數(shù)學八年級上冊第2章 特殊三角形2.1 圖形的軸對稱精品教學設計

這是一份數(shù)學八年級上冊第2章 特殊三角形2.1 圖形的軸對稱精品教學設計，共54頁。
（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
由軸對稱的性質得到一下結論：
①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；
②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．
軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
2、作圖-軸對稱變換
幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，一般的方法是：
①由已知點出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；
③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．
3、軸對稱-最短路線問題
①、最短路線問題
在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．
②、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．
題型梳理
題型一 軸對稱圖形性質直接運用
1．如圖，在2×2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC，則與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形共有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
2．如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
3．如圖的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
4．如圖，若△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱，BB'交MN于點O，則下列說法不一定正確的是（ ）
A．AC＝A'C'B．BO＝B'OC．AA'⊥MND．AB＝B'C'
5．如圖，△ABC與△DEF關于直線l對稱，BE交l于點O，則下列說法不一定正確的是（ ）
A．AC＝DFB．BO＝EOC．AD⊥lD．AB∥EF
題型二 根據(jù)軸對稱求邊和角
1．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．如圖，∠MON內有一點P，P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
4．如圖，△ABC中，D點在BC上，∠B＝62°，∠C＝53°，將D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，并連接AE、AF．則∠EAF的度數(shù)為（ ）
A．124°B．115°C．130°D．106°
5．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（ ）
A．9B．10C．11D．12
6．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C＝20°，則∠B'度數(shù)為（ ）
A．110°B．70°C．90°D．30°
7．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．40°B．35°C．60°D．70°
8．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．12αB．90°-12αC．45°D．α﹣45°
9．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為 ．
10．如圖所示，點P為∠AOB內一點，分別作出P點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為 ．
11．如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點落在B′、D′點處，若得∠AOB′＝70°，則∠B′OG的度數(shù)為 ．
12．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為 cm2．
13．如圖，∠MON內有一點P，點P關于OM的軸對稱點是G，點P關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝ ．
14．如圖，∠BAC＝110°，若A，B關于直線MP對稱，A，C關于直線NQ對稱，則∠PAQ的度數(shù)是 ．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數(shù)為 ．
16．如圖是小明制作的風箏，為了平衡制成了軸對稱圖形，已知OC是對稱軸，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝ 度．
17．如圖，△AOB與△COB關于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，則∠ADC＝ °．
18．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，AD⊥BC于點D，點D關于AB、AC對稱的點分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于點M、N，分別連接DM、DN，若AD＝6，則△DMN的周長為 ．
題型三 軸對稱與最值問題
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
2．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ）
A．23B．26C．3D．6
3．如圖，已知∠O，點P為其內一定點，分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是（ ）
A．B．
C．D．
4．某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水．某同學用直線（虛線）l表示小河，P，Q兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪設的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，∠AOB＝30°，OC為∠AOB內部一條射線，點P為射線OC上一點，OP＝6，點M、N分別為OA、OB邊上動點，則△MNP周長的最小值為（ ）
A．3B．6C．33D．63
6．如圖，在銳角三角形ABC中AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．6
7．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是 ．
8．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是 ．
9．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為 ．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為
11．（1）如圖1，在AB直線一側C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．
（2）如圖2，在∠AOB內部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．
（3）如圖3，在∠AOB內部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．
題型四 周長最值求角
1．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
2．如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
3．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
4．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點P，M、N分別是AC和BC邊上的動點，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝8cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是8cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．已知點P在∠MON內．
（1）如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，則∠GOH＝ ；
②若PO＝5，連接GH，請說明當∠MON為多少度時，GH＝10；
（2）如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當△PAB的周長最小時，求∠APB的度數(shù)．
答案與解析
題型一 軸對稱圖形性質直接運用
1．如圖，在2×2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC，則與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形共有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】解答此題首先找到△ABC的對稱軸，EH、GC、AD，BF等都可以是它的對稱軸，然后依據(jù)對稱找出相應的三角形即可．
【解答】解：與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5個，
故選：C．
