2021年湖北省隨州市曾都區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）（Word版 含解析）

這是一份2021年湖北省隨州市曾都區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）（Word版 含解析），共30頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021年湖北省隨州市曾都區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．下列各式中，結(jié)果是100的是（　?。?br /> A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
2．2020年12月8日，國家主席習近平在同尼泊爾總統(tǒng)班達里互致信函時，向全世界正式宣布，珠穆朗瑪峰的最新高程為8848.86米．將數(shù)據(jù)8848.86精確到個位并用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
3．下列運算正確的是（　?。?br /> A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
4．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的條件是（　?。?br />
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
5．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設水深為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（　　）

A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
6．在體育中考訓練中，男生小杰6次立定跳遠的成績（單位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．眾數(shù)是2.4 B．中位數(shù)是2.4
C．平均數(shù)是2.4 D．方差是1
7．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為30m，則這棟樓的高度為（　?。?br />
A．40m B．30m C．75m D．40m
8．如圖，是一個容器的三視圖，向該容器中勻速注水，下面哪一個圖象可以大致化容器中水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系（　　）

A． B．
C． D．
9．對于x3﹣（n2+1）x+n＝0這類特殊的三次方程可以這樣來解．先將方程的左邊分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），這樣原方程就可變?yōu)椋▁﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．據(jù)此，顯然x3﹣5x+2＝0有一個解為x1＝2，設它的另兩個解為x2，x3，則式子x2x3﹣x2﹣x3的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），對稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＞0；②8a+c＝0；③對于任意實數(shù)m，總有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P為常數(shù)，且P＞0）的根為整數(shù)，則P的值有且只有三個，其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．把答案直接填在答題卡上對應題號的橫線上）
11．計算：+（﹣1）2021﹣＝　 ?。?br /> 12．不等式組的非負整數(shù)解是 　 ?。?br /> 13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB'C'，使點C′落在AB邊上，連接BB′，則BB′的長度是 　 　cm．

14．如圖，點O是△ABC的重心，延長AO交BC于點D，延長BO交AC于點E，過點O作OF∥BC交AB于點F．現(xiàn)隨機向△ABC內(nèi)部拋一米粒，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 　 ?。?br />
15．我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，它具有一定的規(guī)律性．從圖中取一斜列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，…，第n個數(shù)記為an．若+++…+＝，則n的值為 　 ?。?br />
16．如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一動點，且∠BPC＝60°，PC交BD于點E．當點P運動到PB＝PC時，的值為　 ??；隨著點P的運動，的最大值為　 ?。?br />
三、解答題（本題共8小題，共72分．解答應寫出必要的演算步驟，文字說明或證明過程）
17．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F．
（1）求證：△BDE≌△CDF．
（2）當AD⊥BC，AE＝2，CF＝4時，求AC的長．

19．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象在第三象限交于點A（﹣3，﹣2），與y軸的正半軸交于點B，且OB＝4．
（1）求函數(shù)y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）將直線AB向下平移4個單位后得到直線l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范圍．

20．為了解“永遠跟黨走”主題宣傳教育活動的效果，某校組織了黨史知識問卷測試，從中抽取部分答卷，統(tǒng)計整理得到不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖．
等級
成績/分
頻數(shù)
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90

D
80≤x＜85
4
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　，扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的圓心角為 　 　度；
（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計該校2000名學生中達到優(yōu)秀等級的人數(shù)；
（3）已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

21．如圖，AB，AC切⊙O分別于點B，C，BD∥AC交⊙O于點D，連接CO并延長交BD于點E．
（1）求證：BE＝DE；
（2）若⊙O的半徑為13，tanA＝，求AB的長．

22．某公園有一個截面由拋物線和長方形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖所示，長方形的長為16米，寬為3米，拋物線的最高處C距地面7米．
（1）經(jīng)過討論，同學們得出如圖所示的三種建立平面直角坐標系的方案，請從中選擇一種求出拋物線的表達式；

（2）觀景拱橋下有兩根長為4.75米的對稱安置的立柱，求這兩根立柱的水平距離；
（3）現(xiàn)公園管理處打算，在觀景拱橋的下方限高3.5米水平線上，兩立柱間安裝一個長8米的矩形廣告牌EFMN，為安全起見，要求廣告牌的最高處與拱橋的橋面之間的距離MH不得小于0.35米，求矩形廣告牌的最大高度MF．

