高中人教A版 (2019)第七章 隨機(jī)變量及其分布7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征教案設(shè)計(jì)

這是一份高中人教A版 (2019)第七章 隨機(jī)變量及其分布7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征教案設(shè)計(jì)
7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值 教材分析 本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值 本節(jié)本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的均值和方差。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，知識(shí)上具有著承前啟后的作用。隨機(jī)變量的均值和方差是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念，節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程。 教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng) 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì) 難點(diǎn)：用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 課前準(zhǔn)備 多媒體 教學(xué)過(guò)程 教學(xué)反思 本節(jié)課需要學(xué)生探究的內(nèi)容比較多，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，所以在教學(xué)過(guò)程中教師不僅要耐心的指導(dǎo)，還要努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)輕松和諧的課堂氛圍，讓每個(gè)學(xué)生都能大膽的說(shuō)出自己的想法，保證每個(gè)學(xué)生都能學(xué)有所得。為了讓每個(gè)學(xué)生在課上都能有話說(shuō)，還需要學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，并且教師要給學(xué)生提出明確的預(yù)習(xí)目標(biāo)。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)． B．會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值． C．會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的均值的概念 2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì) 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求離散型隨機(jī)變量的均值 4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想 教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖 核心素養(yǎng)目標(biāo)問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。 我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差. 探究新知 探究1.甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？ 環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù) 當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9, 這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平. 同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高. 一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值. 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平. Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn三、典例解析 例1. 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少? 分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時(shí)X=1,不中時(shí)X=0,因此隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,X的均值反映了該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的平均得分水平. 解：因?yàn)镻(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布， 那么：　E(X)＝1×p+0×(1?p)=p． X10Pp1-p例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X,求X的均值. 分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計(jì)算X的均值。 解：X的分布列為?(X=k)= 16,k=1,2,3,4,5,6 因此,E(X)= 16(1+2+3+4+5+6)=3.5. 求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟： (1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值； (2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率； (3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)； (4)利用定義公式EX=i=1nxipi求出均值 跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值． [解]　X的取值分別為1,2,3,4. X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過(guò)了， 故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明第一次考試未通過(guò)， 第二次通過(guò)了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. X＝3，表明李明第一、二次考試未通過(guò)，第三次通過(guò)了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過(guò)， 故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為 X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 探究2. 已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，且分布列如下表所示. 設(shè)a,b都是實(shí)數(shù)且a≠0,，則Y =a?X+ b也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，這兩個(gè)隨機(jī)變量的均值之間有什么聯(lián)系呢？ Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì) 若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個(gè)隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地: (1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身. (2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)的和. (3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積. 例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示： 規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值. 歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000解：分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立 P(?=0)=?(A)=0.2, P(?=1000)=?(AB)=0.8×0.4=0.32,?(?=3000)=?(??C)=0.8×0.6×0.6=0.288, (?=6000)=(???)=0.8×0.6×0.4=0.192. X的分布列如下表所示： X0100040006000P0.20.480.1280.192?的均值為?(?)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336. 思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？ 解：如果按ACB的順序來(lái)猜歌,分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件， A,B,C相互獨(dú)立; (?=0)=?(A)=0.2, (?=1000)=?(AC)=0.8×0.4=0.32,?(?=3000)=?(?CB)=0.8×0.4×0.4=0.128, (?=6000)=(?CB)=0.8×0.4×0.6=0.192. X的分布列如下表所示： X0100030006000P0.20.320.2880.192 X的均值為E(X)=0×0.2+1000×0.48+4000×0.128+6000×0.192=2144. 按由易到難的順序來(lái)猜歌，獲得的公益基金的均值最大 猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872 例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案： 方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。 工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢? 分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：  天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水 概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。 解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3. 采用方案1,無(wú)論有無(wú)洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1. 采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時(shí),總損失為2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 于是,E(X1)=3800, E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100. 因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2. 值得注意的是,上述結(jié)論是通過(guò)比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來(lái)理解“期望總損失”:如果問(wèn)題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小,不過(guò),因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的,所以對(duì)于個(gè)別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的. 通過(guò)知識(shí)回顧，提出問(wèn)題. 通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見解。從而引入離散型隨機(jī)變量分布列均值的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過(guò)典例解析，提升對(duì)概念精細(xì)化的理解。引出兩點(diǎn)分布均值的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過(guò)典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1．若隨機(jī)變量X的分布列為 X－101Peq \f(1,2)eq \f(1,6)eq \f(1,3)則E(X)＝(　　) A．0 B．－1 C．－eq \f(1,6) D．－eq \f(1,2) C　[E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6).] 2.某射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6; P(X=2)=0.4×0.6=0.24; P(X=1)=0.42×0.6=0.096; P(X=0)=0.43=0.064. 所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376. 答案:C 3.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)=　　　　　.? ξ123P12t13解析:因?yàn)?2+t+13=1,所以t=16. E(ξ)=1×12+2×16+3×13=116. E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×116+2=152. 答案:152 4.設(shè)l為平面上過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,22.用X表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=　　　　　.? 解析:當(dāng)l的斜率k=±22時(shí),直線方程為±22x-y+1=0,此時(shí)d1=13;k=±3時(shí),直線方程為±3x-y+1=0,此時(shí)d2=12;k=±52時(shí),直線方程為±52x-y+1=0,此時(shí)d3=23;k=0時(shí),直線方程為y-1=0,此時(shí)d4=1.由等可能性事件的概率可得分布列為 X1312231P27272717所以E(X)=13×27+12×27+23×27+1×17=47. 答案:47 5.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.求: (1)ξ為何值時(shí),其發(fā)生的概率最大?并說(shuō)明理由. (2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解:(1)隨機(jī)變量ξ的可能取值是2,3,4,5,6, 當(dāng)ξ=4時(shí),其發(fā)生的概率最大. 因?yàn)镻(ξ=2)=3282=964, P(ξ=3)=2×3282=1864=932, P(ξ=4)=32+2×3×282=2164, P(ξ=5)=2×3×282=1264=316, P(ξ=6)=2282=464=116. 故當(dāng)ξ=4時(shí)滿足題意. (2)E(ξ)=2×964+3×932+4×2164+5×316+6×116=154.  通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 四、小結(jié) 1．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟 (1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值； (2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否； (3)根據(jù)公式寫出均值． 2．若X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，可直接利用公式計(jì)算均值． 五、課時(shí)練 通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。