高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊第五章 三角函數(shù)5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用備課ppt課件

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第1課時　三角函數(shù)的應(yīng)用(一)
第五章　§5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解生活中具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的現(xiàn)象.
2.通過構(gòu)建三角函數(shù)模型，嘗試解決物理中的簡單問題.
導(dǎo)語
現(xiàn)實(shí)世界中，許多事物的運(yùn)動、變化呈現(xiàn)出一定的周期性，例如，地球的自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化；海水在月球和太陽引力下發(fā)生的漲落現(xiàn)象；做簡諧運(yùn)動的物體的位移變化；人體在一天中血壓、血糖濃度的變化等等，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它可以借助三角函數(shù)來描述，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相應(yīng)的實(shí)際問題，今天，我們就一起來探究如何構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題.
內(nèi)容索引
簡諧運(yùn)動

一
問題1　現(xiàn)實(shí)生活中存在大量周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動的變化現(xiàn)象，你能舉出哪些例子？
提示　彈簧振子的運(yùn)動，鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的振動，日出日落，潮漲潮落，一天溫度的變化，一天人員流動的變化等等.很顯然，三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“擬合”這種周期性的變化.
問題2　某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式.
提示　振子的振動具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動的物理學(xué)原理可知，其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)來刻畫.根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示.
知識梳理
1.在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”.簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.2.A就是這個簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；
注意點(diǎn)：
3πx－π
所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
反思感悟
若y＝Asin(ωx＋φ)是一個簡諧運(yùn)動的解析式，則A>0，ω>0，若A，ω不滿足條件，則利用誘導(dǎo)公式變形，使之滿足，再根據(jù)概念求值.
彈簧振子的振幅為2 cm，在6 s內(nèi)振子通過的路程是32 cm，由此可知該振子振動的A.頻率為1.5 Hz B.周期為1.5 sC.周期為6 s D.頻率為6 Hz
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三角函數(shù)“擬合”模型的應(yīng)用

二
下表所示的是某地2000～2021年的月平均氣溫(華氏度).
以月份為x軸，x＝月份－1，平均氣溫為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)描出散點(diǎn)圖，并用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；
根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，如圖所示.
(2)這個函數(shù)的周期是多少？
(3)估計這個正弦曲線的振幅A；
2A＝最高氣溫－最低氣溫＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.
∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
∴②不適合，同理④不適合，∴③最適合.
反思感悟
處理曲線擬合與預(yù)測問題時，通常需要以下幾個步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點(diǎn)圖.(2)通過觀察散點(diǎn)圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).
下表中給出了在24小時期間人的體溫的變化(從夜間零點(diǎn)開始計時)：
(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
散點(diǎn)圖如圖所示.
(2)選用一個三角函數(shù)來近似描述這些數(shù)據(jù).
設(shè)t時的體溫y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

三
已知電流I與時間t的關(guān)系為I＝Asin(ωt＋φ).
由題圖可知A＝300，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整數(shù)ω＝943.
反思感悟
處理物理學(xué)問題的策略(1)常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性.(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題.
列表如下：
描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示.
(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時的位移分別是多少？
小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時的位移分別是4 cm和－4 cm.
(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？
因?yàn)檎駝拥闹芷谑铅校孕∏蛲鶑?fù)振動一次所用的時間是π s.
課堂小結(jié)
1.知識清單： (1)簡諧運(yùn)動. (2)函數(shù)的“擬合”. (3)三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：選擇三角函數(shù)模型時，最后結(jié)果忘記回歸實(shí)際問題.
隨堂演練

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4.如圖為某簡諧運(yùn)動的圖象，則這個簡諧運(yùn)動需要________ s往返一次.
0.8
課時對點(diǎn)練

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2.音叉是呈“Y”形的鋼質(zhì)或鋁合金發(fā)聲器(如圖1)，各種音叉可因其質(zhì)量和叉臂長短、粗細(xì)不同而在振動時發(fā)出不同頻率的純音.敲擊某個音叉時，在一定時間內(nèi)，音叉上點(diǎn)P離開平衡位置的位移y與時間t的函數(shù)關(guān)系為y＝ sin ωt.圖2是該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定ω的值為A.200 B.400 C.200π D.400π
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得I＝2.5 A.
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∴I＝300sin(100πt＋φ).
6.(多選)如圖所示是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.8 sB.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cmC.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時運(yùn)動速度最大D.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時運(yùn)動速度為零
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最小值為－5，所以振幅為5 cm；在0.1 s和0.5 s時，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)運(yùn)動的端點(diǎn)，所以速度為0.
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描點(diǎn)、連線，畫圖如下.
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(2)回答以下問題：①小球開始擺動(即t＝0)時，離開平衡位置是多少？
小球開始擺動(即t＝0)時，離開平衡位置為3 cm.
②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？
小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm.
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③小球來回擺動一次需要多少時間？
小球來回擺動一次需要1 s(即周期).
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10.平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個觀測點(diǎn)觀測到該處水深y(米)是隨著一天的時間t(0≤t≤24，單位：小時)呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：
(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，從①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π0，h>0)來近似描述，則該港口在11：00的水深為______m.
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由題意得函數(shù)y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期為T＝12，
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15.穩(wěn)定房價是我國今年實(shí)施宏觀調(diào)控的重點(diǎn)，國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響，青島市某房地產(chǎn)中介對本市一樓盤在今年的房價作了統(tǒng)計與預(yù)測：發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均單價如下表所示：
則此樓盤在第三季度的平均單價大約是A.10 000元 B.9 500元C.9 000元 D.8 500元
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因?yàn)閥＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以當(dāng)x＝1時，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；當(dāng)x＝2時，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
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所以當(dāng)x＝3時，y＝9 000.
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16.在自然條件下，對某種細(xì)菌在一天內(nèi)存活的時間進(jìn)行了一年的統(tǒng)計與測量，得到10次測量結(jié)果(時間近似到0.1小時)，結(jié)果如下表所示：
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(1)試選用一個形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函數(shù)來近似描述一年(按365天計)中該細(xì)菌一天內(nèi)存活的時間y與日期位置序號x之間的函數(shù)解析式；
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細(xì)菌存活時間與日期位置序號x之間的函數(shù)解析式滿足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由已知表可知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，∴19.4－5.4＝14，故A＝7.又19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4.
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(2)用(1)中的結(jié)果估計該種細(xì)菌一年中大約有多少天的存活時間大于15.9小時.
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∴這種細(xì)菌一年中大約有121天(或122天)的存活時間大于15.9小時.