0，﹣21010） B．（21010，﹣21010）
C．（0，21011） D．（21011，21011）
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答過(guò)程】
解：根據(jù)題意的數(shù)字變換可知：
P1 （1，﹣1）＝（0，2），
P2 （1，﹣1）＝（2，﹣2），
P3 （1，﹣1）＝（0，4），
P4 （1，﹣1）＝（4，﹣4），
P5 （1，﹣1）＝（0，8），
P6 （1，﹣1）＝（8，﹣8），
…
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Pn（1，﹣1）＝（0，2n+12），
∴P2021（1，﹣1）＝（0，21011），
故選：C．
4．（2021?房縣一模）將正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列：

根據(jù)排列規(guī)律，則2021應(yīng)在（　?。?br /> A．A處 B．B處 C．C處 D．D處
【思路點(diǎn)撥】
規(guī)律：在A位置的數(shù)被4除余2，在B位置的數(shù)被4除余3，在C位置的數(shù)被4整除，在D位置的數(shù)被4除余1；由2021÷4＝505…1，即可得出結(jié)果．
【解答過(guò)程】
解：2021÷4＝505…1，
∴2021應(yīng)在1的位置，也就是在D處．
故選：D．
5．（2020秋?巴南區(qū)期末）如圖，古希臘人常用小石子（小黑點(diǎn)）在沙灘上擺成各種圖形來(lái)研究數(shù)．例如：圖1表示數(shù)字1，圖2表示數(shù)字5，圖3表示數(shù)字12，圖4表示數(shù)字22，…，依次規(guī)律，圖6表示數(shù)字（　　）

A．49 B．50 C．51 D．52
【思路點(diǎn)撥】
由圖形可看出每一條邊的小石子數(shù)是一樣的，從而不難發(fā)現(xiàn)每增加一層，其增加的小石子數(shù)為3n﹣2，從而可求解．
【解答過(guò)程】
解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：
圖1有1個(gè)小石子，
圖2有1+（3×2﹣2）＝5個(gè)小石子，
圖3有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）＝12個(gè)小石子，
圖4有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）＝22個(gè)小石子，
圖5有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）＝35個(gè)小石子，
圖6有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）+（3×6﹣2）＝51個(gè)小石子，
故選：C．
6．（2021?玉林）觀察下列樹(shù)枝分杈的規(guī)律圖，若第n個(gè)圖樹(shù)枝數(shù)用Yn表示，則Y9﹣Y4＝（　?。?br />
A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)已知圖中規(guī)律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+???+2n﹣1，相減可得結(jié)論．
【解答過(guò)程】
解：由題意得：
第1個(gè)圖：Y1＝1，
第2個(gè)圖：Y2＝3＝1+2，
第3個(gè)圖：Y3＝7＝1+2+22，
第4個(gè)圖：Y4＝15＝1+2+22+23，
???
第9個(gè)圖：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，
∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．
故選：B．
7．（2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬）漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活．下列圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡(jiǎn)化“漢”字，其中，圖①中共有12個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有18個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有25個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有33個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則，圖⑧中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．63 B．75 C．88 D．102
【思路點(diǎn)撥】
觀察并比較每?jī)蓚€(gè)相鄰的“漢字”的相同與不同之處，得出每?jī)蓚€(gè)相鄰的“漢字”中后一個(gè)“漢字”前半部分與前一個(gè)“漢字”的前半部分圓點(diǎn)數(shù)量相等，后一個(gè)“漢字”的后半部分的圓點(diǎn)數(shù)總是前一個(gè)“漢字”后半部分頂部加上圖案序號(hào)多2個(gè)的圓點(diǎn)與底部添加兩個(gè)圓點(diǎn)，進(jìn)而解決該題．
【解答過(guò)程】
解：在圖①中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y1＝12個(gè)．
在圖②中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y2＝y(tǒng)1+2+4＝18個(gè)．
在圖③中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y3＝y(tǒng)2+2+5＝25個(gè)．
在圖④中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y4＝y(tǒng)3+2+6＝33個(gè)．
..．
以次類推，在圖⑧中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y8＝y(tǒng)7+（2+10）＝y(tǒng)6+（2+9）+12
＝y(tǒng)5+（2+8）+11+12
＝y(tǒng)4+（2+7）+10+11+12
＝33+9+10+11+12
＝75．
故選：B．
8．（2021?城中區(qū)四模）觀察下面三行數(shù)：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；①
0，12，﹣24，84，﹣240，…；②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…；③
然后在每行中取第6個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的和為 　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題目中的數(shù)字，可以寫出每行的第n個(gè)數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系，然后寫出每行中的第6個(gè)數(shù)，再相加即可．
【解答過(guò)程】
解：∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243…； ①
0，12，﹣24，84，﹣240…； ②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81…； ③
∴第一行的第n個(gè)數(shù)為（﹣3）n，第二行的第n個(gè)數(shù)為（﹣3）n+3，第三行的第n個(gè)數(shù)為(?3)n3，
∴第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系是：第②行數(shù)的數(shù)字等于對(duì)應(yīng)的第①行的數(shù)字加3；
當(dāng)n＝6時(shí)，第一行的數(shù)為（﹣3）6，第二行的數(shù)為（﹣3）6+3，第三行的數(shù)為(?3)63，
（﹣3）6+[（﹣3）6+3]+(?3)63
＝729+（729+3）+7293
＝729+732+243
＝1704，
故答案為：1704．
9．（2020秋?天橋區(qū)期末）小剛在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根據(jù)以上規(guī)律，“2021”在第m行，從左往右數(shù)第n個(gè)，那么m+n＝　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)左起第一個(gè)數(shù)3，8，15，24…的變化規(guī)律得出第n行左起第一個(gè)數(shù)為（n+1）2﹣1，每一行數(shù)的個(gè)數(shù)為2n+1，由此估算出2021所在的行數(shù)，以及所在行數(shù)的位置即可．
【解答過(guò)程】
解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021這個(gè)數(shù)出現(xiàn)在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4個(gè)數(shù)．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案為48．
10．（2021?蚌埠二模）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：12＝13；
第2個(gè)等式：（1+2）2＝13+23；
第3個(gè)等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4個(gè)等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫出第5個(gè)等式：　 ??；
（2）寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式：　 ?。ㄓ煤琻的等式表示）；
（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求113+123+133+…+1003值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題目中給出的等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第n個(gè)等式；
（3）結(jié)合（2）可以求出所求式子的值．
【解答過(guò)程】
解：（1）根據(jù)題意可知：第5個(gè)等式為：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
故答案為：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
（2）根據(jù)（1）可得：第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式為：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
故答案為：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
（3）113+123+133+…+1003
＝13+23+33+43+53+...1003﹣（13+23+33+43+53+...103）
＝（1+2+3+...+100）2﹣（1+2+3+...+10）2
＝50502﹣552
＝25499475．

