初中數(shù)學(xué)滬教版 (五四制)七年級(jí)下冊(cè)第十四章 三角形綜合與測(cè)試達(dá)標(biāo)測(cè)試

這是一份初中數(shù)學(xué)滬教版 (五四制)七年級(jí)下冊(cè)第十四章 三角形綜合與測(cè)試達(dá)標(biāo)測(cè)試，共30頁(yè)。
?滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期第十四章三角形同步訓(xùn)練
考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組
考生注意：
1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘
2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上
3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。
第I卷（選擇題 30分）
一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）
1、如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∠B=35°，則∠BAD=（ ）

A．110° B．70° C．55° D．35°
2、如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關(guān)系為（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
3、如圖，和全等，且，對(duì)應(yīng)．若，，，則的長(zhǎng)為（ ）

A．4 B．5 C．6 D．無(wú)法確定
4、已知三條線段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
5、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，則∠BOC等于（ ）
A．65° B．80° C．115° D．50°
6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直線a∥b，若BC在直線b上，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．60°
7、下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（ ）
A．2、4、7 B．4、5、9 C．5、8、10 D．1、3、6
8、我們稱網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)．如圖，在4×4的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
9、下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（　?。?br /> A．3 4 8 B．4 4 10 C．5 6 10 D．5 6 11
10、下列四個(gè)命題是真命題的有（　?。?br /> ①同位角相等；
②相等的角是對(duì)頂角；
③直角三角形兩個(gè)銳角互余；
④三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
第Ⅱ卷（非選擇題 70分）
二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）
1、如圖，直線ED把分成一個(gè)和四邊形BDEC，的周長(zhǎng)一定大于四邊形BDEC的周長(zhǎng)，依據(jù)的原理是____________________________________．

2、小華的作業(yè)中有一道數(shù)學(xué)題：“如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，BD＝4，AB＝4，AC=1，∠CED=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求CD的最大值．”哥哥看見(jiàn)了，提示他將△ACE和△BDE分別沿CE，連接A′B′．最后小華求解正確，得到CD的最大值是 _____．

3、如圖，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，則∠BAC＝_____．

4、一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2，另一邊長(zhǎng)為9，則它的周長(zhǎng)是________________．
5、如圖所示，將一個(gè)頂角∠B＝30°的等腰三角形ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得點(diǎn)B'，A，C在同一條直線上，則旋轉(zhuǎn)角α＝_____度．

三、解答題（10小題，每小題5分，共計(jì)50分）
1、如圖，在中，AD平分，于點(diǎn)E．求證：．

2、 “三等分角”是被稱為幾何三大難題的三個(gè)古希臘作圖難題之一．如圖1所示的“三等分角儀”是利用阿基米德原理做出的．這個(gè)儀器由兩根有槽的棒PA，PB組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，C點(diǎn)是棒PA上的一個(gè)固定點(diǎn)，點(diǎn)A，O可在棒PA，PB內(nèi)的槽中滑動(dòng)，且始終保持OA＝OC＝PC．∠AOB為要三等分的任意角．則利用“三等分角儀”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我們把“三等分角儀”抽象成如圖2所示的圖形，完成下面的證明．
已知：如圖2，點(diǎn)O，C分別在∠APB的邊PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求證：∠APB ＝∠AOB．

3、如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，∠BAP＝（30°＜＜60°），作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交直線AP于點(diǎn)E，連接BE．
（1）依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)；
（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
分析：①涉及的知識(shí)要素：圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……
②通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短，利用60°角構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移邊的目的．
請(qǐng)根據(jù)上述分析過(guò)程，完成解答過(guò)程．

4、如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE，求證：BD＝CE．

5、周老師帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)課上探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你完成下列問(wèn)題：

（1）已知：如圖①，在中，，，直線BD平分交AC于點(diǎn)D．求證：與都是等腰三角形；
（2）在證明了該命題后，小尹同學(xué)發(fā)現(xiàn)：圖②、③兩個(gè)等腰三角形也具有這種特性，請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫(huà)出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；
（3）接著，小尹又發(fā)現(xiàn)：還有一些非等腰三角形也具有這樣的特性：即過(guò)它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．
（4）請(qǐng)你寫(xiě)出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．
6、中，，以點(diǎn)為中心，分別將線段，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，的度數(shù)為_(kāi)_______；

（2）如圖2，當(dāng)吋，
①依題意補(bǔ)全圖2；
②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

7、如圖，在中，是的平分線，點(diǎn)在邊上，且．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，，求的大?。?br />
8、如圖，在中，AD是BC邊上的高，CE平分，若，，求的度數(shù)．

9、如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A=50°，求∠BCD的度數(shù)．

10、如圖，E為AB上一點(diǎn)，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求證：BC＝DE．


