專題復(fù)習(xí)13 角-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊同步知識清單+例題講解+練習(xí)（人教版）

這是一份專題復(fù)習(xí)13 角-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊同步知識清單+例題講解+練習(xí)（人教版），文件包含專題復(fù)習(xí)13角解析版docx、專題復(fù)習(xí)13角原卷版docx等2份其他配套教學(xué)資源，歡迎下載使用。
知識點(diǎn)一：角的定義：
有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。或把一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度得到的圖形叫做角，端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的射線是角的邊。
知識點(diǎn)二：角的表示方法：
角的符號：“∠”
方法一：用表示頂點(diǎn)的大寫字母來表示角，即“∠O”。但只能是這個頂點(diǎn)只有1個角時。
方法二：用三個大寫字母表示角，即“∠AOB”。頂點(diǎn)字母在中間，可以用來表示任意的角。
方法三：用阿拉伯?dāng)?shù)字或希臘字母表示角，即“∠1”或“∠α”。需在角的內(nèi)部加上小弧線。
知識點(diǎn)三：角的度量與換算：
角的單位：度：“°”；分：“′”；秒：“″”
把周角360份等分，平均一份就是1度，記作：1°，把1°角60份等分，其中一份就是1分，記作：1′，把1分的角按60份等分，其中一份就是1秒，記作：1″。
角度的換算：1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2 直角，1直角＝90°。
1°＝ 60′，1′＝60″。若把度化成度分秒來表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足一分的部分化成秒。若把度分秒化為度，先把秒為單位的部分化作分，加上以分為單位的部分，再把他們的和化成度，加上以度為單位的部分即可。
知識點(diǎn)四：鐘面角度：
鐘面上一大格表示30°，一小格表示12°。
例題講解：
類型一：角的認(rèn)識與表示：
1．下列圖中的∠1也可以用∠O表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)只有一個角時可用一個大寫字母表示角，所以可判定答案．
【解答】解：選項A：∠1的頂點(diǎn)處只有一個角（小于平角），可用∠O表示，符合題意；
選項B：∠1頂點(diǎn)處有三個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；
選項C：∠1頂點(diǎn)處有2個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；
選項D：∠1頂點(diǎn)處有4個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意．
故選：A．
2．如圖，下列說法中不正確的是（ ）
A．∠1與∠COB是同一個角B．∠β與∠AOB是同一個角
C．∠AOC也可以表示為∠OD．∠AOB+∠BOC＝∠AOC
【分析】利用角的表示方法進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、∠1與∠COB是同一個角，故原題說法正確，不符合題意；
B、∠β與∠AOB是同一個角，故原題說法正確，不符合題意；
C、∠AOC不可以用∠O來表示，故原題說法錯誤，符合題意；
D、∠AOB+∠BOC＝∠AOC，故原題說法正確，不符合題意．
故選：C．
3．如圖，下列說法中不正確的是（ ）
A．∠1與∠AOB是同一個角
B．∠α與∠COB是同一個角
C．圖中共有三個角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
D．∠AOC可以用∠O來表示
【分析】利用角的表示方法進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、∠1與∠AOB是同一個角，故原題說法正確；
B、∠α與∠COB是同一個角，故原題說法正確；
C、圖中共有三個角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故原題說法正確；
D、∠AOC不可以用∠O來表示，故原題說法錯誤；
故選：D．
類型二：度分秒的換算：
1．若∠α＝5.12°，則∠α用度、分、秒表示為（ ）
A．5°12′B．5°7′12″C．5°7′2″D．5°10′2″
【分析】利用度分秒之間的換算關(guān)系進(jìn)行計算即可求解．
【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．
故選：B．
2．楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說：“我是30°15′，我應(yīng)該最大！”∠B說：“我是30.3°，我應(yīng)該最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我應(yīng)該和∠A一樣大！”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判！”，楊老師評判的結(jié)果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【分析】根據(jù)度、分、秒的換算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．將30°15′，30.3°，30.15°的單位統(tǒng)一，再進(jìn)行大小的比較．
【解答】解：∵∠A＝30°15′＝30°+（）°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，
故選：B．
3．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．63.5°＝63°50′B．18°18′18″＝18.33°
C．36.15°＝36°15′D．28°39′+17°31'＝46°10′
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)率，可得答案．
【解答】解：A、63.5°＝63°30′，計算錯誤；
B、18°18′18″＝18.305°，計算錯誤；
C、36.15°＝36°9′，計算錯誤；
D、28°39′+17°31'＝46°10'，計算正確；
故選：D．
類型三：鐘面角的計算：
1．鐘表9點(diǎn)15分時，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵? ）
A．170.5°B．172.5°C．175°D．180°
【分析】9點(diǎn)15分時，時針超過數(shù)字9一共15分鐘，分針指著3，根據(jù)兩個相鄰數(shù)字之間相隔30°及時針每分鐘走0.5度可得所成角的度數(shù)．
【解答】解：鐘表在9點(diǎn)15分時，分針與時針?biāo)傻慕鞘?0°×6﹣0.5°×15＝172.5°．
故選：B．
2．如圖，上午8：30時，時針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
