數(shù)學冀教版2.圓的面積教學設計

這是一份數(shù)學冀教版2.圓的面積教學設計，共9頁。教案主要包含了新授，導入，資料鏈接等內容，歡迎下載使用。
冀教版小學數(shù)學六年級上冊第47～49頁。
教學提示
本節(jié)課的教學是在學生已經掌握了平行四邊形轉化成長方形推導面積公式的基礎上學習的，學生已經具備了一定轉化能力，因此在本節(jié)課圓面積計算公式的推導中可把圓轉化為已學過的長方形，由長方形面積公式推導出圓的面積計算公式。
教學目標
1．經歷估算飛鏢板面積、動手操作、討論等探索圓面積計算公式的過程。
2．理解并掌握圓的面積公式，能運用公式正確進行計算。
3．體驗圓面積公式推導的可行性和結論的確定性，感受轉化和無限分割等數(shù)學思想。
重點、難點
重點
圓面積的剪拼及圓面積計算公式的推導。
難點
極限思想的滲透與公式的推導。。
教學準備
教師準備：圓規(guī)，直尺，課件，圓紙片。
學生準備：長方形紙，圓規(guī)，直尺，三角板，剪刀，一個輪廓為圓的物體等。
。
教學過程
（一）新課導入：
師：同學們在課下都喜歡玩哪些游戲呢?
(學生自由發(fā)言)
師：同學們的愛好可真多，咱們看看亮亮喜歡什么?
(多媒體顯示)

生：是飛鏢板!
師：仔細看圖，你發(fā)現(xiàn)了什么?
生：飛鏢板被平均分成了20份，每份都像一個小三角形。
師：如果我們要估算一下飛鏢板表面的面積，該怎么辦呢?
學生討論，交流、匯報結果。
生1：把飛鏢板的表面看作是由20個小三角形組成，每個小三角形的底約是圓周長的元，高可近似地看作圓的半徑。先求出一個小三角形的面積，再求出20個小三角形的面積。
生2：我們把飛鏢板剪開，拼成近似的長方形。長方形的長約為圓周長的一半，寬可近似地看作圓的半徑，然后用長方形的面積公式計算。
師：有沒有更直接的方法呢?
二、新授
I探究公式。
(1)確定策略。
師：我們知道，圓的半徑決定了圓的大小，那么圓的面積和半徑究竟有怎樣的關系呢?請同學們猜猜看。
(學生自由發(fā)言)
師：同學們猜測的究竟對不對呢?我們來想辦法驗證一下。同學們回憶一下，當我們還不會計算平行四邊形面積的時候，是利用什么方法推導出了平行四邊形的面積計算公式呢?
生：我們是利用“割補法”把平行四邊形轉化成長方形推導出來的。
師：三角形和梯形的面積計算公式又是怎么推導出來的呢?
生：都是通過轉化，把三角形或梯形的面積轉化成學過的平行四邊形或長方形的面積推導出來的。
設計意圖：讓學生回憶舊知，引導學生應用舊知類比遷移。這樣，既實現(xiàn)了有意識地學法指導，又幫助學生找到了解決問題的策略。
(2)嘗試轉化。
師：那你準備用什么方法來推導圓面積的計算公式呢?
生：看是否能把圓轉化成學過的圖形從而推導出它的面積計算公式。
師：想法不錯，怎樣才能把圓轉化成學過的其他圖形呢?老師先給大家一點提示。
課件演示：我們把一個圓平均分成16等份(如下圖左)，那么每一份都是一個近似的等腰三角形(如下圖右)。請同學們觀察一下，這個近似的等腰三角形腰和底分別和原來這個圓有什么關系?