23．【閱讀理解】
在一個三角形中，如果有兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”．根據(jù)這個定義，顯然α+β＜90°，則這個三角形的第三個角為180°﹣（α+β）＞90°，這就是說“亞直角三角形”是特殊的鈍角三角形．
【嘗試運用】
（1）若某三角形是“亞直角三角形”，且一個內(nèi)角為100°，請直接寫出它的兩個銳角的度數(shù)；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，點D在邊BC上，連接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亞直角三角形”，求線段AD的長；
【素養(yǎng)提升】
（3）如圖2，在鈍角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面積為42，求證：△ABC是“亞直角三角形”．

24．如圖1，已知拋物線y＝x2+mx與x軸正半軸交于點A，B（﹣m，0）為x軸上另一點，直線y＝﹣x交拋物線的對稱軸于點C，過點B作BM∥OC交過點C平行于x軸的直線于點M，D為拋物線的頂點．

（1）直接用含m的代數(shù)式表示點A，D的坐標；
（2）若點M恰好在該拋物線上，求四邊形BOCM的面積；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接DM，G為x軸上一點，H為拋物線上一動點，若以點A，G，H為頂點的三角形與△CDM相似，請直接寫出點H及其對應的點G的坐標．（每寫一組正確的結(jié)果得分，記滿分為止）


參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．下列各式中，結(jié)果是100的是（　　）
A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
【分析】分別根據(jù)絕對值和相反數(shù)的意義化簡即可．
解：A、﹣（+100）＝﹣100，不符合題意；
B、﹣（﹣100）＝100，符合題意；
C、﹣|+100|＝﹣100，不符合題意；
D、﹣|﹣100|＝﹣100，不符合題意；
故選：B．
2．2020年12月8日，國家主席習近平在同尼泊爾總統(tǒng)班達里互致信函時，向全世界正式宣布，珠穆朗瑪峰的最新高程為8848.86米．將數(shù)據(jù)8848.86精確到個位并用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
【分析】先把8848.86精確到個位，再用科學記數(shù)法表示即可．
解：8848.86≈8849＝8.849×103，
故選：C．
3．下列運算正確的是（　?。?br /> A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
【分析】根據(jù)整式的加減運算，乘除運算法則即可求出答案．
解：A、3a與6b不是同類項，故不能合并，故A不符合題意．
B、原式＝a2+2a+1，故B不符合題意．
C、原式＝﹣3a2b，故C不符合題意．
D、原式＝a6﹣a6＝0，故D符合題意．
故選：D．
4．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的條件是（　?。?br />
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．
解：A、當∠1＝∠3時，EF∥BC，不符合題意；
B、當∠3＝∠C時，DE∥AC，符合題意；
C、當∠2＝∠4時，無法得到DE∥AC，不符合題意；
D、當∠1+∠2＝180°時，EF∥BC，不符合題意．
故選：B．
5．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設水深為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（　?。?br />
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
【分析】首先設水深x尺，則蘆葦長為（x﹣1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程．
解：設水深x尺，則蘆葦長為（x﹣1）尺，由題意得：
x2+52＝（x+1）2，
故選：A．
6．在體育中考訓練中，男生小杰6次立定跳遠的成績（單位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．眾數(shù)是2.4 B．中位數(shù)是2.4
C．平均數(shù)是2.4 D．方差是1
【分析】利用方差，中位數(shù)，平均數(shù)和眾數(shù)的定義分別計算即可得出答案．
解：A、2.4有2個，眾數(shù)是2.4，故此選項正確，不合題意；
B、從高到低排列后，為2.2，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6．中位數(shù)是（2.4+2.4）＝2.4，正確，不合題意；
C、平均數(shù)是：（2.2+2.3+2.4+2.4+2.5+2.6）＝2.4（m米），正確，不合題意；
D、方差為：[（2.2﹣2.4）2+（2.3﹣2.4）2+2×（2.4﹣2.4）2+（2.5﹣2.4）2+（2.6﹣2.4）2]＝，故此選項不正確，符合題意；
故選：D．
7．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為30m，則這棟樓的高度為（　?。?br />
A．40m B．30m C．75m D．40m
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)，可以求得BD和CD的長從而可以得到BC的長．
解：由題意可得，
AD⊥BC，AD＝30m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
∴BD＝AD?tan30°＝30×＝10（m），CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
故選：A．

