2022年蘇科版中考數(shù)學(xué)幾何模型專題+中點(diǎn)模型+講義

這是一份2022年蘇科版中考數(shù)學(xué)幾何模型專題+中點(diǎn)模型+講義，共19頁。
中考數(shù)學(xué)幾何模型專題 中點(diǎn)模型【模型解讀】在初中幾何證明中，常會(huì)遇到與中點(diǎn)有關(guān)的問題。不少同學(xué)遇到這類問題時(shí)，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔助線。實(shí)際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助線以后的目的。能做到這三點(diǎn)，就能在解題時(shí)得心應(yīng)手。【模型一】三線合一，構(gòu)造全等三角形  ?【模型分析】等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等或邊相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”。【模型實(shí)例】例1．如圖，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，    求MN的長度。  【模型二】平行線夾中點(diǎn)如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．  【模型分析】如圖①，延長DE交AB于點(diǎn)F，易證：△DCE≌△FBE（AAS）。如圖②，延長AE交CD延長線于點(diǎn)F，易證：△ABE≌△FCE（AAS）【模型實(shí)例】——深圳中考例2．如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝為CD中點(diǎn)，連接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF＝（　?。?/span>A．1 B． C． D．
【模型三】倍長中線，構(gòu)造全等三角形【模型分析】如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E使DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）。如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長FD至點(diǎn)E使DE＝FD，易證：△FDB≌△FDC（SAS）。如圖③，D是BC中點(diǎn)，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，易證：△CDE≌△BDF（SAS）。當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移。【模型實(shí)例】例3．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．求證：∠AEF＝∠EAF．
 問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：________；(2)AD的取值范圍是________；方法運(yùn)用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中＝在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG＝CG．  
【模型四】構(gòu)造中位線【模型分析】多個(gè)中點(diǎn)出現(xiàn)或平行 +中點(diǎn)（中點(diǎn)在平行線上）時(shí)，?？紤]或構(gòu)造三角形中位線三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC，且來解題，中位線定理既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行問題。 【模型實(shí)例】錯(cuò)位中點(diǎn)問題例4．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝．【模型五】直角三角形斜邊上的中點(diǎn) 【模型分析】在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)或斜邊為定值時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ABD和△BDC，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用。【模型實(shí)例】例5．如圖，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長到E，使CE＝過點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長線交于點(diǎn)F，若BF＝8，則AB的長為（　　）A．6 B．7 C．8 D．10 如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，點(diǎn)E，F分別是AB，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝10，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CH、GH，則GH＋CH的最小值為________． 【模型六】反比例與中點(diǎn)問題 若，的中點(diǎn)為M，則.【模型分析】結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí).【模型實(shí)例】例6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸上，對(duì)角線BD∥x軸，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)E．若點(diǎn)A(2，0)、D(0，4)，則反比例函數(shù)的解析式為________．【模型七】“圓”背景下的中點(diǎn)問題 點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①       AC＝BC②       OC⊥AB③       PC平分∠APB④       (即)     【模型分析】“弧中點(diǎn)”作為條件時(shí)往往與與垂徑定理結(jié)合【模型實(shí)例】——2021湖南中考例7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：直線DE與⊙O相切；（2）若⊙O的直徑是10，∠A＝45°，求CE的長．     角形的時(shí)候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”。【模型實(shí)例】例1．如圖，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，    求MN的長度。【分析】連接AM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM⊥BC，根據(jù)勾股定理求得AM的長，再根據(jù)在直角三角形的面積公式即可求得MN的長．【解答】解：連接AM，∵AB＝AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，∴AM⊥CM(三線合一)，BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根據(jù)勾股定理得：AM＝＝＝4，又＝＝ ∴MN＝＝＝2．4． 【模型實(shí)例】——深圳中考例2．如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝為CD中點(diǎn)，連接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF＝（　?。?/span>A．1 B． C． D．