-參考答案-
一、單選題
1、C
【分析】
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)解答．
【詳解】
解：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°?35°＝55°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2、C
【分析】
由題意在射線AD上截取AE=AB，連接CE，根據(jù)SAS不難證得△ABC≌△AEC，從而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，證得∠B=∠CDE，即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，如圖所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC與△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線AE，CE．
3、A
【分析】
全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)題中信息得出對(duì)應(yīng)關(guān)系即可．
【詳解】
∵和全等，，對(duì)應(yīng)
∴
∴AB=DF=4
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的概念及性質(zhì)，應(yīng)注意①對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言的，指兩條邊、兩個(gè)角的關(guān)系，而對(duì)邊、對(duì)角是指同一個(gè)三角形的邊和角的位置關(guān)系②可以進(jìn)一步推廣到全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)及面積相等③全等三角形有傳遞性．
4、C
【分析】
根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，根據(jù)不等式的解集求整數(shù)m的最大值．
【詳解】
解：條線段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則
，即
又為整數(shù)，則整數(shù)m的最大值是7
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了求不等式的整數(shù)解，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．
5、C
【分析】
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根據(jù)角平分線的定義得到∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的代換即可求解．
【詳解】
解：如圖，∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×130°=115°．

故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和定理，并能根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行角的代換是解題關(guān)鍵．
6、C
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7、C
【分析】
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】
解：三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊．
A、，不能構(gòu)成三角形，此項(xiàng)不符題意；
B、，不能構(gòu)成三角形，此項(xiàng)不符題意；
C、，能構(gòu)成三角形，此項(xiàng)符合題意；
D、，不能構(gòu)成三角形，此項(xiàng)不符題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵．
8、A
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．
【詳解】
解：如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有0個(gè)；
②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有3個(gè)．
故共有3個(gè)點(diǎn)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．
9、C
【分析】
根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊對(duì)各選項(xiàng)分析判斷求解即可．
【詳解】
解：A．∵3+4＜8，
∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵4+4＜10，
∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵5+6＞10，
∴能組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵5+6=11，
∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形的任意兩邊之和大于第三邊是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10、B
【分析】
利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】
①兩直線平行，同位角相等，故錯(cuò)誤，是假命題；
②相等的角是對(duì)頂角，錯(cuò)誤，是假命題；
③直角三角形兩個(gè)銳角互余，正確，是真命題；
④三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形，正確，是真命題，
綜上所述真命題有2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了命題真假的判斷，要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說(shuō)明、推理、證明，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．
二、填空題
1、三角形兩邊之和大于第三邊
【分析】
表示出和四邊形BDEC的周長(zhǎng)，再結(jié)合中的三邊關(guān)系比較即可．
【詳解】
解：的周長(zhǎng)=
四邊形BDEC的周長(zhǎng)=
∵在中
∴
即的周長(zhǎng)一定大于四邊形BDEC的周長(zhǎng)，
∴依據(jù)是：三角形兩邊之和大于第三邊；
故答案為三角形兩邊之和大于第三邊
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是熟悉三角形兩邊之和大于第三邊的知識(shí)點(diǎn)．
2、7
【分析】
由翻折的性質(zhì)可證△EB'A'是等邊三角形，則A'B'＝A'E＝2，再根據(jù)CD≤A'C+A'B'+B'D，即可求出CD的最大值．
【詳解】
解：∵AB=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=2，
∵∠CED=120°，
∴∠AEC+∠DEB=60°，
∵將△ACE和△BDE分別沿CE，DE翻折得到△A′CE和△B′DE，
∴A'C=AC=1，AE=A'E=2，∠AEC=∠CEA'，DB=DB'=4，BE=B'E=2，∠DEB=∠DEB'，
∴∠A'EB'=60°，A'E=B'E=2，
∴△EB'A'是等邊三角形，
∴A'B'=A'E=2，
∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)A'，點(diǎn)B'，點(diǎn)D四點(diǎn)共線時(shí)，CD有最大值=A'C+A'B'+B'D=7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短等性質(zhì)，證明△EB'A'是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
3、108°108度
【分析】
先設(shè)∠B＝x，由AB＝AC可知，∠C＝x，由AD＝DB可知∠B＝∠DAB＝x，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，根據(jù)DC＝CA可知∠ADC＝∠CAD＝2x，再在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，求出x的值，從而求解．
【詳解】
設(shè)∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x，
在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°．
∴∠BAC＝108°．
故答案為：108°．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練進(jìn)行邏輯推理
4、20
【分析】
題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為2和9，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
【詳解】
解：分兩種情況：當(dāng)腰為2時(shí)，2＋2＜9，所以不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)腰為9時(shí)，2＋9＞9，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：2＋9＋9＝20．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
5、105
【分析】
利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAC，可得結(jié)論．
【詳解】
解：∵BC＝BA，∠B＝30°，
∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴旋轉(zhuǎn)角α＝180°﹣∠BAC＝105°，
故答案為：105．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的角度問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)角就是對(duì)應(yīng)線段的夾角．
三、解答題
1、證明見(jiàn)解析.
【分析】
延長(zhǎng)CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根據(jù)ASA證△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．
【詳解】
證明：延長(zhǎng)CE交AB于F，