【分析】首先根據(jù)題意畫出草圖，再根據(jù)鐘表表盤的特征：鐘面上每一格30°，進(jìn)行解答．
【解答】解：如圖：
8點(diǎn)30分，時針和分針中間相差2.5個大格．
∵鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，
∴8點(diǎn)30分分針與時針的夾角是2.5×30°＝75°．
故選：C．
類型四：規(guī)律確定角的個數(shù)：
1．如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中共有3個角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有6個角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時，則圖中共有10個角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時，則圖中角的個數(shù)是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【分析】∠MON內(nèi)畫1條、2條、3條射線時可以數(shù)出角的個數(shù)分別有3個、6個、10個角，當(dāng)畫n條時，由規(guī)律得到角的個數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：由題可得，畫n條射線所得的角的個數(shù)為：
1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），
∴當(dāng)n＝20時，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．
故選：C．
2．從點(diǎn)O引出n（n≥2）條射線組成如下圖形，當(dāng)n＝2時，構(gòu)成1個角；當(dāng)n＝3時，構(gòu)成3個角；當(dāng)n＝4時，構(gòu)成6個角；……，當(dāng)n＝20時共有多少個角？（ ）
A．190B．231C．401D．801
【分析】根據(jù)基本圖形，尋找角的個數(shù)變化的規(guī)律，即每增加一條射線，增加了多少角，找出角的個數(shù)與射線條數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：在∠AOB的內(nèi)部引一條射線，圖中共有1+2＝3個角；
若引兩條射線，圖中共有1+2+3＝6個角；
…
若引n條射線，圖中共有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）個角
所以當(dāng)n＝20時，×20×19＝190（個）
故選：A．
知識清單：
知識點(diǎn)一：角的度量：
測量角度數(shù)的工具是量角器。如圖：
是由一個中心和兩條0刻度線以及
刻度組成。
測量方法：把量角器的中心與角的頂點(diǎn)
重合，其中一條0刻度線與角的其中一條邊
重合，另一條邊所在刻度即為角的度數(shù)。注意：一定要從重合的0刻度線開始讀起。
知識點(diǎn)二：角的大小比較：
方法1：疊合法：把角的頂點(diǎn)和其中一邊重合，角的另一邊放在重合邊的同一側(cè)，離重合邊越遠(yuǎn)角度越大，反之越小。
方法2：度量法：直角用量角器度量比較。
注意：角的大小只與角兩邊的張開程度有關(guān)，與兩邊的長度無關(guān)。
知識點(diǎn)三：角的等分線：
角平分線：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線。如圖：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，則OC是角∠AOB的平分線。反之，若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。
角的三等分線：把角平均分成相等的三份。
角的四等分線：把角平均分成相等的四份。
以此類推。
知識點(diǎn)四：角的和、差、倍、分與角的計算：
角的和、差、倍、分與角的計算就是角度的和、差、倍、分與角度的計算。
例題講解：
類型一：角的度量：
1．用量角器測量∠AOB的度數(shù)，操作正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)量角器的使用方法解答．
【解答】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，0刻度線與邊的一邊重合，角的另一邊所經(jīng)過的量角器上所顯示的刻度就是被量角的度數(shù)．
觀察選項，只有選項C符合題意．
故選：C．
2．如圖，∠MON的度數(shù)可能是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
【分析】根據(jù)量角器的用法將量角器移至正確位置即可判定求解．
【解答】解：由量角器的位置可判斷ON與70°的刻度線接近平行，
∴將量角器右移，使點(diǎn)O與量角器的中心點(diǎn)位置重合時，ON與70°刻度線接近重合，
∴∠MON是70°，
故選：C．
類型二：角的大小比較：
1．用“疊合法”比較∠1與∠2的大小，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置即可判斷．
【解答】解：根據(jù)“疊合法”比較∠1與∠2的大小，可知：正確的是D．
故選：D．
2．在∠AOB內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定存在（ ）
A．∠AOB＞∠AOCB．∠AOC＞∠BOCC．∠BOC＞∠AOCD．∠AOC＝∠BOC
【分析】利用角的大小進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵射線OC在∠AOB的內(nèi)部，那么∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，且有一公共邊；
∴一定存在∠AOB＞∠AOC．
故選：A．
3．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，則∠1與∠2的大小關(guān)系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．無法判斷
【分析】將30.5°化成30°30′后，再進(jìn)行比較即可．
【解答】解：因為0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故選：C．
類型三：角平分線：
1．如圖，AM為∠BAC的平分線，則下列等式錯誤的是（ ）
A．∠BAC＝2∠BAMB．∠BAM＝∠CAM
C．∠BAM＝2∠CAMD．2∠CAM＝∠BAC
【分析】根據(jù)角平分線定義即可求解．
【解答】解：∵AM為∠BAC的平分線，
∴∠BAC＝2∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM≠2∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．
故選：C．
2．如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠BOC＝50°，則∠AOD等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．75°