8．如圖，是一個容器的三視圖，向該容器中勻速注水，下面哪一個圖象可以大致化容器中水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由三視圖可知容器的形狀，依此可知注入水的高度隨著時間的增長越來越高，但增長的速度越來越快，即圖象開始平緩，后來陡峭，結(jié)合選項可得答案．
解：由三視圖可知容器的形狀是圓錐，可知：注入水的高度隨著時間的增長越來越高，但增長的速度越來越快，
即圖象開始平緩，后來陡峭，
故選：C．
9．對于x3﹣（n2+1）x+n＝0這類特殊的三次方程可以這樣來解．先將方程的左邊分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），這樣原方程就可變?yōu)椋▁﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．據(jù)此，顯然x3﹣5x+2＝0有一個解為x1＝2，設它的另兩個解為x2，x3，則式子x2x3﹣x2﹣x3的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
【分析】根據(jù)給出的特殊三次方程解法，先求出方程x3﹣5x+2＝0的根，再求出代數(shù)式的值．
解：∵x3﹣5x+2
＝x3﹣4x﹣x+2
＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）
＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．
當x2+2x﹣1＝0時，
x＝＝﹣1±．
∴x1＝2，x2＝﹣1+，x3＝﹣1﹣．
∴x2x3﹣x2﹣x3
＝（1+）（1﹣）﹣（﹣1+）﹣（﹣1﹣）
＝1﹣2+1﹣+1+
＝1．
故選：B．
10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），對稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＞0；②8a+c＝0；③對于任意實數(shù)m，總有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P為常數(shù)，且P＞0）的根為整數(shù)，則P的值有且只有三個，其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），對稱軸為直線x＝﹣1，可得，由圖可知a＜0，即有b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，可判斷①；由c＝﹣8a可判斷②；把a（m2﹣1）+b（m+1）變形為a（m+1）2，可判斷③；根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝p（P為常數(shù)，且P＞0）交點橫坐標為整數(shù)，對稱軸是x＝﹣1，且拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），可判斷④．
解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴，解得，
∴拋物線y＝ax2+bx+c為y＝ax2+2ax﹣8a，
由圖可知：a＜0，
∴b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，
∴abc＞0，故①正確；
由c＝﹣8a得8a+c＝0，故②正確；
∵a（m2﹣1）+b（m+1）
＝a（m2﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1+2）
＝a（m+1）2，
且a＜0，（m+1）2≥0，
∴a（m+1）2≤0，即a（m2﹣1）+b（m+1）≤0，故③正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝p（P為常數(shù)，且P＞0）交點橫坐標為整數(shù)，對稱軸是x＝﹣1，且拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（2，0），
∴交點橫坐標可能是﹣1，﹣1或0，﹣2或1，﹣3，
∴P的值有且只有三個，故④正確；
故選：D．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．把答案直接填在答題卡上對應題號的橫線上）
11．計算：+（﹣1）2021﹣＝　0?。?br /> 【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方運算法則和立方根的性質(zhì)分別化簡，再利用有理數(shù)的加減運算法則計算得出答案．
解：原式＝3﹣1﹣2
＝0．
故答案為：0．
12．不等式組的非負整數(shù)解是 　0，1?。?br /> 【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而確定出非負整數(shù)解即可．
解：不等式組，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
∴不等式組的解集為﹣2≤x＜2，
則不等式組的非負整數(shù)解為0，1．
故答案為：0，1．
13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB'C'，使點C′落在AB邊上，連接BB′，則BB′的長度是 　2　cm．