2．如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對稱的性質即可得到結論．
【解答】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，
∴點A與點B對應，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵點P時直線MN上的點，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正確，B錯誤，
故選：B．
3．如圖的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，找出對稱軸及相應的三角形即可．
【解答】解：如圖：
共3個，
故選：B．
4．如圖，若△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱，BB'交MN于點O，則下列說法不一定正確的是（ ）
A．AC＝A'C'B．BO＝B'OC．AA'⊥MND．AB＝B'C'
【分析】根據(jù)軸對稱的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C選項正確，
AB＝B′C′不一定成立，故D選項錯誤，
所以，不一定正確的是D．
故選：D．
5．如圖，△ABC與△DEF關于直線l對稱，BE交l于點O，則下列說法不一定正確的是（ ）
A．AC＝DFB．BO＝EOC．AD⊥lD．AB∥EF
【分析】根據(jù)軸對稱的性質解決問題即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF關于直線l對稱，
∴△ACB≌△DFE，直線l垂直平分線段AD，直線l垂直平分線段BE，
∴AC＝DF，AD⊥l，OB＝OE，
故選項A，B，C正確，
故選：D．
題型二 根據(jù)軸對稱求邊和角
1．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【分析】先根據(jù)△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形內角和定理即可得出結論．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故選：D．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由余角的性質可求∠C＝40°，由軸對稱的性質可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性質可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故選：A．
3．如圖，∠MON內有一點P，P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【分析】連接OP，根據(jù)軸對稱的性質可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．
【解答】解：如圖，連接OP，
∵P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故選：B．
4．如圖，△ABC中，D點在BC上，∠B＝62°，∠C＝53°，將D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，并連接AE、AF．則∠EAF的度數(shù)為（ ）
A．124°B．115°C．130°D．106°
【分析】連接AD，利用軸對稱的性質解答即可．
【解答】解：連接AD，
∵D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝53°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣53°＝65°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝130°，
故選：C．
5．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根據(jù)軸對稱的性質得到：AD＝DE，AC＝CE，結合已知條件和三角形周長公式解答．
【解答】解：∵點A與點E關于直線CD對稱，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故選：B．
6．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C＝20°，則∠B'度數(shù)為（ ）
A．110°B．70°C．90°D．30°
【分析】利用三角形內角和定理求出∠B，再利用軸對稱的性質解決問題即可．
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故選：A．
7．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．40°B．35°C．60°D．70°
【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根據(jù)四邊形內角和以及三角形外角性質，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°-12∠BAD．
【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，
∵點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE=12∠BAD＝55°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝35°，
故選：B．
8．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．12αB．90°-12αC．45°D．α﹣45°
【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根據(jù)四邊形內角和以及三角形外角性質，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°-12∠BAD．
【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，
∵點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE=12∠BAD=12α，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°-12α，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°-12α-90°＝90°-12α，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°-12α，
故選：B．
9．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為 10° ．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質可知∠CA′D＝∠A＝50°，然后根據(jù)外角定理可得出∠A′DB．
【解答】解：由題意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，
由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB＝10°．
故答案為：10°．
10．如圖所示，點P為∠AOB內一點，分別作出P點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為 15 ．
【分析】P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．
【解答】解：∵P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N．
∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．
故答案為：15
11．如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點落在B′、D′點處，若得∠AOB′＝70°，則∠B′OG的度數(shù)為 55° ．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質可得∠B′OG＝∠BOG，再根據(jù)∠AOB′＝70°，可得出∠B′OG的度數(shù)．
【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質得：∠B′OG＝∠BOG
又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°
∴∠B′OG=12×110°＝55°．
12．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為 8 cm2．
【分析】正方形為軸對稱圖形，一條對稱軸為其對角線；由圖形條件可以看出陰影部分的面積為正方形面積的一半．
【解答】解：依題意有S陰影=12×4×4＝8cm2．
故答案為：8．
13．如圖，∠MON內有一點P，點P關于OM的軸對稱點是G，點P關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝ 70° ．
【分析】連接OP，根據(jù)軸對稱的性質可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．
【解答】解：如圖，連接OP，
∵P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故答案為：70°．
14．如圖，∠BAC＝110°，若A，B關于直線MP對稱，A，C關于直線NQ對稱，則∠PAQ的度數(shù)是 40° ．
【分析】由∠BAC的大小可得∠B與∠C的和，再由線段垂直平分線，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，進而可得∠PAQ的大?。?br>【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵A，B關于直線MP對稱，A，C關于直線NQ對稱，