【分析】利用角平分線的性質(zhì)求得∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠BOC；然后由等量代換求得∠COD＝∠BOC＝25°．
【解答】解：∵OD是∠AOC的平分線，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC；
∵OC是∠AOB的平分線，
∴∠AOC＝∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
故選：B．
3．如圖，∠AOB是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝26°，OM、ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，則∠MON等于（ ）
A．66°B．114°C．147°D．170°
【分析】先求出∠AOM和∠BON的度數(shù)，再用180°減去∠AOM和∠BON的度數(shù)即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，OM是∠AOC的平分線，
∴∠AOM＝40°÷2＝20°，
∵∠BOD＝26°，
ON是∠BOD的平分線，
∴∠BON＝26°÷2＝13°，
∴∠MON＝180°﹣20°﹣13°＝147°，
故選：C．
類型四：角的計算：
1．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC為射線，且∠AOC＝∠BOC，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．150°B．135°C．120°D．30°
【分析】根據(jù)平角定義得方程，求解可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)O在直線AB上，OC為射線，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝150°．
故選：A．
2．如圖，已知∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
【分析】由題意可得∠AOC＝∠AOB+∠COB，即可計算出∠AOC的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)可得∠COD＝∠AOC，再由∠BOD＝∠COD+∠BOC，代入計算即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝30°+20°＝50°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝50°+20°＝70°．
故選：C．
3．如圖：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射線OM、ON，分別平分∠AOB與∠COD，又∠MON＝84°，則∠AOB為（ ）
A．28°B．30°C．32°D．38°
【分析】首先設(shè)出未知數(shù)，然后利用角的和差關(guān)系和角平分線的定義列出方程，即可求出∠AOB的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)∠AOB＝2x°，則∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射線OM、ON分別平分∠AOB與∠COD，
∴∠BOM＝∠AOB＝x°，
∠CON＝∠COD＝2x°，
又∵∠MON＝84°，
∴x+3x+2x＝84，
x＝14，
∴∠AOB＝14°×2＝28°．
故選：A．
4．如圖，OB，OE是∠AOC內(nèi)的兩條射線，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度數(shù)．
【分析】設(shè)∠BOE為x°，則∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°，然后根據(jù)角平分線定義列方程解決求出∠BOE，可得∠EOC．
【解答】解：設(shè)∠BOE為x°，則∠DOB＝55°﹣x°，
由∠BOE＝∠EOC可得∠EOC＝2x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有2x+x+2（55﹣x）＝140，
解方程得x＝30，
故∠EOC＝2x＝60°．
5．如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠DOB，OF平分∠DOA．
（1）若∠DOB＝48°，則∠EOF的度數(shù)是 90° ；
（2）若∠DOB＝α，那么∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生改變，請說明理由．
【分析】（1）欲求∠EOF，需求∠DOF與∠DOE．由OE平分∠DOB，OF平分∠DOA，得∠DOF＝，∠DOE＝，故∠EOF＝＝＝＝90°．
（2）與（1）同理．
【解答】解：（1）∵OE平分∠DOB，OF平分∠DOA，
∴∠DOF＝，∠DOE＝．
∴∠EOF＝＝＝＝90°．
（2）不變，理由如下：
由（1）可知：∠EOF＝＝＝＝90°，與∠DOB無關(guān)．
∴∠EOF的度數(shù)不變．
知識清單：
知識點(diǎn)一：余角和補(bǔ)角的定義：
如果兩個角的和等于 90°，則這兩個角互余。即若∠1＋∠2＝90°，則∠1與∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
如果兩個角的和等于180°，則這兩個角互補(bǔ)。即若∠1＋∠2＝180°，則∠1與∠2互補(bǔ)或∠1是∠2的補(bǔ)角或∠2是∠1的補(bǔ)角。
知識點(diǎn)二：余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：
同角的余角相等。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，則∠1＝∠3。
同角的補(bǔ)角相等。即∠1的補(bǔ)角是∠2，∠2的補(bǔ)角是∠3，則∠1＝∠3。
等角的余角相等。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，則∠3＝∠4。
等角的補(bǔ)角相等。即若∠1＝∠2，∠1的補(bǔ)角是∠3，∠2的補(bǔ)角是∠4，則∠3＝∠4。
一個角的補(bǔ)角比這個角的余角大90°。
知識點(diǎn)三：方向角：
表示方向的角，以正南和正北為始邊，加上角度描述偏東或者偏西，即北偏東多少度或北偏西多少度或南偏東多少度或南偏西多少度。幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南。
例題講解：
類型一：余角與補(bǔ)角的相關(guān)計算：
1．若∠α＝50°，則α的補(bǔ)角的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．130°D．310°
【分析】根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個角的和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∠α的補(bǔ)角＝180°﹣∠α＝180°﹣50°＝130°．
故選：C．
