人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.2 乘法公式與全概率公式導(dǎo)學(xué)案

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.2 乘法公式與全概率公式導(dǎo)學(xué)案，共7頁(yè)。學(xué)案主要包含了第一學(xué)時(shí)，學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)習(xí)小結(jié)，精煉反饋，第二學(xué)時(shí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
【第一學(xué)時(shí)】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．通過(guò)乘法公式及其推廣的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。
2．借助乘法公式及其推廣解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】
1．掌握乘法公式及其推廣。（重點(diǎn)）
2．會(huì)用乘法公式及全概率公式求相應(yīng)事件的概率。（難點(diǎn)）
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、新知初探
乘法公式及其推廣
（1）乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B|A），其中P（A）＞0.
（2）乘法公式的推廣：
設(shè)Ai表示事件，i＝1，2，3，且P（Ai）＞0，P（A1A2）＞0，
則P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）。
其中P（A3|A1A2）表示已知A1與A2都發(fā)生時(shí)A3發(fā)生的概率，P（A1A2A3）表示A1A2A3同時(shí)發(fā)生的概率。
二、初試身手
1．思考辨析（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）P（AB）＝P（BA）。（ ）
（2）P（AB）＝P（A）P（B）。（ ）
（3）P（A1A2A3A4）＝P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2A3），其中P（A1）＞0，P（A2A1）＞0，P（A1A2A3）＞0.（ ）
2．已知P（B|A）＝eq \f(1,3)，P（A）＝eq \f(2,5)，則P（AB）等于（ ）
A．eq \f(5,6)B．eq \f(9,10)
C．eq \f(2,15)D．eq \f(1,15)
3．某人忘記了一個(gè)電話(huà)號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是（ ）
A．eq \f(1,10)B．eq \f(2,10)
C．eq \f(8,10)D．eq \f(9,10)
4．若P（B|A）＝eq \f(1,3)，則P（eq \(B,\s\up12(－))|A）＝________。
三、合作探究
【例1】一袋中裝10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，先后兩次從中隨意各取一球（不放回），求兩次取到的均為黑球的概率。
【例2】設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為eq \f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為eq \f(7,10)，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為eq \f(9,10)。試求透鏡落下三次而未打破的概率。
【例3】已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品。但采購(gòu)員不知有幾件次品，為慎重起見(jiàn)，他對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，則他拒絕購(gòu)買(mǎi)這一批產(chǎn)品。求采購(gòu)員拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品的概率。
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1．乘法公式P（AB）＝P（A）P（B|A）進(jìn)一步揭示了P（A），P（B|A）及P（AB）三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了“知二求一”的轉(zhuǎn)化化歸思想。
2．該公式同時(shí)也給出了“積事件”概率的另一種求解方式，即在事件A，B不相互獨(dú)立的前提下可考慮條件概率的變形公式，即乘法公式。
3．注意P（A）P（B|A）與P（B）P（A|B）的等價(jià)轉(zhuǎn)化。
【精煉反饋】
1．若P（B）＝eq \f(3,5)，P（A|B）＝eq \f(1,2)，則P（AB）為（ ）
A．eq \f(3,10)B．eq \f(5,6)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,5)
2．從一副不含大、小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽一張，則第2次才抽到A的概率是（ ）
A．eq \f(1,13)B．eq \f(1,17)
C．eq \f(16,221)D．eq \f(4,51)
3．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是________。
4．4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無(wú)放回地抽取，若已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率為_(kāi)_______。
5．已知6個(gè)高爾夫球中有2個(gè)不合格，每次取1個(gè)，不放回地取兩次，求兩次均取到不合格球的概率。
【第二學(xué)時(shí)】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．通過(guò)學(xué)習(xí)全概率公式及貝葉斯公式，體會(huì)邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
2．借助全概率公式及貝葉斯公式解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】
1．理解并掌握全概率公式。（重點(diǎn)）
2．了解貝葉斯公式。（難點(diǎn)）
3．會(huì)用全概率公式及貝葉斯公式解題。（易錯(cuò)點(diǎn)）
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、新知初探
1．全概率公式
（1）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（eq \(A,\s\up6(－))）P（B|eq \(A,\s\up6(－))）；
（2）定理1
若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿(mǎn)足：
①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n。
則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn。
2．貝葉斯公式
（1）一般地，當(dāng)0＜P（A）＜1且P（B）＞0時(shí)，有
P（A|B）＝eq \f(P?A?P?B|A?,P?B?)
