2020-2021學年4.5 幾種簡單幾何體的表面積和體積精練

這是一份2020-2021學年4.5 幾種簡單幾何體的表面積和體積精練，共19頁。試卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】D，【答案】B等內容，歡迎下載使用。
絕密★啟用前4.5幾種簡單幾何體的表面積和體積同步練習湘教版（2019）高中數(shù)學必修第二冊注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。 一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）若等邊圓柱軸截面是正方形、球、正方體的體積相等，則它們的表面積的大小關系是A.  B.
C.  D. 若等邊圓柱軸截面是正方形、球、正方體的體積相等，則它們的表面積的大小關系是A.  B.
C.  D. 公元前世紀，古希臘歐幾里得在幾何原本里提出：“球的體積與它的直徑的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值．世紀日本數(shù)學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”類似地，對于等邊圓柱軸截面是正方形的圓柱、正方體也可利用公式求體積在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長假設運用此體積公式求得球直徑為、等邊圓柱底面圓的直徑為、正方體棱長為的“玉積率”分別為、、，那么等于   A.  B.  C.  D. 公元前世紀，古希臘歐幾里得在幾何原本里提出：“球的體積與它的直徑的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值．世紀日本數(shù)學家們對球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”類似地，對于等邊圓柱軸截面是正方形的圓柱，正方體也可利用公式求體積在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長假設運用此體積公式求得球獎直徑為，等邊圓柱底面圓的直徑為，正方體棱長為的“玉積率”分別為，那么    A.  B.  C.  D. 已知正方體、等邊圓柱軸截面是正方形、球的體積相等，它們的表面積分別為、、，則   A.  B.
C.  D. 如圖，是正方形的對角線，的圓心是，半徑為，正方形以為軸旋轉一周，則圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉所得旋轉體的體積之比是   A.
B.
C.
D. 世紀日本數(shù)學家們對于數(shù)學關于體積方法的問題還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓術”或“玉積率”。創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”。其中，為直徑，類似地，對于等邊圓柱軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱、正方體也有類似的體積公式，其中，在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長，假設運用此“會玉術”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為。那么等于A.  B.  C.  D. 公元前世紀，古希臘數(shù)學家歐幾里德在幾何原本里提出：“球的體積與它的直徑的立方成正比”，此即，歐幾里德未給出的值．世紀日本數(shù)學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”類似的，對于等邊圓柱軸截面是正方形的圓柱、正方體也可利用公式求體積在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長假設運用此體積公式求得球直徑為、等邊圓柱底面圓的直徑為、正方體棱長為的“玉積率”分別為，，，那么等于A.  B.  C.  D. 已知三棱錐外接球的表面積為，是邊長為的等比三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，則三棱錐的體積為A.  B.  C.  D. 世紀日本數(shù)學家們對這個數(shù)學關于體積方法的問題還不了解，他們將體積公式“”中的常數(shù)稱為“立圓術”或“玉積率”，創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”，其中，為直徑，類似地，對于等邊圓柱軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱、正方體也有類似的體積公式，其中，在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長，假設運用此“會玉術”，求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為，，A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：二、多空題（本大題共5小題，共25.0分）“牟合方蓋”圖是由我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)造的，其構成是由一個正方體從縱橫兩側面作內切圓柱圓柱的上下底面為正方體的上下底面，圓柱的側面與正方體側面相切的公共部分組成的圖，假設正方體的棱長為，則其中一個內切圓柱的表面積為          ；該正方體的內切球也是“牟合方蓋”的內切球，所以用任一平行于正方體底面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，根據(jù)祖暅原理夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等可得“牟合方蓋”的體積為          ．
點是棱長為的正四面體表面上的動點，該四面體的內切球的半徑是          ；若是該正四面體外接球的一條直徑，則的最小值是          ．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，兩兩垂直，，，，則該三棱錐的體積為          ，球的表面積為          ．在四面體中，，且，，，則該四面體體積的最大值為          ，該四面體外接球的表面積為          在四面體中，底面，，、、、均為直角三角形，若該四面體最大棱長等于，則該四面體外接球的表面積為          ；該四面體體積的最大值為          ．三、解答題（本大題共5小題，共60.0分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，，．
 求三棱柱全面積；若該三棱柱的體積為，且在下底面的正投影為下底面的中心，求的值．