【分析】由直角三角形的性質(zhì)得到AB＝2AC＝，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到 AB'＝BB'即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，
∴AC＝ AB，
∴AB＝2AC＝ cm．
又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AC′＝AC＝ AB，B′C′⊥AB，AB＝AB'，
∴B′C′是AB的垂直平分線，
∴AB'＝BB'．
∴BB'＝ cm．
故答案為：．
14．如圖，點O是△ABC的重心，延長AO交BC于點D，延長BO交AC于點E，過點O作OF∥BC交AB于點F．現(xiàn)隨機向△ABC內(nèi)部拋一米粒，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 　?。?br />
【分析】先根據(jù)重心的性質(zhì)得到AO：AD＝2：3，再證明△AOF∽△ADB，利用相似三角形的性質(zhì)得到＝，接著利用AD為中線得到S△ABC＝2S△ABD，然后根據(jù)求幾何概率的方法解決問題．
解：∵點O是△ABC的重心，
∴AO：OD＝2：1，
∴AO：AD＝2：3，
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ADB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵AD為中線，
∴S△ABC＝2S△ABD，
∴米粒落在圖中陰影部分的概率＝＝＝．
故答案為．
15．我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，它具有一定的規(guī)律性．從圖中取一斜列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，…，第n個數(shù)記為an．若+++…+＝，則n的值為 　4041?。?br />
【分析】首先根據(jù)題意得出an的關(guān)系式，然后用“裂項法”將裂成2（），即可求出結(jié)果．
解：由題意得a1＝1，
a2＝3＝1+2，
a3＝6＝1+2+3，
a4＝10＝1+2+3+4，
…，
∴an＝，
∴＝2（），
∵+++…+＝，
∴＝
2×（1﹣+++...+）＝
2×（1﹣）＝

n+1＝4042
n＝4041．
故答案為：4041．
16．如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一動點，且∠BPC＝60°，PC交BD于點E．當點P運動到PB＝PC時，的值為　1　；隨著點P的運動，的最大值為　?。?br />
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)值求∠ADB＝30°，再根據(jù)PB＝PC，∠BPC＝60°推△BPC為等邊三角形，根據(jù)三線合一性質(zhì)求出最后比值；
（2）過點D作FC⊥BC交BD延長線于點F，過點P作PQ⊥BD交BD于點Q，根據(jù)∠BPC＝∠BFC＝60°證明點B、C、F、P四點共圓，再根據(jù)90°圓周角所對弦是直徑得知BF為⊙O的直徑，證△PQE∽△CDE推比例線段從而得知當PQ取最大值時，的值最大，最后利用三角函數(shù)求直徑從而得到的最大值．
【解答】（1）如圖所示，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
在?ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵PB＝PC，∠BPC＝60°，
∴△BPC為等邊三角形，
∴∠PBC＝60°，
∴∠PBD＝30°＝∠DBC，
∴PE＝CE，
∴＝1，
故答案為：1.
（2）如圖①所示，過點D作FC⊥BC交BD延長線于點F，過點P作PQ⊥BD交BD于點Q，
∵FC⊥BC，
∴∠FCB＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BFC＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴點B、C、F、P四點共圓，
∵∠FCB＝90°，
∴BF為⊙O的直徑，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠CDQ，
∵∠PEQ＝∠CED，
∴△PQE∽△CDE，
∴，
∴，
∴當PQ取最大值時，的值最大，
當點Q與點O重合時PQ最大，即PQ為⊙O半徑時，
在Rt△BFC中，sin∠BFC＝，
∴BF＝BC＝4，
∴⊙O半徑為2，即PQ的最大值是2，
∴．
故答案為：．


三、解答題（本題共8小題，共72分．解答應寫出必要的演算步驟，文字說明或證明過程）
17．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再利用特殊銳角的三角函數(shù)數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪得到a的值，繼而將a的值代入計算可得．
解：原式＝（﹣）×
＝×
＝，
當時，
原式＝．
18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F．
（1）求證：△BDE≌△CDF．
（2）當AD⊥BC，AE＝2，CF＝4時，求AC的長．

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC邊上的中線，得到BD＝CD，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6．
19．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象在第三象限交于點A（﹣3，﹣2），與y軸的正半軸交于點B，且OB＝4．
（1）求函數(shù)y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）將直線AB向下平移4個單位后得到直線l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范圍．

【分析】（1）把點A（﹣3，﹣2）代入反比例函數(shù)y＝，可得反比例函數(shù)解析式，把點A（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，可得一次函數(shù)解析式；
（2）求得平移后的直線解析式，然后與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得交點坐標，根據(jù)題意即可得到使y1＜y2成立的x的取值范圍．
解：（1）把A（﹣3，﹣2）代入，可得m＝﹣6，
∴反比例函數(shù)解析式為．
∵OB＝4，
∴b＝4，
把（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，
∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+4．
（2）依題意得，y1＝2x，解得，，
觀察圖象可知，使y1＜y2的x的取值范圍為：或．
20．為了解“永遠跟黨走”主題宣傳教育活動的效果，某校組織了黨史知識問卷測試，從中抽取部分答卷，統(tǒng)計整理得到不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖．
等級
成績/分
頻數(shù)
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90