2．一個角的余角比這個角大20°，則這個角的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．35°D．50°
【分析】這個角為x°，則它的余角是（90﹣x）°，列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)這個角為x°，則它的余角是（90﹣x）°，
根據(jù)題意得：（90﹣x）°﹣x°＝20°，
解得：x＝35，
∴這個角等于35°，
故選：C．
3．若∠1與∠2互為余角，∠1與∠3互為補(bǔ)角，則下列結(jié)論：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】根據(jù)互余的兩角之和為90°，互補(bǔ)的兩角之和為180°，即可求出有關(guān)的結(jié)論．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正確．
（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，
∴②正確．
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正確．
由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，
得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，
∴∠3＜∠1+∠2，
∴④正確．
故選：A．
4．已知∠A＝38°，則∠A的補(bǔ)角的度數(shù)是（ ）
A．52°B．62°C．142°D．162°
【分析】根據(jù)兩角互補(bǔ)的概念，和為180度的兩個角互為補(bǔ)角，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵∠A＝38°，
∴∠A補(bǔ)角的度數(shù)是180°﹣38°＝142°，
故選：C．
5．已知一個角的補(bǔ)角等于這個角的3倍，則這個角的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】首先這個角為x°，則它的補(bǔ)角為（180﹣x）°，根據(jù)題目所給等量關(guān)系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：設(shè)這個角為x°，由題意得：
180﹣x＝3x，
解得：x＝45．
故選：A．
6．若銳角α加上90°得到β，β的補(bǔ)角為γ，那么γ和α的關(guān)系是（ ）
A．互余B．互補(bǔ)C．相等D．無法確定
【分析】由題意得到α+90°+γ＝180°，得出α+γ＝90°，即可判斷γ和α的關(guān)系．
【解答】解：∵銳角α加上90°得到β，β的補(bǔ)角為γ，
∴α+90°＝β，β+γ＝180°，
∴α+90°+γ＝180°，
∴α+γ＝90°，
∴γ和α的關(guān)系是互余，
故選：A．
7．已知∠A與∠B互補(bǔ)，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A＝ °．
【分析】設(shè)∠B的度數(shù)為x，則∠A的度數(shù)為3x﹣40°，兩個角相互補(bǔ)得到x+3x﹣40°＝180°，再分別解方程，然后計算3x﹣40°的值即可．
【解答】解：設(shè)∠B的度數(shù)為x，則∠A的度數(shù)為3x﹣40°，
當(dāng)∠A+∠B＝180°時，即x+3x﹣40°＝180°，解得x＝55°，所以3x﹣40°＝125°；
所以∠A的度數(shù)為125°．
故答案為：125．
8．已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON如圖所示放置，且直角頂點(diǎn)在O處，在∠MON內(nèi)部作射線OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度數(shù)；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度數(shù)；
（3）試猜想∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）先根據(jù)余角的定義求出∠MOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM，然后根據(jù)∠AOM＝180°﹣∠BOM計算即可；
（2）根據(jù)角的倍分關(guān)系以及角平分線的定義即可求解；
（3）令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC＝90°﹣β，根據(jù)∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM與∠NOC滿足的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝80°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（3）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
9．如圖，已知O為直線AD上一點(diǎn)，OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線且滿足∠AOB與∠AOC互補(bǔ)，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線．
（1）∠COD與∠AOB相等嗎？請說明理由；
（2）∠AOB＝30°，試求∠MON的度數(shù)；
（3）若∠MON＝α，請直接寫出∠AOC的度數(shù)．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，可得結(jié)論；
（2）利用互補(bǔ)關(guān)系，求出∠AOC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠AOM和∠NOB的度數(shù)，通過角的和差求出∠MON；
（3）設(shè)∠AOB是x°，根據(jù)∠AOM﹣∠AON＝∠MON列方程求解得結(jié)論．
【解答】解：（1）相等．
理由；∵∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，
∴∠AOC+∠AOB＝180°，
∵∠AOC+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝∠AOB；
（2）∵∠AOB與∠AOC互補(bǔ)，∠AOB＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∵OM為∠AOC的平分線，
∴∠AOM＝75°，
∵ON為∠AOB的平分線，
∴∠AON＝15°，
∴∠MON＝75°﹣15°＝60°；
（3）∵∠MON＝α，
∴∠AOM﹣∠AON＝α，
∴∠AOC﹣∠AOB＝α，
∠AOC﹣∠AOB＝2α，
∴∠AOC﹣（180°﹣∠AOC）＝2α，
∴2∠AOC＝180°+2α，
∴∠AOC＝90°+α．
10．已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)．
（1）如圖1，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；
