2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識章末復(fù)習(xí)與總結(jié)學(xué)案北師大版(2019)必修第一冊

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章末復(fù)習(xí)與總結(jié)一、數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)．主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法和思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系．在本章中，主要表現(xiàn)在集合概念的理解及應(yīng)用中.集合的基本概念[例1]　定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1，2}，B＝{0，2}，則集合A*B中元素的個數(shù)為(　　)A．0　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．6[解析]　∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中元素的個數(shù)為3.[答案]　C二、數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果．在本章中，主要表現(xiàn)在集合的交、并、補(bǔ)運算及一元二次不等式的求解問題.集合的運算[例2]　(1)設(shè)全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1，3，7}，B＝{2，3，8}，則(?UA)∩(?UB)＝(　　)A．{1，2，7，8}  B．{4，5，6}C．{0，4，5，6}  D．{0，3，4，5，6}(2)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：①A∩B；②A∪B；③?R(A∩B)．(1)[解析]　∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?UA＝{0，2，4，5，6，8}，?UB＝{0，1，4，5，6，7}，∴(?UA)∩(?UB)＝{0，4，5，6}．[答案]　C(2)[解]　由已知得B＝{x|x≥－3}．①A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．②A∪B＝{x|x≥－4}．③?R(A∩B)＝{x|x＜－3或x＞－2}.解一元二次不等式[例3]　解下列關(guān)于x的不等式：(1)－1＜x2＋2x－1≤2；(2)m2x2＋2mx－3＜0.[解]　(1)原不等式等價于即由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0.由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.將①②的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖．求其交集得原不等式的解集為{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．(2)當(dāng)m＝0時，－3＜0恒成立，解集為R.當(dāng)m≠0時，二次項系數(shù)m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化為(mx＋3)(mx－1)＜0.當(dāng)m＞0時，解集為；當(dāng)m＜0時，解集為.三、邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流．本章主要表現(xiàn)在集合的基本關(guān)系、充要條件及全稱量詞命題和存在量詞命題、不等式的證明及應(yīng)用中.充分條件與必要條件的判斷[例4]　(1)設(shè)集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的(　　)A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件(2)(2021·北京市豐臺區(qū)檢測)a∈是方程ax＋3＝0有實數(shù)根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}的(　　)A．充分不必要條件  B．必要不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件[解析]　(1)由x∈M或x∈P可得x∈(M∪P)，而(M∩P)(M∪P)，所以“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分條件．故選B.(2)“方程ax＋3＝0有實數(shù)根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}”等價于“函數(shù)y＝ax＋3的圖象在－1≤x≤2時與x軸有交點”，則或解得a≥3或a≤－.所以a∈是方程ax＋3＝0有實數(shù)根x0且x0∈{x|－1≤x≤2}的充分不必要條件．[答案]　(1)B　(2)A集合間的關(guān)系[例5]　(1)(2021·杭州聯(lián)考)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，則下列關(guān)于集合A與B的關(guān)系正確的是(　　)A．A?B  B．ABC．BA  D．A∈B(2)(2021·天津河西區(qū)檢測)已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同時滿足兩個條件：①若a∈A1，則a?A2，②若a∈A2，則a?A1，則稱(A1，A2)是集合A的“互斥子集組”，并規(guī)定(A1，A2)與(A2，A1)為不同的“互斥子集組”，則集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集組”的個數(shù)是________．[解析]　(1)因為x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，則集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B.(2)①當(dāng)集合A1中只有1個元素({1}，{2}，{3}，{4}，共4種)時，集合A2是由集合A中除去這個元素后剩下的3個元素組成的集合的非空子集，這樣的“互斥子集組”共有4×(23－1)＝28(個)．②當(dāng)集合A1中有2個元素({1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6種)時，A2共有22－1＝3(個)，故此時這樣的“互斥子集組”有6×3＝18(個)．③當(dāng)集合A1中有3個元素({1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4種)時，A2只有1種情形，這樣的“互斥子集組”共有4×1＝4(個)．綜上所述，這樣的“互斥子集組”共有28＋18＋4＝50(個)．[答案]　(1)D　(2)50全稱量詞命題與存在量詞命題[例6]　(2021·濰坊市模擬)下列關(guān)于命題“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定正確的是(　　)A．?x∈R，均有x2＋x＋1＜0B．?x∈R，均有x2＋x＋1≥0C．?x∈R，使得x2＋x＋1≥0D．?x∈R，使得x2＋x＋1＝0[解析]　命題“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．[答案]　B不等式的性質(zhì)及應(yīng)用[例7]　已知a＋b＜0，且a＞0，則(　　)A．a2＜－ab＜b2  B．b2＜－ab＜a2C．a2＜b2＜－ab  D．－ab＜b2＜a2[解析]　法一：令a＝1，b＝－2，則a2＝1，－ab＝2，b2＝4，從而a2＜－ab＜b2，選A.法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b，因為a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，選A.[答案]　A不等式的證明[例8]　已知x>0，y>0，z>0，求證：≥8.[證明]　∵x>0，y>0，z>0，∴＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝z時，以上三個不等式等號同時成立．∴≥＝8.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝z時等號成立.利用基本不等式求最值[例9]　已知m＞0，n＞0，若m＝＋2，則mn的最小值為________；(2)已知a∈R，b＞0，且(a＋b)b＝1，則a＋的最小值是________．[解析]　(1)因為m＝＋2，化簡可得mn＝m＋2n≥2，故mn≥8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2n＝4時，等號成立，即mn的最小值是8.(2)法一：∵b＞0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝b，即b＝1時等號成立，故a＋的最小值為2.法二：∵(a＋b)b＝1，∴a＋＝a＋2b＝(a＋b)＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b＝1時等號成立．[答案]　(1)8　(2)2四、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題，在本章主要表現(xiàn)在集合、不等式的實際應(yīng)用中.集合的應(yīng)用[例10]　現(xiàn)有100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計中，下列說法正確的是(　　)A．最多人數(shù)是55  B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75  D．最多人數(shù)是80[解析]　設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則0≤x≤20.設(shè)以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.作出Venn圖，由圖可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.[答案]　B不等式的實際應(yīng)用[例11]　為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：t)之間滿足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50.已知每處理1 t的二氧化碳可獲得價值20萬元的某種化工產(chǎn)品．(1)判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利．如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則政府至少需要補(bǔ)貼多少萬元該工廠才不會虧損？(2)當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？[解]　(1)該技術(shù)改進(jìn)不能獲利．當(dāng)30≤x≤50時，設(shè)該工廠獲利S萬元，則S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700，所以當(dāng)30≤x≤50時，S的最大值為－700，－700＜0，因此該工廠不會獲利，政府至少需要補(bǔ)貼700萬元該工廠才不會虧損．(2)由題意，知二氧化碳每噸的平均處理成本P＝＝x＋－40，因為當(dāng)30≤x≤50時，P＝x＋－40≥2－40＝40，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40時等號成立，所以當(dāng)處理量為40 t時，每噸的平均處理成本最少．