九年級數(shù)學(xué)人教版上冊同步講義 第一講 解一元二次方程

這是一份九年級數(shù)學(xué)人教版下冊同步講義 第一講 解一元二次方程，共11頁。
第一講  解一元二次方程【知識梳理】1、一元二次方程概念定義：兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．2、一元二次方程一般式    形如(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特別注意二次項系數(shù)一定不為0，b、c可以為任意實數(shù)，包括可以為0，即一元二次方程可以沒有一次項，常數(shù)項。3、一元二次方程的解 概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。 應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值。4、解一元二次方程--直接開平方法形如對于，等形式均適用直接開方法5、解一元二次方程--配方法理論依據(jù)：完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。解法步驟：1、化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊都除以二次項系數(shù)；    2、移項：把常數(shù)項項移到方程的右邊；    3、配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方的形式；    4、解方程：若方程右邊是非負數(shù)，則可用直接開平方法解方程，否則無解。總結(jié)：6、解一元二次方程--因式分解法概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。因式分解的方法：提公因式法、運用公式法（完全平方公式，平方差公式）、分組分解法、十字相乘法。依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個0，即:若ab=0，則a=0或b=0。 因式分解的一般步驟：（1）將方程化為一元二次方程的一般形式。 （2）把方程的左邊分解為兩個一次因式的積，右邊等于0。 （3）令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程。 （4）解出這兩個一元一次方程的解，即可得到原方程的兩個根。總結(jié)：形如，左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”7、一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式為．（1）△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）△＝0方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）△<0方程沒有實數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．8、解一元二次方程--公式法概念：我們把公式（）稱為一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；一般步驟:（1）將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a>0.（2）找出系數(shù)a,b,c,注意各項的系數(shù)包括符號。（3）計算b2-4ac，若結(jié)果為負數(shù)，方程無解，（4）若結(jié)果為非負數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。9、韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）關(guān)于根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）（1）方程的兩根為、，則         （2）當(dāng)二次項系數(shù)為1時，方程的兩根為，則，（3）以、為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是 【經(jīng)典例題】【例題1】下列方程，是一元二次方程的是（　   ?。?/span>①3y2+x＝4，②2x2﹣3x+4＝0，③，④x2＝0A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④【變式訓(xùn)練1】1、（2019春?平房區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是（　  ?。?/span>A．3x2﹣5y+4＝0 B．﹣2x﹣1＝0 C．2x3+3x2﹣7＝0 D．5x（x﹣3）＝92、（2019春?渦陽縣期末）下列方程中，是一元二次方程的為（　   ?。?/span>A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝0 C．+＝0 D．x2+2﹣x（x﹣1）＝0【例題2】1、（2019春?永康市期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化為一般形式，正確的是（　   ?。?/span>A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝02、（2018秋?武陵區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（　  　）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2【變式訓(xùn)練2】1、方程的一次項系數(shù)是          ，一次項系數(shù)是          ，常數(shù)項是          。 2、將方程化成一元二次方程的一般形式，得           ；其中二次項系數(shù)是        ；一次項系數(shù)是          ；常數(shù)項是          .【例題3】1、（2019春?延慶區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一個根是1，則（　  　）A．a＝2 B．a＝1 C．a＝﹣2 D．a＝02、（2019春?溫嶺市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個根為﹣1，則a﹣b+c的值是（　   ?。?/span>A．﹣1 B．1 C．0 D．不能確定【變式訓(xùn)練3】1、（2019春?歷城區(qū)期末）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2m2﹣4m+2019的值為（　   ?。?/span>A．2022 B．2021 C．2020 D．20192、（2019春?北碚區(qū)校級期末）已知a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一個解，則a2﹣2a＝（　   ?。?/span>A．2019 B．4038 C． D．【例題4】用直接開方法解下列方程：        =0;          【變式訓(xùn)練4】用直接開方法解下列方程：（1） 　　?。?）　　　　　（3）   【例題5】用配方法解下列方程：（1）x2+8x=9       （2）3x2-5x=2．     【變式訓(xùn)練5】用配方法解下列方程：（1）x2+12x-15=0                  （2） x2-x-4=0   【例題6】1、將二次三項式x2-2x-5進行配方，其結(jié)果為___   ______．2、將二次三項式2x2-3x-5進行配方，其結(jié)果為___   ______．