（2）定理2 若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿(mǎn)足：
①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n。
則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有
P（Aj|B）＝eq \f(P?Aj?P?B|Aj?,P?B?)
二、初試身手
1．思考辨析（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（eq \(B,\s\up6(－))）P（A|eq \(B,\s\up6(－))）。（ ）
（2）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A）P（eq \(B,\s\up6(－))|A）。（ ）
（3）P（A|B）＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(P?B?P?A|B?,P?A?P?B|A?)（ ）
2．已知事件A，B，且P（A）＝eq \f(1,3)，P（B|A）＝eq \f(1,5)，P（B|eq \(A,\s\up6(－))）＝eq \f(2,5)，則P（B）等于（ ）
A．eq \f(3,5)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,15)
3．一袋中裝有大小、形狀均相同的5個(gè)球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)白球，從中先后不放回地任取一球，則第二次取到的是黑球的概率為_(kāi)_______。
4．對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，其合格率為55%。每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。則已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率約是________。
三、合作探究
【例1】甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品。
（1）從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率；
（2）若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率。
【例2】一項(xiàng)血液化驗(yàn)用來(lái)鑒別是否患有某種疾病。在患有此種疾病的人群中，通過(guò)化驗(yàn)有95%的人呈陽(yáng)性反應(yīng)，而健康的人通過(guò)化驗(yàn)也會(huì)有1%的人呈陽(yáng)性反應(yīng)。某地區(qū)此種病的患者僅占人口的0.5%。若某人化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，問(wèn)此人確實(shí)患有此病的概率是多大？
【例3】假定具有癥狀S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三種，現(xiàn)從20 000份患有疾病d1，d2，d3的病歷卡中統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)字：
試問(wèn)當(dāng)一個(gè)具有S中癥狀的病人前來(lái)要求診斷時(shí)，他患有疾病的可能性是多少？在沒(méi)有別的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1．全概率公式P（B）＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）在解題中體現(xiàn)了化整為零的轉(zhuǎn)化化歸思想。
2．貝葉斯概率公式反映了條件概率P（B|A）＝eq \f(P?AB?,P?A?)，全概率公式P（A）＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P（Bi）P（A|Bi）及乘法公式P（AB）＝P（B）P（A|B）之間的關(guān)系。
即P（Bj|A）＝eq \f(P?BjA?,P?A?)＝eq \f(P?Bj?P?A|Bj?,P?A?)
【精煉反饋】
1．有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，乘火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0.則他遲到的概率為（ ）
A．0.65B．0.075
C．0.145D．0
2．兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.04，第二臺(tái)的廢品率為0.07，加工出來(lái)的零件混放，并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為（ ）
A．0.21B．0.06
C．0.94D．0.95
3．某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別有2、6、9、3名。又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機(jī)選一人參加比賽，則該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率為_(kāi)_______。
4．袋中有10個(gè)黑球，5個(gè)白球?，F(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球。若已知取出的球全是白球，則擲出3點(diǎn)的概率為_(kāi)_______。
5．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為eq \f(1,7)，eq \f(1,5)，eq \f(1,4)現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人。
（1）求此人感染此病的概率；
（2）若此人感染此病，求此人來(lái)自乙地區(qū)的概率。類(lèi)型1
乘法公式及其應(yīng)用
類(lèi)型2
乘法公式的推廣及應(yīng)用
類(lèi)型3
乘法公式的綜合應(yīng)用
類(lèi)型1
全概率公式及其應(yīng)用
類(lèi)型2
貝葉斯公式及其應(yīng)用
類(lèi)型3
全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
疾病
人數(shù)
出現(xiàn)S癥狀人數(shù)
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500