（2）如圖2，射線OC為∠AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝ °，此時圖中互余的角有 對，互補(bǔ)的角有 對．
（3）如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數(shù)不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時∠AOD與∠COE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)∠AOC：∠BOC＝3：2，設(shè)∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x，根據(jù)平角是180°，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得：∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，再根據(jù)∠DOE＝∠COD+∠COE即可得出∠DOE＝90°；分別列出圖中互余和互補(bǔ)的角即可；
（3）根據(jù)射線OC是∠BOD的角平分線，得∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，再根據(jù)∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，即可得出∠AOD＝2∠COE．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝3：2，
∴設(shè)∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x，
根據(jù)題意得：3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°；
（2）∵射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°；
∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，
∴互余的角有4對；
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴互補(bǔ)的角有5對；
故答案為：90，4，5；
（3）∠AOD＝2∠COE．理由如下：
∵射線OC是∠BOD的角平分線，
∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，
∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，
∴∠AOD＝2∠COE．
類型二：方向角的理解計算：
1．如圖所示的四條射線中，表示北偏西30°的是（ ）
A．射線OAB．射線OBC．射線OCD．射線OD
【分析】根據(jù)方向角的定義，即可解答．
【解答】解：根據(jù)方向角的定義，表示北偏西30°的是射線OD．
故選：D．
2．如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東40°方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東75°方向，點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西50°方向，則∠BAC的大小為（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【分析】根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出方位角，利用平行線的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵∠DBA＝40°，∠DBC＝75°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝75°﹣40°＝35°，
∵DB∥EC，
∴∠DBC+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ACB＝∠ECB﹣∠ACE＝105°﹣50°＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣35°＝90°．
故選：C．
3．如圖，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°的方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏西30°的方向上，則∠ACB的度數(shù)為 ．
【分析】根據(jù)方向角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到∠BCF＝∠1＝60°，∠ACF＝∠2＝30°，由角的和差即可求出∠ACB．
【解答】解：如圖：
根據(jù)題意可得：∠1＝60°，∠2＝30°，
∵AE∥DB∥CF，
∴∠BCF＝∠1＝60°，∠ACF＝∠2＝30°，
∴∠ACB＝∠BCF﹣∠ACF＝60°﹣30°＝30°．
故答案為：30°．
課后練習(xí)：
一．選擇題（共12小題）
1．如圖，將一個三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，∠1＝27°40′，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20
【分析】根據(jù)∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度數(shù)，再根據(jù)∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故選：C．
2．鐘表上1時20分時，時針和分針的夾角是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
【分析】鐘表里，每一大格所對的圓心角是30°，每一小格所對的圓心角是6°，根據(jù)這個關(guān)系計算即可．
【解答】解：∵時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，
∴鐘表上1時20分鐘時，時針與分針的夾角可以看成時針轉(zhuǎn)過12時0.5°×20＝10°，分針在數(shù)字4上．
∵鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，
∴1時20分鐘時分針與時針的夾角90°﹣10°＝80°．
故選：A．
3．如圖，A地和B地都是海上觀測站，A地在燈塔O的北偏東30°方向，∠AOB＝100°，則射線OB的方向為（ ）
東偏南30°B．南偏東40°
C．南偏東50°D．南偏西50°
【分析】根據(jù)方位角的概念，寫出射線OB表示的方向即可．
【解答】解：如圖：
∵A地在燈塔O的北偏東30°方向，
∴∠1＝30°，
∵∠AOB＝100°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
∴射線OB的方向角是南偏東50°，
故選：C．
4．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，則∠1與∠2的大小關(guān)系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．無法判斷
【分析】將30.5°化成30°30′后，再進(jìn)行比較即可．