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△FAE和△CAE中，
∵ ，
∴△FAE≌△CAE（ASA），
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，
∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是作輔助線后求出∠AFC＝∠ACE．
2、見(jiàn)解析
【分析】
由，得出為等腰三角形，由外角的性質(zhì)及等量代換得，再次利用外角的性質(zhì)及等量代換得，即可證明．
【詳解】
解：，
為等腰三角形，
，
由外角的性質(zhì)得：，
，
再由外角的性質(zhì)得：，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形、外角的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握外角的性質(zhì)及等量代換的思想進(jìn)行求解．
3、（1）圖見(jiàn)解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖所示：然后連接AD，先求出，然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由進(jìn)行求解即可；
（2）如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．先證明△BGE是等邊三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再證明∠ABG＝∠CBE，即可證明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，則AE＝EG＋AG＝BE＋CE．
【詳解】
解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖所示：連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵，
∴，
∵B、D關(guān)于AP對(duì)稱，
∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，
∴，
∴，
∴，
∴
∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．
證明：如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．
∵∠AEB＝60°，
∴△BGE是等邊三角形，
∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，
∴∠ABG＝∠CBE．
在△ABG和△CBE中，

∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵
4、見(jiàn)解析
【分析】
過(guò)A作AF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【詳解】
證明：如圖，過(guò)A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：等腰三角形的底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合．
5、
（1）見(jiàn)詳解；
（2）見(jiàn)詳解；
（3）見(jiàn)詳解；
（4）見(jiàn)詳解；
【分析】
（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，及角平分線定義易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，則可得AD=BD=CB，所以△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分為兩個(gè)小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中線等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線把直角三角形分為兩個(gè)等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個(gè)角要么是2倍關(guān)系，要么是3倍關(guān)系，可猜測(cè)只要所給的三個(gè)角中有2個(gè)角是2倍或3倍關(guān)系都可得到上述圖形；
（4）按照發(fā)現(xiàn)的（3）的特點(diǎn)來(lái)寫(xiě)，注意去掉特殊三角形的形式．
（1）
證明：在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD與△BDC都是等腰三角形
（2）
解：如下圖所示：

（3）
解：如圖所示：

（4）
解：特征一：直角三角形（直角邊不等）；
特征二：2倍內(nèi)角關(guān)系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的判定；注意應(yīng)根據(jù)題中所給的范例用類比的方法推測(cè)出把一般三角形分為兩個(gè)等腰三角形的一般結(jié)論．
6、
（1）120°
（2）①圖形見(jiàn)解析；②
【分析】
（1）根據(jù)進(jìn)而判斷出點(diǎn)E在邊AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），進(jìn)而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①依題意補(bǔ)全圖形即可；②先判斷出△ADE≌△ABC（SAS），進(jìn)而得出∠AEF=90°，即可判斷出Rt△AEF≌Rt△ACF，進(jìn)而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出結(jié)論．
（1）
（1）如圖1，

在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴點(diǎn)E在邊AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，
故答案為120°；
（2）
（2）①依題意補(bǔ)全圖形如圖2所示，

②如圖2，連接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，
∴∠EAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE=30°，
在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，
∴
【點(diǎn)睛】
此題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，判斷出△ADE≌△ABC是解本題的關(guān)鍵．
7、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由CD是的平分線得出，由得出
從而得出，由平行線的判斷即可得證；
（Ⅱ）由三角形內(nèi)角和求出，由角平分線得出，由三角形內(nèi)角和求出即可得出答案．
【詳解】
（Ⅰ）∵CD是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行線的判定以及三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵
8、85°
【分析】
由高的定義可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ACB的度數(shù)，結(jié)合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度數(shù)．由三角形外角的性質(zhì)可求出∠AEC的度數(shù)，
【詳解】
解：∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°．
∵∠AEC是△BEC的外角，，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．
答：∠AEC的度數(shù)是85°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，求出∠ECB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
9、25°
【分析】
直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=65°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得出答案．
【詳解】
∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵CD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BCD的度數(shù)為：180°?90°?65°=25°．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確得出∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
10、見(jiàn)解析
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用全等三角形的判定定理即可證明．
【詳解】
證明：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．