【解答】解：如圖，延長AE交BC的延長線于G，∵E為CD中點(diǎn)，∴CE＝DE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G＝30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE(AAS)，∴CG＝AD＝＝EG＝∴AG＝AE＋EG＝＝∵AE⊥AF，∴AF＝AGtan30°＝＝4，GF＝AG÷cos30°＝＝8，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，則MN＝AD＝∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BM＝CN，∵MG＝AG﹒cos30°＝＝6，∴CN＝MG－MN－CG＝＝∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM＝∠G＝30°，∴FM＝AF﹒sin30°＝＝2，∴BF＝BM－MF＝＝．故選：D． 【模型實(shí)例】例3．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．求證：∠AEF＝∠EAF．證明：如圖，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM∵D是BC邊的中點(diǎn)∴BD＝CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1＝∠M，AC＝MB∵BE＝AC∴BE＝MB∴∠M＝∠3∴∠1＝∠3∵∠3＝∠2∴∠1＝∠2即∠AEF＝∠EAF  問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：________；(2)AD的取值范圍是________；方法運(yùn)用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中＝在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG＝CG．（1）由"SAS"可證△BED≌△CAD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE＝4，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3）延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，由"SAS"可證△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；（4）延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，由"SAS"可證△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通過證明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD是中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD(SAS)，故答案為：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（3）如圖2，延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如圖3，延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD(SAS)，∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝＝＝∴tan∠ADB＝＝∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF＋∠EFB＋∠DBC＋∠BDC＝180°，∴2∠DBC＋∠EFB＋∠NFG＝180°，又∵∠NFG＋∠BFE＋∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝＝＝且CD＝NF，∴＝∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝∴EG＝GC． 【模型實(shí)例】錯(cuò)位中點(diǎn)問題例4．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝．（法一）構(gòu)造中位線（法二）特殊值法（法三）倍長中線——構(gòu)造全等的同時(shí)也構(gòu)造了中位線【模型五】直角三角形斜邊上的中點(diǎn) 【模型分析】在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)或斜邊為定值時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ABD和△BDC，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用。 【模型實(shí)例】例5．如圖，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長到E，使CE＝過點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長線交于點(diǎn)F，若BF＝8，則AB的長為（　?。?/span>A．6 B．7 C．8 D．10【解答】解：∵D為AB的中點(diǎn)，BF∥DE，∴E為AF的中點(diǎn)，∴DE＝＝＝4，∵CE＝∴CD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴AB＝2CD＝6，故選：A． 如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，點(diǎn)E，F分別是AB，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝10，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CH、GH，則GH＋CH的最小值為________．【解答】解：由已知，點(diǎn)G在以B圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運(yùn)動(dòng)．作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′B，交AD于H，交以B為圓心，以5為半徑的圓于G由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)C′B的值最小最小值為＝＝50，則GH＋CH的最小值＝50－5＝45，故答案為：45．  【模型六】反比例與中點(diǎn)問題  若，的中點(diǎn)為M，則.【模型分析】結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí).【模型實(shí)例】例6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸上，對(duì)角線BD∥x軸，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)E．若點(diǎn)A(2，0)、D(0，4)，則反比例函數(shù)的解析式為________．【解答】解：∵BD∥x軸，D(0，4)，∴B、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都為4，∴可設(shè)B(x，4)．∵矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為E，∴E為BD中點(diǎn)，∠DAB＝90°．∵∠DAB＝90°，∵A(2，0)，D(0，4)，B(x，4)，解得x＝10，∴E(5，4)．∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，故答案為y＝．【模型七】“圓”背景下的中點(diǎn)問題 點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則有以下結(jié)論：⑤       AC＝BC⑥       OC⊥AB⑦       PC平分∠APB⑧       (即)   【模型分析】“弧中點(diǎn)”作為條件時(shí)往往與與垂徑定理結(jié)合【模型實(shí)例】——2021湖南中考例7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：直線DE與⊙O相切；（2）若⊙O的直徑是10，∠A＝45°，求CE的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直線DE與⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE為等腰直角三角形，∴OE＝＝∴CE＝OE－OC＝