高中數學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.2 函數的單調性第2課時學案

這是一份高中數學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.2 函數的單調性第2課時學案，共8頁。
3.1.2　函數的單調性第2課時學習目標1.理解斜率的含義及平均變化率的概念.2.掌握判斷函數單調性的充要條件.自主預習閱讀課本第97頁~101頁”2.函數的平均變化率”,并完成下列問題(1)完成課本這一部分的填空題目.(2)思考課本第98頁“嘗試與發(fā)現(xiàn)”.(3)直線斜率.(4)平均變化率.(5)平均變化率與函數單調性.課堂探究問題探究任務一　閱讀課本第97頁~101頁完成下列問題.1.直線的斜率定義.2.函數平均變化率.3.函數單調性的充要條件.4.平均變化率的物理意義.        任務二　簡單應用例1　利用平均變化率證明函數f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數.       例2　判斷直線y=kx+b(k≠0)的單調性.        　　要點歸納一次函數單調性與k的關系:       例3　證明函數f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數,在[-1,+∞)上是增函數.       要點歸納二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調性.        　　評價反饋1.(多選題)若函數f(x)在R上是減函數,則下列關系式不恒成立的是(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)2.一高為H、滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸水深為h時的水的體積為v,則函數v=f(h)的大致圖像可能是圖中的(　　)課后作業(yè)　課本第102頁第6題,第103頁B組第1,2題核心素養(yǎng)專練函數f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　.  參考答案自主預習略課堂探究任務一　略任務二　簡單應用例1　解:設x1≠x2,那么=-,如果x1,x2∈(-∞,0),則x1x2>0,此時<0,所以函數在(-∞,0)上是減函數,同理函數在(0,+∞)上是增函數.例2　解:設x1≠x2,那么==k.因此一次函數的單調性取決于k的符號.當k>0時一次函數在R上是增函數;當k<0時一次函數在R上是減函數.要點歸納　略例3　證明:設x1≠x2,則==x2+x1+2,因此當x1,x2∈(-∞,-1]時,x2+x1+2<0,從而<0,因此函數在(-∞,-1]上是減函數.因此當x1,x2∈[-1,+∞)時,x2+x1+2>0,從而>0,因此函數在[-1,+∞)上是增函數.要點歸納　略評價反饋1.ABC2.B核心素養(yǎng)專練10　-2學習目標1.了解函數的平均變化率,理解函數單調性與平均變化率的關系.2.會用函數單調性的充要條件證明簡單函數的單調性.在運用函數單調性充要條件過程中,提升數學運算和邏輯推理素養(yǎng).3.會根據函數的單調性解決一些實際問題,提升學生數學建模、數據分析的核心素養(yǎng).自主預習1.函數的平均變化率一般地,當x1≠x2時,稱=為函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率.2.函數單調遞增、遞減的充要條件一般地,若I是函數y=f(x)的定義域的子集,對任意x1,x2∈I且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),=,則:(1)y=f(x)在I上是增函數的充要條件是　　　　　　在I上恒成立; (2)y=f(x)在I上是減函數的充要條件是　　　　　　在I上恒成立. 課前檢測判斷.1.一次函數y=kx+b(k≠0)滿足Δy=kΔx.(　　)2.函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率=.(　　)3.已知函數f(x)=-x2+x的圖像上一點(-1,-2)及鄰近一點(-1+Δx,-2+Δy),則=(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　A.3 B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2 D.3-Δx新課導入　科考隊對“早穿棉襖午穿紗,圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進行科學考察,如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.請根據曲線圖思考下列問題:問題1　在區(qū)間[6,17]對應的曲線上任取不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),=一定大于零嗎?   問題2　如果在區(qū)間[2,10]對應的曲線上任取不同兩點C(x3,y3),D(x4,y4),=一定大于零嗎? 　　合作　如下圖所示,觀察函數圖像上任意兩點連線的斜率的符號與函數單調性之間的關系,并總結出一般規(guī)律.(1)(2) 函數單調遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都大于0,函數單調遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都小于0.課堂探究題型一　函數單調遞增、遞減充要條件的應用例1　證明函數f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數,在[-1,+∞)上是增函數,并求出這個函數的最值.  引申　判斷二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調性,并求出相應的最值.    跟蹤訓練1　證明f(x)=是定義域上的增函數.   題型二　利用單調性解求參數范圍例2　(1)已知函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數,試比較f(a2-a+1)與f的大小;(2)已知函數f(x)=若f(x)在R上是減函數,求實數k的取值范圍.   跟蹤訓練2　(1)函數f(x)=滿足:對任意的實數x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則實數a的取值范圍是(　　)A. B.C.[1,2] D.[1,+∞)(2)已知g(x)是定義在[-2,1]上的減函數,且g(t-1)>g(1-3t),求t的取值范圍.    