【解答】解：因為0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故選：C．
5．如圖OC是∠AOB的平分線，OD是∠COB的平分線，則下列各式正確的是（ ）
A．∠COD＝∠AOCB．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOBD．∠BOC＝∠AOB
【分析】根據(jù)角平分線定義，得出角與角的關(guān)系．再根據(jù)選項選取正確答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分線，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，選項D不正確；
∵OD是∠COB的平分線，
∴∠COD＝∠COB＝∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC，選項A正確；
∴∠BOD＝∠COD＝∠AOB，選項C不正確；∠AOD＝∠AOB，選項B不正確；
故選：A．
6．如圖，點(diǎn)A、O、E在同一直線上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46'，OD平分∠COE，則∠COB＝（ ）
A．68°46'B．82°32'C．82°28'D．82°46'
【分析】先根據(jù)角平分線的定義求出∠COE的度數(shù)，再由平角的定義即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，
∴∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠COE＝180°﹣40°﹣57°32′＝82°28′．
故選：C．
7．在所給的：①15°、②65°、③75°、④115°、⑤135°的角中，可以用一副三角板畫出來的是（ ）
A．②④⑤B．①②④C．①③⑤D．①③④
【分析】用一副三角板能畫出來的角有：15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°，150°，180°．據(jù)此進(jìn)行作答即可．
【解答】解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板畫出來；
②65°不可以用一副三角板畫出來；
③45°+30°＝75°，可以用一副三角板畫出來；
④115°不可以用一副三角板畫出來；
⑤90°+45°＝135°，可以用一副三角板畫出來；
綜上所述，可以用一副三角板畫出來的有：①③⑤．
故選：C．
8．一個角的度數(shù)為51°14′37″，則這個角的余角為（ ）
A．39°46′23″B．38°45′23″C．38°45′63″D．39°45′23″
【分析】根據(jù)兩個角的和為90°，這兩個角互為余角進(jìn)行計算即可．
【解答】解：由互為余角的意義得，
51°14′37″的余角為：90°﹣51°14′37″＝38°45′23″，
故選：B．
9．如圖，∠AOB＝90°，OE是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，若∠EOD＝60°，則∠EOC＝（ ）
A．75°B．90°C．30°D．45°
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到∠AOE＝∠BOE＝×90°＝45°，∠BOC＝2∠BOD，這樣就可以求出∠EOC的度數(shù)．
【解答】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOE＝×90°＝45°，
∵∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE
＝60°﹣45°
＝15°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝∠DOC＝15°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝60°+15°＝75°．
故選：A．
10．將三角尺與直尺按如圖所示擺放，下列關(guān)于∠α與∠β之間的等量關(guān)系正確的是（ ）
A．∠α+∠β＝45°B．∠α＝∠βC．∠α+∠β＝135°D．∠α+∠β＝90°
【分析】利用平角性質(zhì)和余角、補(bǔ)角解得角之間的關(guān)系．
【解答】解：∵直尺一邊是平角為180°，三角尺的頂角為90°，
∴∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
故選：D．
11．如圖，點(diǎn)O在CD上，OC平分∠AOB，射線OE經(jīng)過點(diǎn)O且∠AOE＝90°，若∠BOD＝153°，則∠DOE的度數(shù)是（ ）
A．27°B．33°C．28°D．63°
【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠BOC的度數(shù)，再利用角平分線定義即可求解．
【解答】解：∵∠BOD＝153°，
∴∠BOC＝180°﹣153°＝27°，
∵CD為∠AOB的角平分線，
∴∠AOC＝∠BOC＝27°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠AOC＝63°．
故選：D．
12．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時，下列各角的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無關(guān)的角是（ ）
A．∠AODB．∠AOCC．∠EOFD．∠DOF
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，結(jié)合平角的定義可求解∠EOF＝90°，由∠EOF的度數(shù)為定值可判定求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴直線CD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時，∠EOF的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無關(guān)．
故選：C．
二．填空題（共8小題）
13．如圖，過直線AB上一點(diǎn)O作射線OC，∠BOC＝29°38′，OD平分∠AOC，則∠DOC的度數(shù)為 ．
【分析】由平角及已知角∠BOC＝29°38′可求出∠AOC＝150°22′，再根據(jù)角平分線的定義可求出∠DOC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BOC＝29°38′，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣29°38′＝150°22′，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC＝×150°22′＝75°11′，
故答案為：75°11′．
14．已知∠A與∠B互補(bǔ)，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A＝ °．
【分析】設(shè)∠B的度數(shù)為x，則∠A的度數(shù)為3x﹣40°，兩個角相互補(bǔ)得到x+3x﹣40°＝180°，再分別解方程，然后計算3x﹣40°的值即可．