 如圖所示，四邊形是直角梯形單位：，求圖中陰影部分繞所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．
  






 如圖所示，在梯形中，，且，，分別延長兩腰交于點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖所示．

求證：；
若，，四棱錐的體積為，求四棱錐的表面積．






 若等邊圓柱軸截面是正方形、球、正方體的體積相等，設它們的表面積分別為、、，判斷它們的大小關系，并證明．






 如圖，在直角梯形中，，，，是中點，使得面，是的中點；
求證：；
求三棱錐的體積．








答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查幾何體的體積和面積，考查計算能力，屬于中檔題．
設等邊圓柱底面圓半徑為，球半徑為，正方體棱長為，根據(jù)體積公式得出，，的關系，進而得到其比值，
然后根據(jù)面積公式求得各幾何體的面積之比，與比較大小，即得答案．
【解答】
解：設等邊圓柱底面圓半徑為，球半徑為，正方體棱長為，
則，，，
，，，
 ，
 ．
故選A．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查幾何體的體積和表面積，考查計算能力，屬于中檔題．
設等邊圓柱底面圓半徑為，球半徑為，正方體棱長為，根據(jù)體積公式得出，，的關系，進而得到其比值，
然后根據(jù)面積公式求得各幾何體的表面積之比，與比較大小，即得答案．
【解答】
解：設等邊圓柱底面圓半徑為，球半徑為，正方體棱長為，
則，，，
，，，
 ，
 ．
故選A．  3.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推理的能力，屬于中檔題．
根據(jù)球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推理即可得出．【解答】解：；
；
；
故．
故選D．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推理，屬于基礎題．
根據(jù)球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推理即可得出．
【解答】解：；
；
；
故．
故選D．  5.【答案】
 【解析】【分析】本題考查正方體、等邊圓柱軸截面是正方形、球的體積、表面積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
利用正方體、等邊圓柱軸截面是正方形、球的體積、表面積公式，即可得出結論．【解答】解：正方體的棱長為，體積，，
等邊圓柱軸截面是正方形的高為，
體積，，
球的半徑為，體積，，
，
故選C．  6.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了圓錐、圓柱和球的體積計算，關鍵是判斷旋轉體的形狀和旋轉體的旋轉半徑．
利用圓錐、圓柱和球的體積公式即可求解．
【解答】
解：設正方形的邊長為，可得


，
故圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉所得旋轉體的體積之比是 ，
故選A．  7.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”的比值的求法，考查球、等邊圓柱、正方體的體積公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，是中檔題．
利用球的體積公式求出；利用等邊圓柱的體積公式求出；利用正方體的體積公式求出由此能求出：：的值．

【解答】
解：在球中，，解得；
在等邊圓柱中，，解得，
在正方體中，，解得．
：：．
故選D．  8.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推力，屬于中檔題．
根據(jù)球、圓柱、正方體的體積計算公式、類比推理即可得出．
【解答】解：；
；
；
故．
故選D．  9.【答案】
 【解析】解：設球心到平面的距離為，三棱錐外接圓的表面積為，
則球的半徑為，
所以，故，
由是的中點得：，
故選：．
設球心到平面的距離為，求出球的半徑，通過，求解即可．
本題考查幾何體的外接球以及幾何體的體積的求法，等體積法的應用，是中檔題．
 10.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”的比值的求法，考查球、等邊圓柱、正方體的體積公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，是中檔題．
利用球的體積公式求出；利用等邊圓柱的體積公式求出；利用正方體的體積公式求出由此能求出：：的值．

【解答】
解：在球中，，解得；
在等邊圓柱中，，解得，
在正方體中，，解得．
：：．
故選：．  11.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查球的體積公式，圓柱的表面積公式，屬于中檔題．
由題意分析結合球的體積公式和圓柱的表面積公式求出答案．
【解答】
解：由題可知圓柱的底面半徑為，高為，所以表面積為；
截得的正方形與內切圓的面積的比為，
由于“牟合方蓋”與內切球等高，
所以由祖配原理可得“牟合方蓋”的體積與內切球的體積比為，
而內切球的體積為，所以“牟合方蓋”的體積為．
故答案為．  12.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查空間向量數(shù)量積的計算，以及正四面體內切球和外接球半徑的計算，屬于中檔題．
計算正四面體的體積，設內切球的半徑為，利用計算出內切球的半徑；設外接球的半徑為，利用當、、三點共線時，取得最小值，可知當為該正四面體的內切球與面的切點時取最小值，即可求出．
【解答】
解：如圖示：