D
80≤x＜85
4
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：m＝　3　，n＝　25　，扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的圓心角為 　72　度；
（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計該校2000名學生中達到優(yōu)秀等級的人數(shù)；
（3）已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【分析】（1）根據(jù)90≤x＜95的頻數(shù)和所占的百分比求出抽取的總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)乘以95≤x≤100所占的百分比求出m，再用總?cè)藬?shù)減去其他等級的人數(shù)，求出C等級的人數(shù)，然后除以總?cè)藬?shù)，求出n，用360°乘以“D”等級所占的百分比求出“D”等級的圓心角度數(shù)；
（2）由該?？?cè)藬?shù)乘以達到優(yōu)秀等級的人數(shù)所占的比例即可；
（3）畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到一男一女的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．
解：（1）抽取的總?cè)藬?shù)有：8÷40%＝20（人），
m＝20×15%＝3，
C等級的人數(shù)有：20﹣3﹣8﹣4＝5（人），
n%＝×100%＝25%，即n＝25，
扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的圓心角為360°×＝72°；
故答案為：3，25，72；

（2）2000×＝1100（人），
答：估計該校2000名學生中達到優(yōu)秀等級的人數(shù)有1100人；

（3）根據(jù)題意列表如下：

男1
男2
女
男1

男1男2
男1女
男2
男2男1

男2女
女
女男1
女男2

由上表可知，共有6種等可能的結(jié)果，符合條件的結(jié)果有4種，
則恰好抽到一男一女的概率是＝．
21．如圖，AB，AC切⊙O分別于點B，C，BD∥AC交⊙O于點D，連接CO并延長交BD于點E．
（1）求證：BE＝DE；
（2）若⊙O的半徑為13，tanA＝，求AB的長．

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到CO⊥AC，根據(jù)BD∥AC，得到CE⊥BD，根據(jù)垂徑定理證明結(jié)論；
（2）過點B作BF⊥AC于點F，連接OB，根據(jù)正切的定義用k表示出AB，根據(jù)勾股定理計算求出k，得到答案．
【解答】（1）證明：∵AC切⊙O于點C，
∴CO⊥AC，
∵BD∥AC，
∴CE⊥BD，
∴BE＝DE；
（2）解：過點B作BF⊥AC于點F，連接OB，
設AF＝5k，
∵tanA＝，
∴BF＝12k，
由勾股定理得：AB＝＝13k，
∵AB，AC切⊙O分別于點B，C，
∴AC＝AB＝13k，
∵BF⊥AC，EC⊥AC，CE⊥BD，
∴知四邊形BECF為矩形，
∴BE＝CF＝AC﹣AF＝8k，CE＝BF＝12k，
∴OE＝CE﹣OC＝12k﹣13，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即132＝（12k﹣13）2+（8k）2，
解得：k＝，
∴AB＝13k＝．

22．某公園有一個截面由拋物線和長方形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖所示，長方形的長為16米，寬為3米，拋物線的最高處C距地面7米．
（1）經(jīng)過討論，同學們得出如圖所示的三種建立平面直角坐標系的方案，請從中選擇一種求出拋物線的表達式；

（2）觀景拱橋下有兩根長為4.75米的對稱安置的立柱，求這兩根立柱的水平距離；
（3）現(xiàn)公園管理處打算，在觀景拱橋的下方限高3.5米水平線上，兩立柱間安裝一個長8米的矩形廣告牌EFMN，為安全起見，要求廣告牌的最高處與拱橋的橋面之間的距離MH不得小于0.35米，求矩形廣告牌的最大高度MF．

