高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第二冊第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學案

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第2課時　對數(shù)函數(shù)的圖像和性質　基礎自測1.函數(shù)y＝ex的圖像與函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線y＝x對稱，則(　　)A．f(x)＝lgx　　B．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe2．若log3a＜0，＞1，則(　　)A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜03．下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是(　　)A．y＝3xB．y＝103xC．y＝log2xD．y＝x34．函數(shù)f(x)＝log3(4x－x2)的遞增區(qū)間是________．   　課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1　比較大小[教材P26例1]例1　比較下列各組數(shù)的大小：(1)log0.33與log0.35；(2)ln3與ln3.001；(3)log70.5與0.構造對數(shù)函數(shù)，利用函數(shù)單調性比較大?。?/span>【解析】　(1)因為0<0.3<1，所以y＝log0.3x是減函數(shù)，又因為3<5，所以log0.33>log0.35.(2)因為e>1，所以y＝lnx是增函數(shù)，又因為3.001>3，所以ln3<ln3.001.(3)因為7>1，所以y＝log7x是增函數(shù)，又因為log71＝0，而且0.5<1，所以log70.5<log71＝0. 教材反思比較對數(shù)值大小時常用的三種方法 跟蹤訓練1　(1)設a＝log2π，b＝，c＝π－2，則(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a(2)比較下列各組值的大?。?/span>①，.②log1.51.6，log1.51.4.③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.      狀元隨筆　(1)選擇中間量0和1，比較大?。?/span>(2)①②③利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小．④用中間量0比較大?。?/span>  題型2　解對數(shù)不等式[經(jīng)典例題]例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，則x的取值范圍為________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．       狀元隨筆　(1)利用函數(shù)y＝log0.7x的單調性求解．(2)分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論，解不等式． 方法歸納兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①當0＜a＜1時，可轉化為f(x)＞g(x)＞0；②當a＞1時，可轉化為0＜f(x)＜g(x).(2)形如logaf(x)＜b的不等式可變形為logaf(x)＜b＝logaab.①當0＜a＜1時，可轉化為f(x)＞ab；②當a＞1時，可轉化為0＜f(x)＜ab. 跟蹤訓練2　(1)滿足不等式log3x＜1的x的取值集合為________；(2)根據(jù)下列各式，確定實數(shù)a的取值范圍：①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a). (1)log33＝1.(2)由對數(shù)函數(shù)的單調性求解．  題型3　對數(shù)函數(shù)性質的綜合應用[經(jīng)典例題]例3　已知函數(shù)f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－2，求實數(shù)a的值．  真數(shù)大于0.分0＜a＜1，a＞1兩類討論.    方法歸納1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函數(shù)需注意的問題①要注意變量的取值范圍．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，則f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.②判斷y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函數(shù)的奇偶性，首先要注意函數(shù)中變量的范圍，再利用奇偶性定義判斷．2．形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調性判斷首先要確保f(x)＞0，當a＞1時，y＝logaf(x)的單調性在f(x)＞0的前提下與y＝f(x)的單調性一致．當0＜a＜1時，y＝logaf(x)的單調性在f(x)＞0的前提下與y＝f(x)的單調性相反． 跟蹤訓練3　已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋x2).求證：(1)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．   (1)函數(shù)是偶函數(shù)，f(－x)＝f(x).(2)用定義法證明函數(shù)是增函數(shù)．  第2課時　對數(shù)函數(shù)的圖像和性質[基礎自測]1．解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函數(shù)，所以f(x)＝lnx.答案：C2．解析：由函數(shù)y＝log3x，y＝的圖像知，0＜a＜1，b＜0.答案：D3．解析：指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，故選A.答案：A4．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，函數(shù)y＝log3(4x－x2)的定義域為(0，4).令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，當x∈(0，2]時，u＝4x－x2是增函數(shù)，當x∈(2，4]時，u＝4x－x2是減函數(shù)．又∵y＝log3u是增函數(shù)，∴函數(shù)y＝log3(4x－x2)的增區(qū)間為(0，2].答案：(0，2]課堂探究·素養(yǎng)提升跟蹤訓練1　解析：(1)a＝log2π＞1，b＝＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.(2)①因為函數(shù)y＝是減函數(shù)，且0.5＜0.6，所以＞.②因為函數(shù)y＝log1.5x是增函數(shù)，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.③因為0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.④因為log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.答案：(1)C　(2)①＞.②log1.51.6＞log1.51.4.③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.例2　【解析】　(1)∵函數(shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，即x的取值范圍是(1，＋∞).【解析】(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，當a＞1時，有解得2≤x＜3.當0＜a＜1時，有解得1＜x≤2.綜上可得，當a＞1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍為[2，3)；當0＜a＜1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍是(1，2].【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)見解析跟蹤訓練2　解析：(1)因為log3x＜1＝log33，所以x滿足的條件為即0＜x＜3.所以x的取值集合為{x|0＜x＜3}．(2)①函數(shù)y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)．因為log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，即實數(shù)a的取值范圍是a＞1.②函數(shù)y＝log0.5x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，因為log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，所以解得－1＜a＜1.即實數(shù)a的取值范圍是－1＜a＜1.答案：(1){x|0＜x＜3}　(2)①(1，＋∞)?、?－1，1)例3　【解析】　(1)由題意得解得－1＜x＜3，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－1，3).(2)因為f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，則當x＝1時，f(x)有最小值loga4，所以loga4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，則當x＝1時，f(x)有最大值loga4，f(x)無最小值．綜上可知，a＝.跟蹤訓練3　證明：(1)函數(shù)f(x)的定義域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．(2)設0＜x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝，由于0＜x1＜x2，則0＜＜，則0＜1＋＜1＋，所以0＜＜1.又函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以＜0.所以f(x1)＜f(x2).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．