專題02 集合與常用邏輯用語（知識梳理）-2021-2022學年高一數(shù)學單元復習（人教A版2019必修第一冊）學案

這是一份專題02 集合與常用邏輯用語（知識梳理）-2021-2022學年高一數(shù)學單元復習（人教A版2019必修第一冊）學案，共7頁。學案主要包含了數(shù)學抽象，數(shù)學運算，邏輯推理，數(shù)學建模等內容，歡迎下載使用。
1. 知識系統(tǒng)整合 2. 規(guī)律方法收藏1.在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢之時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確.2.對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號能否取到.解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系.3.對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結合思想的又一體現(xiàn).4.充分、必要條件與集合的關系，p，q成立的對象構成的集合分別為A和B.(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.(3)若A＝B，則p是q的充要條件.5.判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言.6.要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對照否定結構去寫，并注意與否命題的區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”. 3 學科思想培優(yōu)一、數(shù)學抽象數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)．主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法和思想，認識數(shù)學結構與體系．在本章中，主要表現(xiàn)在集合概念的理解及應用中.【典例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是(　　)A．1　　　　　　　　　 B．3C．5 D．9(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，則x＝________．【答案】(1)C　(2)－【解析】(1)①當x＝0時，y＝0，1，2，此時x－y的值分別為0，－1，－2；②當x＝1時，y＝0，1，2，此時x－y的值分別為1，0，－1；③當x＝2時，y＝0，1，2，此時x－y的值分別為2，1，0.綜上可知，x－y的可能取值為－2，－1，0，1，2，共5個，故選C.(2)由題意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.①當x－2＝－3時，x＝－1.把x＝－1代入，得集合的三個元素為－3，－3，12，不滿足集合中元素的互異性；②當2x2＋5x＝－3時，x＝－或x＝－1(舍去)，當x＝－時，集合的三個元素為－，－3，12，滿足集合中元素的互異性，由①②知x＝－.二、數(shù)學運算數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果．在本章中，主要表現(xiàn)在集合的交、并、補運算中.【典例2】(1)設集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　)A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝(　　)A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【答案】(1)C　(2)A【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．①求A∪B，(?RA)∩B；②若A∩C≠?，求a的取值范圍．【解析】①因為A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．因為A＝{x|2≤x＜7}，所以?RA＝{x|x＜2或x≥7}，則(?RA)∩B＝{x|7≤x＜10}．②因為A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠?，所以a＞2，所以a的取值范圍是{a|a＞2}．三、邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流．本章主要表現(xiàn)在集合的基本關系、充要條件及全稱量詞命題和存在量詞命題中.【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，則下列關系正確的是(　　)A．A＝B B．BAC．A?B D．BA(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}【答案】(1)B　(2)C【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴BA.(2)在數(shù)軸上標出A，B兩集合如圖所示，結合數(shù)軸知，若A?B，則a≥4.【典例4】設x∈R，則“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因為0≤x≤2?x≤2，x≤2 0≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分條件，故選B.【典例5】若a，b都是實數(shù)，試從①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中選出滿足下列條件的式子，用序號填空：(1)使a，b都為0的必要條件是________；(2)使a，b都不為0的充分條件是________；(3)使a，b至少有一個為0的充要條件是________．【答案】(1)①②③　(2)④　(3)①8【解析】①ab＝0?a＝0或b＝0，即a，b至少有一個為0；②a＋b＝0?a，b互為相反數(shù)，則a，b可能均為0，也可能為一正數(shù)一負數(shù)；③a(a2＋b2)＝0?a＝0，b為任意實數(shù)；④ab＞0?或即a，b同為正數(shù)或同為負數(shù)．綜上可知：(1)使a，b都為0的必要條件是①②③；(2)使a，b都不為0的充分條件是④；(3)使a，b至少有一個為0的充要條件是①.【典例6】已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．(1)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充分條件？(2)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的必要條件？【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分條件，則只要?{x|x＜－1或x＞3}，則只要－≤－1即m≥2，故存在實數(shù)m≥2時使x∈A是x∈B成立的充分條件．(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要條件，則只要?{x|x＜－1或x＞3}，則這是不可能的，故不存在實數(shù)m，使x∈A是x∈B成立的必要條件.【典例7】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，判斷真假 ，并寫出它們的否定：(1)空集是任何一個非空集合的真子集．(2)?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.(3)?x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．【解析】(1)該命題是全稱量詞命題，是真命題．該命題的否定：存在一個非空集合，空集不是該集合的真子集．(2)該命題是全稱量詞命題，是假命題．因為4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2.該命題的否定：?x∈R，4x2≤2x－1＋3x2.(3)該命題是存在量詞命題，是真命題．因為當x＝1時，|x－2|＝1＜2.該命題的否定：?x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.(4)該命題是全稱量詞命題，是假命題．當a≠0時，方程ax＋b＝0才恰有一解．該命題的否定：?a，b∈R，方程ax＋b＝0無解或至少有兩解．四、數(shù)學建模數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題，在本章主要表現(xiàn)在集合的實際應用問題中.【典例8】某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人．【答案】8【解析】設參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)構成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖．由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人．