高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊4.4 冪函數(shù)鞏固練習(xí)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊4.4 冪函數(shù)鞏固練習(xí)，共6頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤與時(shí)間的關(guān)系，可選用( )
A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)
C．指數(shù)型函數(shù)D．對數(shù)型函數(shù)
D [結(jié)合“直線上升，對數(shù)增長，指數(shù)爆炸”可知，只有D選項(xiàng)對數(shù)型函數(shù)符合題設(shè)條件，故選D．]
2．某校甲、乙兩食堂2020年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知2020年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則2020年5月份營業(yè)額較高的是( )
A．甲B．乙
C．甲、乙營業(yè)額相等D．不確定
A [設(shè)甲以后每個月比前一個月增加相同的營業(yè)額a，乙每個月比前一個月增加營業(yè)額的百分比為x,1月份的營業(yè)額設(shè)為1，由題意得1＋8a＝1×(1＋x)8,5月份甲的營業(yè)額為1＋4a,5月份乙的營業(yè)額為1×(1＋x)4，即eq \r(1＋8a).
因?yàn)?1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2＞0，所以1＋4a＞eq \r(1＋8a)，所以2020年5月份營業(yè)額較高的是甲．]
3．某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2020年B．2021年
C．2022年D．2023年
B [若2018年是第一年，則第n年科研經(jīng)費(fèi)為1 300×1.12n，由1 300×1.12n＞2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12＞lg 2，得n×0.05＞0.19，n＞3.8，n≥4，即到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2 000萬元．]
4．某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，則第7年它們發(fā)展到( )
A．300只B．400只
C．500只D．600只
A [當(dāng)x＝1時(shí)，y＝100，得a＝100，故當(dāng)x＝7時(shí)，y＝100lg28＝300.]
5．碳十四是一種具有放射性的同位素，于1940年被首次發(fā)現(xiàn)，美國科學(xué)家應(yīng)用碳十四發(fā)明了碳十四年代測定法，并獲得了1960年的諾貝爾化學(xué)獎．已知當(dāng)生物死亡時(shí)，它體內(nèi)原有的碳十四含量按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個時(shí)間叫做半衰期，據(jù)此規(guī)律，生物體內(nèi)碳十四的含量P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為( )
A．P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t)B．P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(5 730t)
C．P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,5 730))D．P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(5 730,t))
C [根據(jù)大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，生物體內(nèi)碳十四的含量P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,5 730)).]
二、填空題
6．某個病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個數(shù))，則k＝________.經(jīng)過5小時(shí)，1個病毒能繁殖為________個．
2ln 2 1 024 [當(dāng)t＝0.5時(shí)，y＝2，∴2＝eeq \s\up12(eq \f(1,2)k)，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]
7．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒．
e6－1 [當(dāng)v＝12 000時(shí)，2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，
∴l(xiāng)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq \f(M,m)＝e6－1．]
8．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物．已知該動物繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則到第7年它們的數(shù)量為________只．
300 [將x＝1，y＝100代入y＝alg2(x＋1)中，得100＝alg2(1＋1)，解得a＝100，則y＝100lg2(x＋1)，所以當(dāng)x＝7時(shí)，y＝100lg2(7＋1)＝300.]
三、解答題
9．某人對東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝lga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個符合？并預(yù)測第8年的松樹高度．
[解] 據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：
由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對數(shù)型函數(shù)比較合理．
不妨將(2,1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.
故可用函數(shù)h＝lg3(t＋1)來擬合這個實(shí)際問題．
當(dāng)t＝8時(shí)，求得h＝lg3(8＋1)＝2，
故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米．
10．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq \f(1,3)，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
[解] 法一：∵每次過濾雜質(zhì)含量降為原來的eq \f(2,3)，過濾n次后雜質(zhì)含量為eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x).
依題意，得eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)≤eq \f(1,20)，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(7)＝eq \f(128,2 187)＞eq \f(1,20)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(8)＝eq \f(256,6 561)＜eq \f(1,20)，
∴由題意知至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求．
法二：接法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，
則n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
即n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，又n∈N*，
∴n≥8，即至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求．
11．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是( )
A．y＝0.2xB．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10)D．y＝0.2＋lg16x
C [A選項(xiàng)是一次函數(shù)，而沙漠增加值無這種倍數(shù)關(guān)系，顯然不適合；
B選項(xiàng)將三點(diǎn)代入，函數(shù)值與實(shí)際值差的太大，不適合；
C選項(xiàng)將x＝1,2,3分別代入得y＝0.2,0.4,0.8，與實(shí)際增加值比較接近；
D選項(xiàng)將x＝2代入得y＝0.45，將x＝3代入得y≈0.6，與實(shí)際值相差太多．]
12．(多選題)如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系：y＝at，有以下敘述，其中正確的是( )
A．這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2
B．第5個月時(shí)，浮萍面積會超過30 m2
C．浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要再經(jīng)過1.5個月
D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2，所經(jīng)過的時(shí)間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3
ABD [∵點(diǎn)(1,2)在函數(shù)圖像上，∴a1＝2，即a＝2，故A正確．
∵函數(shù)y＝2t在R上為增函數(shù)，且當(dāng)t＝5時(shí)，y＝32，故B正確．
4對應(yīng)的t＝2，經(jīng)過1.5月后面積是23.56))描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度．其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*)，f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān)．
(1)證明：當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降的；
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí)，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科．
[解] (1)證明：當(dāng)x≥7時(shí)，
f(x＋1)－f(x)＝eq \f(0.4,?x－3??x－4?).
而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y＝(x－3)(x－4)單調(diào)遞增，且(x－3)(x－4)>0，故函數(shù)f(x＋1)－f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降的．
(2)由題意可知0.1＋15ln eq \f(a,a－6)＝0.85，
整理得eq \f(a,a－6)＝e0.05，
解得a＝eq \f(e0.05,e0.05－1)×6≈20.50×6＝123,123∈(121,127]，
由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7