生：這個近似的等腰三角形的腰等于圓的半徑，底邊等于圓周長的。
師：我們把這些近似的三角形重新拼組，就可以將這個圓形“轉化”成其他圖形了。同學們，現(xiàn)在請你們拿出準備好的圓形紙片，以小組為單位，動手拼一拼，把這個圓形“轉化”成我們已學過的其他圖形好嗎?開始吧！
(學生分組操作，把圓形紙片剪裁、拼組轉化成學過的其他圖形)
設計意圖：給學生提供了自主剪拼的時間，也有意識地給學生提供了解決問題的方法和途徑。分組操作，能有效激發(fā)小組成員的干勁，更能促進不同層次的學生在原有水平上得到不同程度的提高與發(fā)展。
展示學生作品。
(3)尋找聯(lián)系。
師：剛才同學們都試圖把圓形轉化成學過的長方形、三角形或梯形，不管轉化成哪種圖形，什么是始終不變的?
生：面積。
師：對，我們以長方形為例，那么就有“圓的面積＝近似的長方形的面積”(板書)。同學們可以想象一下，如果把這個圓繼續(xù)分下去，32等份、64等份、128等份、256等份……一直這樣下去分成很多份，拼成的圖形又會怎樣呢?
生：就會變成真正的長方形。(課件演示，如圖)
課件演示：
設計意圖：極限意識的滲透能促使學生形成正確的“轉化”表象——“圓形轉化為長方形”。
(4)推導公式。
師：現(xiàn)在請同學們觀察一下，這個長方形的長和寬與原來的圓有什么聯(lián)系?如果圓的半徑為r，那么這個長方形的長和寬是多少?請同學們在小組里討論。
學生討論后，匯報：
生1：這個長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑。
生2：如果圓的半徑為r，那么這個長方形的長就是πr，寬就是r。
師：同學們的意見都是這樣嗎?那請看大屏幕。
課件演示：長方形的長，寬與圓的關系。
教師板書：
圓的面積 圓周長的一半 圓的半徑

長方形的面積 長 寬
師：我們知道長方形的面積；長X寬，那么圓的面積呢?現(xiàn)在你能說一說怎樣計算圓的面積嗎?
生：用圓周長的一半乘圓的半徑。
師：如果用S表示圓的面積，那么圓的面積S等于什么?
生：S＝πr2。
設計意圖：利用課件演示，化靜為動，化虛為實，幫助學生把抽象的內容具體化，進而加深對圓面積公式推導過程的理解。
教師結合學生的發(fā)言將板書補充完整。
師；同學們通過猜測、驗證、討論、總結，自己發(fā)現(xiàn)了圓面積的計算方法。真了不起，課后同學們還可以再研究研究是否能轉化成三角形和梯形，如果能，它們和原來的圓又有怎樣的關系，是否也能推導出圓面積的計算公式呢?
2．初步運用。
師：現(xiàn)在請同學們用圓的面積公式fL算飛鏢板的面積，試試看。
學生獨立解決。
3．運用新知，解決問題。
師：那我們來看——看教材第49頁“練一練”第1、2、3題。
學生獨立解決，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
師：同學們做得很好，這幾道題有什么規(guī)律?
生：都是已知半徑，求圓的面積，可以直接用圓的面積計算公式，
師：好！我們再來看一道題；一個圓形茶幾，桌面的直徑是l米，它的面積是多少平方米?
學生討論，指名匯報：
生1：如果知道茶幾的半徑就能求它的面積了。
生2：可以先求半徑再求面積。
師：同學們回答得不錯，遇到求圓的面積的問題，一定要先求出圓的半徑。
師：第49頁“練一練”第4題，要求學生獨立完成。先自己用圓規(guī)畫出一個圓，然后再計算面積。生獨立完成。
（三）鞏固新知：
1．填一填。
(1)將圓轉化成長方形后，長方形的面積相當于圓的面積。長方形的長相當于圓的( )，長方形的寬相當于圓的( )。因為長方形的面積＝( )，所以圓的面積＝( )；( )。
(2)把一個半徑為2分米的圓剪拼成一個近似的長方形，這個長方形的長是( )分米，寬是( )分米。
(3)把半徑為4厘米的圓轉化成一個長方形后，面積為( )平方厘米。
(4)一個圓的半徑是5厘米，它的面積是( )平方厘米。
(5)一個圓的半徑是6厘米，這個圓面積的言是( )平方厘米。
求下面各圓的面積。

3．一張光盤的半徑是S厘米，這個光盤的面積是多少?
4．和平公園的草地上有一個自動旋轉噴灌裝置，這個噴灌裝置的射程是12米。它能噴灌的面積是多少平方米?
答案：
1．⑴周長的一半 半徑 ×寬 ×r πr2
⑵6.28 2 ⑶50.24 ⑷78.5 (5)62.8
2．⑴28.26m2 ⑵78.5cm2
3．3.14×62＝113.04(平方厘米)
4．3.14×122＝452.16(平方米)

（四）達標反饋
1．求下面各圓的面積。

2．—塊圓形鐵板的半徑是8分米。它的面積是多少平方分米?
3．一種麥田的自動旋轉噴灌裝置的射程是20米。它能噴灌的面積有多少平方米?