11．（2021春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）觀察下列等式：
①11×3=12×（1?13）；②13×5=12×（13?15）；③15×7=12×（15?17）…
根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)寫出第④個(gè)等式：　 　；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含有n的等式表示），并證明這個(gè)等式．
（3）應(yīng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
21×3+23×5+25×7+27×9?+22019×2021．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題目中的例子寫出第④個(gè)式子即可；
（2）由所給的例子不難看出第n個(gè)等式為：1(2n?1)(2n+1)=12×[12n?1?12n+1]，把等式右邊進(jìn)行運(yùn)算即可證明；
（3）所求的式子先提取一個(gè)2出來(lái)，再利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答過(guò)程】
解：（1）第④個(gè)等式為：17×9=12×(17?19)；
故答案為：17×9=12×(17?19)；
（2）∵①11×3=12×（1?13），整理得：1(2×1?1)×(2×1+1)=12×(12×1?1?12×1+1)；
②13×5=12×（13?15），整理得1(2×2?1)×(2×2+1)=12×(12×2?1?12×2+1)；
③15×7=12×（15?17），整理得：1(2×3?1)×(2×3+1)=12×(12×3?1?12×3+1)；
…
∴第n個(gè)等式為：1(2n?1)(2n+1)=12×[12n?1?12n+1]，
證明：右邊=12×[2n+1(2n?1)(2n+1)?2n?1(2n?1)(2n+1)]
=12×2n+1?2n+1(2n?1)(2n+1)
=12×2(2n?1)(2n+1)
=1(2n?1)(2n+1)，
∴左邊＝右邊．
（3）21×3+23×5+25×7+27×9+?+22019×2021
＝2×（11×3+13×5+15×7+17×9+?+12019×2021）
＝2×12×（1?13+13?15+15?17+17?19+?+12019?12021）
＝1?12021
=20202021．
12．（2020秋?福田區(qū)期末）如果我們要計(jì)算1+2+22+23+…+299+2100的值，我們可以用如下的方法：
解：設(shè)S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式兩邊同乘以2，則有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式減去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解運(yùn)用】計(jì)算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路點(diǎn)撥】
（1）利用題中的方法求出原式的值即可；
（2）根據(jù)題中的方法利用加法即可．
【解答過(guò)程】
解：（1）設(shè)S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式兩邊都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101?12，
則原式=3101?12；
（2）設(shè)S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式兩邊都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
則原式=3101+14．
13．（2021春?邗江區(qū)校級(jí)期末）（1）填空：21﹣20＝2（　 ?。?、22﹣21＝2（　 　）、23﹣22＝2（　 ?。ⅰ?br /> （2）探索（1）中式子的規(guī)律，請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：　 ??；
（3）直接計(jì)算：2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21＝　 　；
（4）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：21000+21001+21002+…+22020+22021．
【思路點(diǎn)撥】
（1）通過(guò)計(jì)算即可填空；
（2）結(jié)合（1）中式子的規(guī)律，即可寫出第n個(gè)等式；
（3）根據(jù)（2）中式子的規(guī)律，即可計(jì)算；
（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可．
【解答過(guò)程】
解：（1）21﹣20＝20、22﹣21＝21、23﹣22＝22，
故答案為：0、1、2；
（2）第n個(gè)等式：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
故答案為：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
（3）2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2198﹣…﹣22﹣21
＝22﹣21
＝21
＝2；
故答案為：2；
（4）21000+21001+21002+…+22020+22021
＝（21001﹣21000）+（21002﹣21001）+（21003﹣21002）+…+（22022﹣22021）
＝21001﹣21000+21002﹣21001+21003﹣21002+…+22022﹣22021
＝22022﹣21000．
14．（2021?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）計(jì)算：13(1+12)(1+13)+14(1+12)(1+13)(1+14)+?+12021(1+12)(1+13)(1+14)?(1+12021)．
【思路點(diǎn)撥】
將各項(xiàng)化簡(jiǎn)然后提取2倍，再裂項(xiàng)相消計(jì)算即可．
【解答過(guò)程】
解：原式=1332×43+1432×43×54+...+1202132×43×54×...×20222021
=13×24+14×25+...+12021×22022
＝2×（13×14+14×15+...+12021×12022）
＝2×（13?14+14?15+...+12021?12022）
＝2×（13?12022）
=6731011．
15．（2021?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）（12+13+?+12021）+（23+24+?+22021）+（34+35+?+32021）+…+（20192020+20192021）+20202021．
【思路點(diǎn)撥】
先去括號(hào)通分，然后找規(guī)律計(jì)算即可．
【解答過(guò)程】
解：原式=12+1+23+1+2+34+1+2+3+45+...+1+2+3+...+20202021
=12+22+32+42+...+20202
=1+2+3+4+...+20202
=2020×(2020+1)22
＝505×2021
＝1020605．
16．（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式：