題型三　實際應用例3　某產品生產廠家根據以往的銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產產品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本=固定成本+生產成本).銷售收入R(x)(萬元)滿足:R(x)=假定該產品產銷平衡(即生產的產品都能賣掉),根據上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:(1)寫出利潤函數y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本).(2)工廠生產多少臺產品時,可使盈利最多?     課堂練習1.向一個圓臺形的容器(如圖所示)中倒水,且任意相等的時間間隔內所倒的水體積相等,記容器內水面的高度y隨時間t變化的函數為y=f(t),則以下函數圖像中,可能是y=f(t)的圖像的是(　　)2.已知函數f(x)=4x2-kx-8在[5,+∞)上單調遞增,則實數k的取值范圍是(　　)A.(-∞,40) B.(-∞,40]C.(40,+∞) D.[40,+∞)3.已知函數f(x)=.(1)證明函數f(x)在(-1,+∞)上是減函數;(2)求x∈[0,3]時,函數f(x)的值域.      核心素養(yǎng)專練A組1.f(x)對任意兩個不相等的實數a,b,總有>0,則必有(　　)A.函數f(x)先增后減B.函數f(x)先減后增C.函數f(x)是R上的增函數D.函數f(x)是R上的減函數2.一物體的運動方程是s=3+t2,則在一小段時間[2,2.1]內相應的平均速度為(　　)A.0.41 B.3 C.4 D.4.13.已知函數f(x)=2x-3,當x≥1時,恒有f(x)≥m成立,則實數m的取值范圍是(　　)A.R B.(-∞,-1]C.[-1,+∞) D.?4.已知函數f(x)=則f(x)的最大值、最小值分別為(　　)A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不對5.已知函數f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上單調遞減,在[-2,+∞)上單調遞增,則f(x)在[1,2]上的值域為　　　　　. 6.f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數,則不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是　　　　　. 　　7.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示,試指出哪一個廠治污效果較好?   B組設函數f(x)=,其中a∈R.(1)若a=1,函數f(x)的定義域為[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若函數f(x)的定義域為(0,+∞),求使函數f(x)在定義域內是減函數的a的取值范圍.   參考答案自主預習　　略課堂探究題型一　函數單調遞增、遞減充要條件的應用例1　證明:設x1≠x2,則===x1+x2+2.因此:當x1,x2∈(-∞,-1]時,有x1+x2<-2,從而<0,因此f(x)在(-∞,-1]上是減函數;當x1,x2∈[-1,+∞)時,有x1+x2>-2,從而>0,因此f(x)在[-1,+∞)上是增函數.由函數的單調性可知,函數沒有最大值;而且,當x∈(-∞,-1]時,有f(x)≥f(-1),當x∈[-1,+∞)時,不等式也成立,因此f(-1)=-1是函數的最小值.引申用類似的方法可以證明,二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調性為:(1)當a>0時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,函數沒有最大值,但有最小值f=;(2)當a<0時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,函數沒有最小值,但有最大值f=.跟蹤訓練1　證明:函數f(x)=的定義域為[0,+∞),設?x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,則====>0,∴函數f(x)=在定義域[0,+∞)上是增函數.題型二　利用單調性求參數范圍例2　解:(1)由a2-a+1=+≥,而函數f(x)在(0,+∞)上是減函數,所以f(a2-a+1)≤f.(2)若f(x)=在R上是減函數,則解得k∈.跟蹤訓練2　(1)C(2)解:因為g(x)是定義在[-2,1]上的減函數,且g(t-1)>g(1-3t).所以所以則0≤t<.故t的取值范圍為0≤t<.題型三　實際應用例3　解:(1)由題意得G(x)=2.8+x,所以f(x)=R(x)-G(x)=(2)當x>5時,因為函數f(x)單調遞減,所以f(x)<f(5)=3.2(萬元),當0≤x≤5時,函數f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當x=4時,f(x)有最大值為3.6萬元,所以當工廠生產4百臺產品時,可使盈利最大為3.6萬元.課堂練習1.D　2.B3.(1)證明:設任意x1,x2∈(-1,+∞)且x1≠x2,則===,∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,∴<0,∴<0,∴函數f(x)在(-1,+∞)上是減函數.(2)解:由(1)的證明知,函數f(x)在(-1,+∞)上是減函數.∵[0,3]?(-1,+∞),∴函數f(x)在[0,3]上是減函數.∴函數f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)=2,最小值是f(3)=.∴函數f(x)在[0,3]上的值域是.核心素養(yǎng)專練A組1.C　2.D　3.B　4.A　5.[21,49]　6.7.解:在t0處,雖然W1(t0)=W2(t0),但>,即<,所以,在相同時間Δt內,甲廠比乙廠的平均治污率小.所以乙廠治污效果較好.B組解:f(x)===a-.(1)當a=1時,f(x)=1-,設任意x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,則==.又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,∴函數f(x)在[0,3]上是增函數.∴f(x)max=f(3)=1-=,f(x)min=f(0)=1-=-1.(2)設任意x3,x4∈(0,+∞),且x3≠x4,則x3+1>0,x4+1>0.若使f(x)在(0,+∞)上是減函數,則只要=<0,又=,∴當a+1<0,即a<-1時,有<0.∴a的取值范圍為(-∞,-1).