設正四面體的內切球球心為點，連接并延長交底面于點，
則為正三角形的中心，且平面，
連接并延長交于點，則為的中點，且，
，，
平面，平面，
，，
，
正四面體的體積，
設球的半徑為，
則，
．
正四面體的內切球與外接球的球心重合，則外接球的半徑，
因為 
，
所以當最小，即為該正四面體的內切球與各面的切點時取等號，取最小值，
此時，，
即的最小值為．
故答案為；．  13.【答案】  
 【解析】解：由，，兩兩垂直，是長方體的一個角，三棱錐的體積為：，
三棱錐擴展為長方體，
長方體外接球直徑為其體對角線長，
可得球直徑為：，
，
故答案為：；．
利用三線垂直聯(lián)想長方體，結合長方體外接球直徑為其體對角線長，容易求解．
此題考查了三棱錐外接球問題，外接球的表面積，三棱錐的體積的求法，難度不大．
 14.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查四面體的體積，球的表面積，屬基礎題，難度較易．
根據(jù)已知條件，畫出圖形，可知的中點即為外接球的球心，得到球的半徑，由球的表面積公式計算；當時，三棱錐的高為，取得最大值，此時該四面體的體積取得最大值，利用體積公式計算即得．
【解答】
解：，，，
又，，
，
為直角三角形．
如圖所示，取的中點，連接，，

由直角三角形的性質可得，
可知的中點即為外接球的球心，
得到外接球的半徑，
由球的表面積公式；
當時，
此時，，，，
平面，
三棱錐的高為，高取得最大值，
此時該四面體的體積取得最大值
．
故答案為；．  15.【答案】；
 【解析】【分析】
本題考查四面體外接球的表面積、四面體體積的最大值是基礎題。
利用長方體模型，該四面體外接球半徑，解出，
球與棱柱、棱錐的內切、外接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點一般為接、切點或線作截面，把空間同題轉化為平面問題，確定球心的位置找到球的半徑直徑與該兒何體已知量的關系，最后求解相關同題。其中為點到平面的距離，當最長時，體積最大．
【解答】
利用長方體模型，該四面體外接球半徑
，
設為四面體最大棱長，，
，，，
，
 ，
；

，
△ABC=，
，
，
 ，
，
該四面體體積的最大值是．  16.【答案】解：連接，
由題設得，為正三角形．
，
，
．
．
連接，在正三棱柱中，所有棱長都為，
，，
又在下底面的正投影為下底面的中心，
，
而，
 【解析】本題考查棱柱的體積和表面積的運算，屬于一般題．
根據(jù)多面積表面積公式求多面體表面積．
根據(jù)三棱柱的體積為，列出關系式，求出即可
 17.【答案】解：由題意知，所成幾何體的表面積等于圓臺下底面面積圓臺的側面積一半球面面積．
又，
，
，
所以該幾何體的表面積為
又，

所以該幾何體的體積為
 【解析】本題考查幾何體的表面積和體積的求法，解題時要認真審題，注意圓臺、半球的體積的求法和應用．
由題意，知所成幾何體的表面積等于圓臺下底面面積圓臺的側面積半球面面積，該幾何體的體積為，由此能求出結果．
 18.【答案】證明：在圖中，，即，且，
，，
則在圖中，，，
又，
，平面
平面．
平面，
F.
又，，
，平面，
平面，
又平面，
；
解：由已知，且，得，分別為，的中點，
在中，，則，，
則梯形的面積，
四棱錐的體積為，即，
在中，，即是的中點，
，
，平面，
平面，平面，則，得，
在等腰中，底邊上的高為，
四棱錐的表面積為：

．
 【解析】由已知可得，，得到平面，則F.結合已知，可得平面，則；
由已知結合四棱錐的體積為，求得，然后求解三角形可得四棱錐的表面積．
本題考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關系及其判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面體表面積的求法，是中檔題．
 19.【答案】解：設等邊圓柱底面圓半徑為，球半徑為，正方體棱長為，
則，
則，，
， ，，
，，
故．
即 
 【解析】本題考查幾何體的結構特征以及表面積、體積，屬于基礎題．
根據(jù)體積相等得到它們的底面半徑、球半徑以及正方體的棱長的關系，進一步求表面積．
 20.【答案】證明：平面，
平面平面，
，平面平面，
平面，
；
解：點是的中點，
三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
即三棱錐的體積，
三棱錐的體積．
 【解析】本題主要考查折疊問題、線面、面面垂直的性質、空間幾何體的體積，考查了等積法、空間想象能力與邏輯推理能力，是中檔題．
由已知證明平面面，再利用面面垂直的性質證明面，可得結論；
由點是的中點，可得三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即三棱錐的體積，再由棱錐體積公式求解．