【解答】解：設(shè)∠B的度數(shù)為x，則∠A的度數(shù)為3x﹣40°，
當(dāng)∠A+∠B＝180°時，即x+3x﹣40°＝180°，解得x＝55°，所以3x﹣40°＝125°；
所以∠A的度數(shù)為125°．
故答案為：125．
15．如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，已知∠AOE＝128°，則∠BOD＝ 度．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．
∴∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝∠COE+∠AOC
＝（∠COE+∠AOC）
＝∠AOE
＝×128°
＝64°，
故答案為：64．
16．早睡早起習(xí)慣好，小明養(yǎng)成了晚上21：00左右睡覺的好習(xí)慣．某天晚上小明睡覺前看了一下時間21：20，此時時鐘上的分針與時針?biāo)傻慕鞘? 度．
【分析】根據(jù)鐘面上每相鄰兩個數(shù)字之間，即一個“大格”所對應(yīng)的圓心角為360°×＝30°，每一分鐘，即每一個“小格”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360°×＝6°，再根據(jù)時針、分針轉(zhuǎn)動過程中旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系求出相應(yīng)的角度即可．
【解答】解：21：20時時針與分針的夾角如圖所示，
根據(jù)鐘面上兩個相鄰數(shù)字之間所對應(yīng)的圓心角∠BOD＝360°×＝30°，
而∠AOC＝30°×＝10°，
∴∠AOB＝30°×5+10°
＝160°，
故答案為：160．
17．貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏西20°的方向上，同時在它北偏東78°方向上發(fā)現(xiàn)了客輪B，則此時∠AOB的度數(shù)大小是 ．
【分析】根據(jù)方向角的意義可求出∠BOP＝90°﹣78°＝12°，再根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．
【解答】解：由題意可知，∠BOP＝90°﹣78°＝12°，∠QOA＝20°，∠POQ＝90°，
因此∠AOB＝∠BOP+∠POQ+∠QOA
＝12°+90°+20°
＝122°，
故答案為：122°．
18．已知∠AOB＝90°，射線OC，OD在∠AOB內(nèi)部，OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，則∠COD＝ °．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠DOC＝∠AOC，∠COD＝∠BOD，結(jié)合圖形計算即可．
【解答】解：
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝∠AOC，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠AOD＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠AOD，
∵∠AOB＝90°
∴∠COD＝∠AOB＝30°．
故答案為：30．
19．如圖，OD平分∠AOC．∠AOB＝82°，∠BOC＝（2x+10）°，∠AOD＝（3x﹣12）°，則∠COD＝ ．
【分析】根據(jù)角平分線定義可得∠COD＝∠AOD＝（3x﹣12）°，然后利用∠AOC+∠BOC＝∠AOB列出方程可得x的值，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD＝（3x﹣12）°，
∴∠COD＝∠AOD＝（3x﹣12）°，∠AOC＝2∠AOD＝2（3x﹣12）°，
∵∠AOB＝82°，∠BOC＝（2x+10）°，
∴2（3x﹣12）°+（2x+10）°＝82°，
解得：x＝12°，
∴∠COD＝3×12°﹣12°＝24°．
故答案為：24°．
20．小明用一副三角板自制對頂角的“小儀器”，第一步固定直角三角板ABC，并將邊AC延長至點(diǎn)P，第二步將另一塊三角板CDE的直角頂點(diǎn)與三角板ABC的直角頂點(diǎn)C重合，擺放成如圖所示．延長DC至點(diǎn)F，∠PCD與∠ACF就是一組對頂角．
（1）若∠ACF＝30°，則∠PCD＝ ；
（2）若重疊所成的∠BCE＝n°（0＜n＜90），則∠PCF的度數(shù) ．
【分析】（1）根據(jù)對頂角相等，可得答案；
（2）根據(jù)角的和差，可得答案．
【解答】解：（1）若∠ACF＝30°，則∠PCD＝30°，理由是對頂角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE＝∠ACB+∠BCD+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝180°，
所以∠ACD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣n°，
所以∠PCF＝∠ACD＝180°﹣n°．
故答案為：30°，180°﹣n°．
三．解答題（共6小題）
21．如圖，∠BOD＝115°，∠COD＝90°，OC平分∠AOB，求∠AOD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，算出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)OC平分∠AOB，算出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB計算即可．
【解答】解：∵∠BOD＝115°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝115°﹣90°＝25°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝115°﹣50°＝65°．
22．如圖所示，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．
（1）求∠COE的度數(shù)；
（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)∠BOD與∠AOD互補(bǔ)，平角的定義，可得出∠BOD+∠AOD＝180°，再根據(jù)∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．求出∠EOC；
（2）根據(jù)∠BOC＝∠BOD，∠BOC＝20°，得出∠BOD＝60°，進(jìn)而求出答案．
【解答】解：（1）因為點(diǎn)O在直線AB上，，∠DOE＝2∠AOE，
所以，．
因為∠BOD+∠AOD＝180°，
所以；
（2）因為，∠BOC＝20°，
所以∠BOD＝60°．
所以∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
23．如圖，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射線OB，OM，ON在∠AOD內(nèi)部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．