（1）觀察圖形，寫出第（7）個(gè)等式：　 ??；根據(jù)圖中規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形的規(guī)律：　 　；（用含有n的式子表示）
（2）求出10+11+…+80的值．

【思路點(diǎn)撥】
（1）觀察圖形的變化可得第（7）個(gè)等式，進(jìn)而可得第n個(gè)圖形的規(guī)律；
（2）根據(jù)（1）中第n個(gè)圖形的規(guī)律即可進(jìn)行計(jì)算．
【解答過(guò)程】
解：（1）根據(jù)圖形的變化可知：第（7）個(gè)等式為：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n個(gè)圖形的規(guī)律為：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案為：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因?yàn)椋?+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+80=812?812=3240，
1+2+3+4+...+9=102?102=45，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
17．（2021?瑤海區(qū)二模）將圍棋的白色棋子按如圖所示的方式排列，圖中的白色棋子被折線隔開(kāi)分成若干層，第一層有1個(gè)白色棋子，第二層有3個(gè)白色棋子，第三層有5個(gè)白色棋子，第四層有7個(gè)白色棋子，…，以此類推，請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）第n層有　 　個(gè)白色棋子，圖中從第一層到第n層一共有　 　個(gè)白色棋子；
（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1921+1923+1925+…+2021的和．

【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得出每一小層白色棋子個(gè)數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用前面的規(guī)律即可得出答案．
【解答過(guò)程】
解：（1）根據(jù)題意得，
第一層有2×1﹣1＝1個(gè)白色棋子，
第二層有2×2﹣1＝3個(gè)白色棋子，
第三層有2×3﹣1＝5個(gè)白色棋子，
第四層有2×4﹣1＝7個(gè)白色棋子，
…，
∴第n層由2n﹣1（個(gè)）白色棋子；
從第一層到第二層共有1+3＝4＝22個(gè)白色棋子；
從第一層到第三層共有1+3+5＝9＝32個(gè)白色棋子；
從第一層到第四層共有1+3+5+7＝16＝42個(gè)白色棋子；
?
∴圖中從第一層到第n層一共有 1+3+5+7+?+（2n﹣1）＝n2（個(gè)）白色棋子；
故答案為：（2n﹣1）；n2．
（2）1921+1923+1925+…+2021
＝（1+3+5+7+?+2021）﹣（1+3+5+7+?+1919）
＝10112﹣9602
＝100521．
18．（2021?碭山縣一模）如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律．