又∵MP，NQ為AB，AC的垂直平分線，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故答案為：40°．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數(shù)為 10° ．
【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性質求解即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，
∴∠AB′D＝∠B＝50°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，
故答案為10°．
16．如圖是小明制作的風箏，為了平衡制成了軸對稱圖形，已知OC是對稱軸，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝ 130 度．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質可知，軸對稱圖形的兩部分是全等的．
【解答】解：依題意有∠AOB＝2（∠A+∠ACO）＝2（∠A+∠BCO）＝130°．
17．如圖，△AOB與△COB關于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，則∠ADC＝ 70 °．
【分析】根據(jù)∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
【解答】解：∵△AOB與△COB關于邊OB所在的直線成軸對稱，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，
∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，
故答案為：70．
18．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，AD⊥BC于點D，點D關于AB、AC對稱的點分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于點M、N，分別連接DM、DN，若AD＝6，則△DMN的周長為 6 ．
【分析】連接AE，AF，依據(jù)軸對稱的性質，即可得到△AEF是等邊三角形，進而得出AE＝EF＝6，依據(jù)EM＝DM，F(xiàn)N＝DN，即可得到△DMN的周長＝DM+MN+DF＝EM+MN+NF＝6．
【解答】解：如圖，連接AE，AF，
∵點D關于AB、AC對稱的點分別為E、F，
∴AB垂直平分DE，AC垂直平分DF，
∴AE＝AD＝AF＝6，AB⊥DE，AC⊥DF，
∴∠EAB＝∠DAB，∠CAF＝∠CAD，
∵AB＝AC，∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE＝EF＝6，
∴EM+MN+NF＝6，
∵AB垂直平分DE，AC垂直平分DF，
∴EM＝DM，F(xiàn)N＝DN，
∴△DMN的周長＝DM+MN+DF＝EM+MN+NF＝6，
故答案為：6．
題型三 軸對稱與最值問題
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
【分析】如圖連接PC，只要證明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度．
【解答】解：如圖連接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，
故選：B．
2．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ）
A．23B．26C．3D．6
【分析】由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，BE與AC的交點為P，此時PD+PE＝BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE＝AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果．
【解答】解：設BE與AC交于點F（P′），連接BD，
∵點B與D關于AC對稱，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最?。?br>即P在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度；
∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB＝23．
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝23．
故所求最小值為23．
故選：A．
3．如圖，已知∠O，點P為其內一定點，分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質即可得到結論．
【解答】解：分別作點P關于∠O的兩邊的對稱點P1，P2，連接P1P2交∠O的兩邊于A，B，連接PA，PB，此時△PAB的周長最小．
故選：D．
4．某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水．某同學用直線（虛線）l表示小河，P，Q兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪設的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．
【解答】解：作點P關于直線l的對稱點C，連接QC交直線l于M．
根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項C鋪設的管道最短．
故選：C．
5．如圖，∠AOB＝30°，OC為∠AOB內部一條射線，點P為射線OC上一點，OP＝6，點M、N分別為OA、OB邊上動點，則△MNP周長的最小值為（ ）
A．3B．6C．33D．63
【分析】作點P關于OA的對稱點P1，點P關于OB的對稱點P2，連接P1P2，與OA的交點即為點M，與OB的交點即為點N，則此時M、N符合題意，求出線段P1P2的長即可．
【解答】解：作點P關于OA的對稱點P1，點P關于OB的對稱點P2，連接P1P2
與OA的交點即為點M，與OB的交點即為點N，
△PMN的最小周長為PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即為線段P1P2的長，
連接OP1、OP2，則OP1＝OP2＝OP＝6，
又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等邊三角形，
∴P1P2＝OP1＝6，
即△PMN的周長的最小值是6．
故選：B．
6．如圖，在銳角三角形ABC中AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．6
【分析】從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段之和的最小值．
【解答】解：如圖，在AC上截取AE＝AN，連接BE，
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME與△AMN中，
AE＝AN，∠EAM＝∠NAM，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM+MN＝BM+ME≥BE，
當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，此時BM+MN有最小值，
∵AB＝2，∠BAC＝45°，此時△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=2，即BE取最小值為2，
∴BM+MN的最小值是2．
故選：B．
7．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是 22 ．
【分析】過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作AP′⊥AD，由角平分線的性質可得出D′是D關于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關于AE的對稱點，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，
∴P′D′＝22，
即DQ+PQ的最小值為22，
故答案為：22．
8．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是 5 ．
【分析】首先確定DC′＝DE+EC′＝DE+CE的值最?。缓蟾鶕?jù)勾股定理計算．
【解答】解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于E，連接CE，
此時DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最小．
連接BC′，由對稱性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC邊的中點，
∴BD＝1，
根據(jù)勾股定理可得DC′=BC'2+BD2=22+12=5．
故答案為：5．
9．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為 23 ．
【分析】由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點．此時PD+PE＝BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE＝AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果．
【解答】解：連接BD，與AC交于點F．
∵點B與D關于AC對稱，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最?。?br>∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB＝23．