4．求陰影部分的面積。

5．一只手表的分針長．8厘米，經過1小時后，這根分針掃過的面積是多少平方厘米?
答案：
1．(1)379.94 dm2 (2)1256 m2
2．3.14×82＝200.96(平方分米)
3．3.14×202＝1256(平方米)
4．(1)100.48平方厘米
(2)3.44平方分米
5．3.14×0.82＝2.0096(平方厘米)

（五）課堂小結
師：同學們，回顧一下這節(jié)課學習的內容，你學到了什么?是怎樣學會這些知識的?
學生自由發(fā)言。
小結：今天我們一起研究了圓的面積，成功地推導出了圓的面積計算公式，并學會了應用。希望同學們在今后的學習中能更好地運用轉化的方法去學習更多的數(shù)學知識。
設計意圖；通過總結、梳理新知，形成體系，培養(yǎng)學生的口頭表達能力，使學生有一種成就感，體驗數(shù)學學習的樂趣；同時小結也體現(xiàn)了學法指導，使學生由“學會”轉化為
“會學”，促使學生實現(xiàn)認知上的飛躍。
（六）布置作業(yè)
1．我是聰明的小法官。
(1)若小圓和大圓的半徑的比是1：2，則小圓和大圓面積的比 是1：2。 ( )
(2)r2表示r×2。 ( )
(3)一個半徑是1cm的圓，它的周長和面積相等。 ( )
(4)一個圓中直徑與周長的比是1：π。 ( )
2.求下面圖中陰影部分的面積。

3．如圖所示，正方形的周長是20厘米，圖形的總面積是多少平方厘米?

4．求花壇的面積(如下圖)。


5.一個正方形養(yǎng)魚池邊長是20米，中間有一個圓形小島，半徑是4米，這個養(yǎng)魚池的水域面積是多少平方米?5．如下圖中ABC是一個面積為6平方米的水池，四周是草地。A處木樁上拴著一只羊，拴羊的繩長9米。問羊可能吃到的草地面積最大是多少平方米?

答案：
1．⑴× ⑵× ⑶× ⑷√
2．86cm2
3．正方形邊長：20÷4＝5(厘米)
兩圓重合部分：3.14×52××2－5×5＝14.25(平方厘米)
圖形總面積：3.14×52×2－14.25＝142.75(平方厘米)
4．答案：圓的面積：3.14×(10÷2)2×2
＝3.14×25×2
＝157(平方厘米)
正方形面積：10×10＝100(平方厘米)
花壇面積：157＋100＝257(平方厘米)
答：花壇面積是257平方厘米。
5．20×20－3.14×42＝349.76(平方米)
板書設計
教學資料包
（一） 教學精彩片段
一、導入。
師：還記得這些平面圖形的面積計算公式嗎？
師：平行四邊形的面積公式推導過程還記得嗎？我們是通過剪拼的方法把它轉化成長方形的。
小結：把圓轉化成哪一個我們學過的平面圖形，從而得到它的面積公式，這是今天我們要學習的內容。板書：圓的面積
設計意圖：在復習引導中讓學生回想一下什么叫面積，理解平面圖形的面積，然后讓學生回憶長方形的面積是怎樣計算的，為學習圓的面積公式作鋪墊，同時回憶平行四邊形、三角形和梯形等圖形的面積計算公式的推導過程。通過直觀的演示，激發(fā)學生積極主動地學習。引導學生復習長方形的面積計算公式，滲透了要求圓的面積也需從轉化的思想放手。
二、新授。
師：請你摸一摸哪里是圓的面積？
師：圓所占平面的大小就是圓的面積。
師：圓與以前我們研究的平面圖形有什么不同？
生：圓是由一條封閉曲線圍成的平面圖形，而以前學過的平面圖形都是由幾條線段圍成的封閉圖形。
師：如何化曲為直呢？
引導學生操作：
師：（拿出一個圓片）我們怎么剪？圓的大小是由什么決定的？（直徑、半徑）
生：（圓的大小由直徑或半徑決定。）沿直徑或半徑剪。
師剪第一刀，再問:第二刀怎么剪？
師:我們要把圓通過剪成多份并用拼的方法轉化成學過的規(guī)則圖形，為了計算上的方便，我們把圓平均分成多份。
將一個圓分別平均分成2份、4分、8分、16份，分別羅列排好。請學生觀察四組圖。
師：隨著等分份數(shù)的不斷增加，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？
A：隨著等分份數(shù)的不斷增加，曲線越來越直。
B：隨著等分份數(shù)的不斷增加，每一小份越來越接近三角形。
設計意圖：讓學生經歷圓面積公式的推導過程，理解和掌握圓面積的計算公式是本節(jié)課的重點；由于圓與以前學習的直線圖形性質有很大不同，對“曲線圖形”轉化為直線圖形學生是第一次接觸，對學生已有知識和經驗都是一種挑戰(zhàn)，因此，“化圓為方”的轉化方法和極限思想的感受是本節(jié)課的難點。
（二） 數(shù)學資源
圓的面積
在半徑為只的圓中，當內接正多邊形的邊數(shù)不斷地成倍增加時，正多邊形的面積就越來
越接近于圓的面積。