（1）求∠MON的度數(shù)；
（2）若射線OC在∠AOD內(nèi)部，∠NOC＝23°，求∠COM的度數(shù)．
【分析】（1）欲求∠MON，需求∠BON和∠BOM．由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠NOB＝，∠BOM＝，進(jìn)而解決此題．
（2）由題意得射線OC可能在∠DON內(nèi)部或射線OC在∠NOB內(nèi)部，故需分類討論．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠NOB＝，∠BOM＝．
∴∠NOB+∠BOM＝＝．
∴∠MON＝．
又∵∠AOD＝156°，
∴∠MON＝＝78°．
（2）由題意得：射線OC可能在∠DON內(nèi)部或射線OC在∠NOB內(nèi)部．
①當(dāng)射線OC可能在∠DON內(nèi)部時，如圖1．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠CON+∠MON＝23°+78°＝101°．
②當(dāng)射線OC在∠NOB內(nèi)部時，如圖2．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠MON﹣∠NOC＝78°﹣23°＝55°．
綜上：∠COM＝101°或55°．
24．把一副三角尺按如圖所示的方式拼在一起，已知∠BCE＝30°．
（1）求∠ACE和∠DCB的度數(shù)；
（2）求∠ACD+∠BCE的度數(shù)；
（3）如果去掉條件“∠BCE＝30°”．那么（2）中的結(jié)論還成立嗎？為什么？
【分析】（1）根據(jù)互為余角的意義可求出答案；
（2）求出∠ACD的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)各個角之間的和差關(guān)系可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∠BCD+∠BCE＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
∠BCD＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
答：∠ACE和∠DCB的度數(shù)都是60°；
（2）∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACD+∠BCE＝150°+30°＝180°，
答：∠ACD+∠BCE的度數(shù)為180°；
（3）成立，理由：
設(shè)∠BCE＝α，由（1）得，∠ACE＝90°﹣α＝∠BCD，
∴∠ACD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣α+α＝180°
因此（2）中的結(jié)論成立．
25．如圖，已知在同一平面內(nèi)∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠BOC＝ 150° ；
（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度數(shù)；
（3）如果在（2）的條件下將∠AOC＝60°改為∠AOC＝2α（α＜45°），其他條件不變，求∠DOE的度數(shù)．
【分析】（1）由∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，即得∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°；
（2）由OD平分∠BOC，可得∠DOC＝∠BOC＝75°，而OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，即得∠COE＝AOC＝30°，故∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；
（3）由∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，得∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，由OD平分∠BOC，可得∠DOC＝∠BOC＝45°+α，根據(jù)OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，
得∠COE＝AOC＝α，故∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，
故答案為：150°；
（2）由（1）知∠BOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝75°，
∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，
∴∠COE＝AOC＝30°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，
∵OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，
∴∠COE＝AOC＝α，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．
26．如圖，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延長射線OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC 互補(bǔ) ；（填“互余”“相等”“互補(bǔ)”或“沒有特殊關(guān)系”）
（2）OF是∠BOC的平分線嗎？為什么？
（3）反向延長射線OA至G，∠COG與∠FOG的度數(shù)比為2：5，求∠AOD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)周角與∠AOB，∠DOC的差得結(jié)論；
（2）根據(jù)OE平分∠AOD，再利用角的和差關(guān)系，推角相等，從而得OF是∠BOC的平分線；
（3）設(shè)∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度數(shù)，進(jìn)而得∠AOD的度數(shù)．
【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC互補(bǔ)．
∵∠AOD+∠BOC
＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC
＝360°﹣90°﹣90°
＝180°．
∴∠AOD和∠BOC互補(bǔ)．
故答案為：互補(bǔ)．
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠EOA，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，
∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，
∴∠BOF＝∠COF．
∴OF是∠BOC的平分線．
（3）設(shè)∠COG＝2x，∠FOG＝5x，
∴∠FOC＝∠BOF＝3x．
∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°，
∴90°+3x+3x+2x＝180°，
解得，x＝（）°．
∴∠AOD＝180﹣6×（）°＝112.5°．