根據(jù)此規(guī)律，回答下列問(wèn)題：
（1）第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為　 ?。?br /> （2）a＝　 ??；c＝　 　．
（3）根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)正方形中，d＝2564，則n的值為　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】
（1）觀察圖形可得第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)，相加即可求解；
（2）由已知圖形得出a＝（﹣1）n?2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n?2n，c＝b+4＝（﹣1）n?2n+4，即可求解；
（3）根據(jù)d＝a+b+c＝5×（﹣1）n?2n﹣1+4＝2564求解可得．
【解答過(guò)程】
解：（1）第5個(gè)圖形中的4個(gè)數(shù)分別是﹣16，﹣32，﹣28，﹣76
4個(gè)數(shù)的和為：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．
（2）a＝（﹣1）n?2n﹣1；
b＝2a＝（﹣1）n?2n，
c＝b+4＝（﹣1）n?2n+4．
（3）根據(jù)規(guī)律知道，若d＝2564＞0，
則n為偶數(shù)，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，
依題意有2n﹣1+2n+2n＝2560，
解得n＝10．
故答案為：﹣152；（﹣1）n?2n﹣1；（﹣1）n?2n+4；10．
19．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，做如下：
取一條長(zhǎng)度為1的線段三等分后，去掉中間段，余下兩條線段，達(dá)到第1階段；
將剩下的兩條線段分別三等分后，各去掉中間段，余下四條線段，達(dá)到第2階段；
再將剩下四條線段分別等三等分后，各去掉中間段，余下八條線段，達(dá)到第3階段；
…，
一直如此操作下去，在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多．
如圖是最初幾個(gè)階段，

（1）當(dāng)達(dá)到第5個(gè)階段時(shí)，余下的線段條數(shù)為　 ??；
（2）當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），去掉的線段的長(zhǎng)度之和為　 ?。ㄓ煤琻的式子表示）
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意具體表示出前幾個(gè)式子，然后推而廣之發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
【解答過(guò)程】
解：（1）根據(jù)題意知：第一階段時(shí)，余下的線段的條數(shù)為2，
第二階段時(shí)，余下的線段的條數(shù)為4＝22，
第三階段時(shí)，余下的線段的條數(shù)為8＝23…
以此類推，
第五個(gè)階段時(shí)，余下的線段的條數(shù)為25＝32；
故答案為：32；
（2）根據(jù)題意知：第一階段時(shí)，余下的線段長(zhǎng)度為23，
第二階段時(shí)，余下的線段長(zhǎng)度為23×23=（23）2，
第三階段時(shí)，余下的線段長(zhǎng)度為23×23×23=（23）3，
…
以此類推，
當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），余下的線段長(zhǎng)度為（23）n．
∴當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），去掉的線段的長(zhǎng)度之和為1﹣（23）n，
故答案為1﹣（23）n．
20．（2020秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)．

（1）當(dāng)圖（1）中小圓圈有10層的時(shí)候小圓圈的個(gè)數(shù)是：　 　；
（2）圖（2）中的小圓圈一共有 　 　個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）
（3）如果圖（1）中的圓圈共有13層，圖（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊第三個(gè)圓圈中的數(shù)是 　 ??；
（4）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖（4）的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填寫13層，求圖（4）中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和．
【思路點(diǎn)撥】
（1）計(jì)算第10層小圓圈的個(gè)數(shù)，就是計(jì)算1加到10的數(shù)的和；
（2）計(jì)算n層時(shí)，一共圓圈的個(gè)數(shù)，再乘以2得圖（2）圓圈的個(gè)數(shù)；
（3）首先計(jì)算12層圓圈的個(gè)數(shù)，可得第13層第1個(gè)數(shù)，由此得第三個(gè)圓圈中的數(shù)；
（4）首先計(jì)算圓圈的個(gè)數(shù)，把所有數(shù)的絕對(duì)值相加即可．
【解答過(guò)程】
解：（1）如圖（1），當(dāng)小圓圈有10層時(shí)，圖中共有：1+2+3+…+10＝55個(gè)圓圈；
故答案為：55；
（2）當(dāng)有n層時(shí)，一個(gè)正三角形共有：1+2+3+…+n=n(n+1)2個(gè)圓圈，
∴圖（2）中的小圓圈一共有：n（n+1）個(gè)，
故答案為：n（n+1）；
（3）圖（1）中，當(dāng)有12層時(shí)，圖中共有：1+2+3+…+12＝78個(gè)圓圈；
∴如果圖（1）中的圓圈共有13層，最底層最左邊第一個(gè)圓圈中的數(shù)是79，
則第三個(gè)圓圈中的數(shù)是：78+3＝81，
故答案為：81；
（4）圖4中所有圓圈中共有1+2+3+…+13=13(1+13)2=91個(gè)數(shù)，其中23個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)0，67個(gè)正數(shù)，
所以圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和為：
|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+67，
＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），
＝276+2278，
＝2554．