如上圖，AB是圓O的內接正n邊形的一邊，OD垂直于AB(它的長度用r表示)，所以
△AOB的面積等于AB·r。正n邊形的面積等于△AOB的面積的n倍，因此，正n邊形的面積＝AB·r·n＝(AB·n)·r。因為正n邊形的周長p＝AB·n，所以正n邊形的面積
＝p·r。
當正n邊形的邊數(shù)不斷地成倍增加時，正n邊形的面積越來越接近：廠圓的面積，同時，正”邊形的周長夕也越來越近于圓的周長2πR。r也越來越接近于圓的半徑R。因此，圓的面積S＝pr＝×2πR×R＝πR2。

體會奧賽
下圖是一塊長20米、寬16米的長方形草地，若在A、B、C三處各用一根長4米的繩子拴一只羊。這三只羊最多各能吃多少平方米的草?

思路分析：羊在A點吃到草的形狀是圓，在B點吃到的草的形狀是圓，在c點吃到的草的形狀是一個圓，如圖。

答案：A：3．14×42×＝12.56(平方米)
B：3.14×42×＝25.12(平方米)
C：3.14×42＝50.24(平方米)

三、資料鏈接
規(guī)矩和直尺、圓規(guī)
規(guī)和矩發(fā)明于中國，是古人用來測量、畫圓形和方形的兩種工具?！耙?guī)”就是畫圓的圓規(guī)；“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人說“不以規(guī)矩，不能成方圓”就是這個意思。
規(guī)矩發(fā)明的確切年代已無法查清，但在公元前15世紀的甲骨文中，已有規(guī)、矩二字了。漢朝著名史學家司馬遷著的《史記》中有這樣的記載：夏禹治水的時候，是“左準繩，右規(guī)矩”，這意思是說，夏禹是左手拿著水準繩，右手拿規(guī)和矩進行測量，規(guī)劃出治水方案的。說明在夏禹治水的年代(約公元前2000年)就有了規(guī)和矩這兩種幾何工具了。
規(guī)矩的使用，對于我國古代幾何學的發(fā)展，有著很重要的意義。周代數(shù)學家商高曾對“用矩之道”作過理論總結：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠?！边@一段話，精煉地概括了矩的廣泛而靈活的用途。“平矩以正繩”，是指把矩的一邊放置水平，另一邊靠在一條豎立的線上，可以判定繩子是否垂直?！百染匾酝摺笔侵赴丫氐囊贿呇鲋硪贿叿牌?，可以測量高度?！案簿匾詼y深”是把上述測高的矩顛倒過來，就能測量深度?！芭P矩以知遠”是指上述測高的矩平躺在地面上，就可以測出遠處兩地間的距離。
古希臘人研究幾何問題時，一般用直尺和圓規(guī)這兩種工具。這種直尺沒有刻度，只能畫直線。古希臘人作圖只能從最基本的工具——直尺和圓規(guī)開始，完成盡可能多的幾何圖形。 由此產生了兩方面的問題：一是能否用直尺圓規(guī)畫出這個圖形，二是如果能畫出，怎么畫。對用直尺圓規(guī)作圖的研究，致使許多數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)。
圓面積公式的來源
約翰尼斯·開普勒是德國天文學家，他發(fā)現(xiàn)了行星運動的三大定律，這三大定律可分別描述為：所有行星分別是在大小不同的橢圓軌道上運行；在同樣的時間里行星半徑在軌道平面上所掃過的面積相等；行星公轉周期的平方與它同太陽距離的立方成正比。這三大定律最終使他贏得了“天空立法者”的美名。為哥白尼的日心說提供了最可靠的證據，同時他對光學、數(shù)學也做出了重要的貢獻，他足現(xiàn)代實驗光學的奠基人。
開普勒當過數(shù)學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數(shù)學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數(shù)。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，只要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分咸無窮多等分才行。
開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。圓面積等于無窮多個小扇形面積的和，所以在最后一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πr，所以有S＝πr2，這就是我們所熟悉的圓面積公式。
開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他將自己創(chuàng)造的這種求圓面積的新方法，發(fā)表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，并果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數(shù)學家們高度評價開普勒的工作，稱贊這本書是人們創(chuàng)造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。
圓的面積(一)
圓所占平面的大小叫做圓的面積。
圓的面積＝近似的長方形的面積
圓的面積 圓周長的一半 圓的半徑

長方形的面積 長 寬
S＝πr2