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝23．
故所求最小值為23．
故答案為：23．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為 245
【分析】如圖所示：在AB上取點F′，使AF′＝AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．因為EF+CE＝EF′+EC，推出當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最?。?br>【解答】解：如圖所示：在AB上取點F′，使AF′＝AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．
在Rt△ABC中，依據(jù)勾股定理可知BA＝10．
CH=AC?BCAB=245，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為245，
故答案為：245
11．（1）如圖1，在AB直線一側C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．
（2）如圖2，在∠AOB內部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．
（3）如圖3，在∠AOB內部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．
【分析】（1）由于△PCD的周長＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直線AB上找一點P，使PC+PD最小．如果設C關于直線AB的對稱點為C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；
（2）作P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD角OA、OB于E、F．此時△PEF周長有最小值；
（3）如圖3，作M關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，此時使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短．
【解答】解：（1）如圖1，作C關于直線AB的對稱點C′，
連接C′D交AB于點P．
則點P就是所要求作的點．
理由：在AB上取不同于P的點P′，連接CP′、DP′、C'P'．
∵C和C′關于直線l對稱，
∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，
而C′P+DP＜C′P′+DP′，
∴PC+DP＜CP′+DP′
∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′
即△CDP周長小于△CDP′周長；
（2）如圖2，作P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，連接PC，PD，則點E，F(xiàn)就是所要求作的點，
理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，
∵C和P關于直線OA對稱，D和P關于直線OB對稱，
∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，
∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，
∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如圖3，作M關于OA的對稱點C，作N關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，則點E，F(xiàn)就是所要求作的點．連接MC，ND．
理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′F′，DF′，
∵C和M關于直線OA對稱，
∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，
由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．
題型四 周長最值求角
1．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB=12∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD＝60°，即可得出結果．
【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB=12∠COD，
∵△PMN周長的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故選：B．
2．如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．
【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據(jù)軸對稱的性質，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則
△PMN的周長的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故選：B．
3．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，進而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″的長即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB＝120°，
∴∠AA′M+∠A″＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故選：B．
4．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點P，M、N分別是AC和BC邊上的動點，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根據(jù)對稱的性質，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求得∠D+∠G＝50°，繼而求得答案．
【解答】解：作點P關于AC，BC的對稱點D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN．此時△PMN的周長最?。?br>∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠EPF＝130°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故選：D．
5．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝8cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是8cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】分別作點P關于OB、OA的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB=12∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD＝60°，即可得出結果．
【解答】解：分別作點P關于OB、OA的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點P關于OA的對稱點為D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB=12∠COD，
∵△PMN周長的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN＝8，
∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故選：A．
6．已知點P在∠MON內．
（1）如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，則∠GOH＝ 100° ；
②若PO＝5，連接GH，請說明當∠MON為多少度時，GH＝10；
（2）如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當△PAB的周長最小時，求∠APB的度數(shù)．
【分析】（1）依據(jù)軸對稱可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，進而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②當∠MON＝90°時，∠GOH＝180°，此時點G，O，H在同一直線上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）設點P關于OM、ON對稱點分別為P′、P″，當點A、B在P′P″上時，△PAB周長為PA+AB+BP＝P′P″，此時周長最小．根據(jù)軸對稱的性質，可求出∠APB的度數(shù)．
【解答】解：（1）①∵點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案為：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
當∠MON＝90°時，∠GOH＝180°，
∴點G，O，H在同一直線上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如圖所示：分別作點P關于OM、ON的對稱點P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點A、B，
連接PA、PB，則AP＝AP'，BP＝BP“，此時△PAB周長的最小值等于P′P″的長．
由軸對稱性質可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．