【變式訓(xùn)練】將下列各式配方：（1）2x2-7x+2；         （2）-3x2+5x+1     【例題7】用因式分解方法解下列方程：（1）4x2=11x            （2）（x-2）2=2x-4       【變式訓(xùn)練7】用因式分解方法解下列方程：(1)(2＋x)2－9＝0；     (2)x2－2x＝0；   【例題8】用公式法解下列一元二次方程：（1）x2+3x+1=0           （2）   （3）x2-2x=1    【例題9】(泰州中考)已知：關(guān)于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判別方程的根的情況；(2)若方程有一個根為3，求m的值．    【變式訓(xùn)練9】1、若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是(　　)A．k＞   B．k≥  C．k＞且k≠1    D．k≥且k≠12、已知關(guān)于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；(2)求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．   【例題10】1、若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的兩個根，則想x1+x2=        ；x1·x2=         ；x12+x22=           ．2、已知方程x2＋mx＋3＝0的一個根是1，則它的另一個根是__   ______。【變式訓(xùn)練10】1、關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2.（1）求m的取值范圍；（2）若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．     2、(煙臺中考)關(guān)于x的方程x2－ax＋2a＝0的兩根的平方和是5，則a的值是(　　)A．－1或5       B．1   C．5           D．－1【課堂訓(xùn)練】一、選擇題1.（2019春?南岸區(qū)校級期末）下方程中是一元二次方程的是（　　）A．x+1＝0 B．x+y＝2 C．＝2 D．x2＝12.（2019春?重慶期末）一元二次方程（x﹣5）（x+2）＝x+2的解為（　?。?/span>A．x＝﹣2 B．x＝5 C．x1＝﹣2，x2＝5 D．x1＝﹣2，x2＝63.（2019春?余杭區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一個根是﹣2，則a的值為（　?。?/span>A．4 B．﹣4 C． D．4.（2019?紅花崗區(qū)校級二模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的兩根，則的值是（　?。?/span>A． B． C．﹣3 D．35.（2019?玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　?。?/span>A．4 B．2 C．1 D．﹣26.（2019?梧州二模）一元二次方程2x2﹣5x﹣4＝0根的情況是（　?。?/span>A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判定該方程根的情況7.（2019?河南模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）A．k≥﹣3 B．k≤3 C．k＞﹣3 D．k＜38.（2019?新疆）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?/span>A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠19.（2019春?蒼南縣期末）將一元二次方程x2﹣4x+1＝0配方后，原方程可化為（　　）A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣4）2＝15二、選擇題10.（2019春?香坊區(qū)校級期中）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x﹣10＝0有一個根為2，則m的值是　　．11.（2019?青白江區(qū)模擬）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，則式子4m2+6m﹣2019的值為　    　　　．12.（2019?郫都區(qū)模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍為　　　　　．13.（2019春?香坊區(qū)校級期中）解下列方程：（1）81（x﹣2）2＝16；    （2）4x2+12x+9＝81；（3）2x（x+3）＝6（x+3）；    （4）x（2x﹣5）＝5﹣8x．    14.（2019春?蚌埠期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2+（k﹣5）x+4﹣k＝0（1）求證：無論k為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程的一個根是2，求另一個根及k的值．    15.（2019春?宣城期末）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0（1）方程有實數(shù)根，求m的范圍；（2）求方程兩根的倒數(shù)和。      【課后練習(xí)】1、一元二次方程y2＝－6y的解是(　　)A．－6        B．0   C．6          D．0或－62、(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，則該三角形的周長可以是(　　)A．5          B．7   C．5或7      D．103、（2019?長安區(qū)三模）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的值可能是（　　）A．1 B．          C．5 D．64、(貴港中考)若關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為(　　)A．－1    B．0   C．1     D．25、（2019?濱州模擬）關(guān)于x的方程﹣2x2+4x+1＝0的兩個根分別是x1、x2，則x12+x22是（　?。?/span>A．2    B．﹣2   C．3   D．56、用公式法解方程x2 = -8x-15，其中b2-4ac= _______，x1=_____，x2=________．7、(鞍山中考)對于實數(shù)a，b，我們定義一種運算“※”為：a※b＝a2－ab，例如：1※3＝12－1×3.若x※4＝0，則x＝________．8、關(guān)于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有實數(shù)根，則a滿足的條件是________．9、關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0有一根為0,則a=          10、(廣安中考)方程x2－3x＋2＝0的根是______；[來源:11、已知實數(shù)x滿足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，則代數(shù)式x2－x＋1的值為________．12、（2019春?濟南期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若方程的一個根是1，求另一個根及k的值．    13、（2019春?渦陽縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程兩根x1、x2與且x12+x22＝20，求k的值   14、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/span>：(1)9(x－1)2＝25；                   (2)6x2＋2x＝0；    (3)x2－8x＋11＝0；                 (4)x2－1＝3x＋3；    (5)(x－3)2＋x2＝9.