【分析】（1）根據(jù)坐標系的特點，選擇不同的函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）確定立柱的縱坐標，運用平移的思想求解即可；
（3）根據(jù)坐標系，確定長方形上面頂點到x軸的距離，根據(jù)題意確定高度即可．
解：（1）若選方案一，
依照題意C（0，0），A（﹣8，﹣4），
設拋物線的解析式為y＝ax2，
∴﹣4＝a×（﹣8）2，
∴a＝﹣，
∴，
若選方案二，可由方案一的拋物線向上平移4個單位長度得到，
∴方案二中的拋物線解析式為，
若選方案三，根據(jù)圖像看出，可有方案二中的解析式向左平移8個單位長度得到，
∴方案三拋物線解析式為，
（2）若選方案一，依題意可得，
∴x＝±6，
∴兩根立柱的水平距離為6﹣（﹣6）＝12（米）；
選方案二，根據(jù)方案一，得兩根立柱的坐標為（﹣6，﹣2.25）和（6，﹣2.25），
只需將兩個點的坐標向上平移4個單位長度即得到新坐標下的坐標，分別為（﹣6，1.75 ）和（ 6，1.75），
∴兩根立柱的水平距離為6﹣（﹣6 ）＝12（米）；
選方案三，根據(jù)方案二，得兩根立柱的坐標為（﹣6，1.75）和（ 6，1.75 ），
只需將兩個點的坐標向左平移8個單位長度即得到新坐標下的坐標，分別為（﹣14，1.75）和（﹣2，1.75 ），
∴兩根立柱的水平距離為﹣2﹣（﹣14）＝12（米）；
（3）若選方案一，當x＝4時，，即H的縱坐標為﹣1，
∴MF＝7﹣3.5﹣1﹣0.35＝2.15（米），
故矩形廣告牌的最大高度MF為2.15米；
選方案二，當x＝4時，y＝﹣x2+4＝3，即H的縱坐標為3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形廣告牌的最大高度MF為2.15米．
選方案三，當x＝4時，y＝﹣（x﹣8）2+4＝3，即H的縱坐標為3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形廣告牌的最大高度MF為2.15米．
23．【閱讀理解】
在一個三角形中，如果有兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”．根據(jù)這個定義，顯然α+β＜90°，則這個三角形的第三個角為180°﹣（α+β）＞90°，這就是說“亞直角三角形”是特殊的鈍角三角形．
【嘗試運用】
（1）若某三角形是“亞直角三角形”，且一個內(nèi)角為100°，請直接寫出它的兩個銳角的度數(shù)；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，點D在邊BC上，連接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亞直角三角形”，求線段AD的長；
【素養(yǎng)提升】
（3）如圖2，在鈍角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面積為42，求證：△ABC是“亞直角三角形”．

【分析】（1）根據(jù)方程組求出α，β即可．
（2）證明△ACD∽△BCA，推出，可得結(jié)論．
（3）過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D．利用三角形面積求出CD，再利用勾股定理求出BD，推出，再證明△BCD∽△CAD，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：由題意，，
解得，
∴它的兩個銳角的度數(shù)為10°，70°．

（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
又∵∠BAD≠∠DAC，
∴∠B+2∠BAD≠90°，
∵△ABD是“亞直角三角形”，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
在Rt△ACD中，．

（3）證明：過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D．

∵AB＝7，S△ABC＝42，
∴CD＝12，
在Rt△BCD中，
∵BC＝15，
∴BD＝＝＝9，
∴AD＝7+9＝16，
∴，，
∴，
又∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠A+∠ACB+∠BCD＝90°，
∴2∠A+∠ACB＝90°，
∴△ABC是“亞直角三角形”．
24．如圖1，已知拋物線y＝x2+mx與x軸正半軸交于點A，B（﹣m，0）為x軸上另一點，直線y＝﹣x交拋物線的對稱軸于點C，過點B作BM∥OC交過點C平行于x軸的直線于點M，D為拋物線的頂點．

（1）直接用含m的代數(shù)式表示點A，D的坐標；
（2）若點M恰好在該拋物線上，求四邊形BOCM的面積；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接DM，G為x軸上一點，H為拋物線上一動點，若以點A，G，H為頂點的三角形與△CDM相似，請直接寫出點H及其對應的點G的坐標．（每寫一組正確的結(jié)果得分，記滿分為止）
【分析】（1）令y＝0，x2+mx＝0，求解即可得到答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與待定系數(shù)法求解析式可得點M的縱坐標，然后由點的坐標與函數(shù)的關(guān)系可得問題的答案；
（3）由（2）得CM＝2，CD＝4，然后分三種情況進行討論可得答案．
解：（1）∵令y＝0，x2+mx＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣m，，
∴A（﹣m，0），
∵x＝﹣＝﹣，
∴y＝（﹣）2+m?（﹣）＝﹣，
∴；
（2）∵拋物線的對稱軸為，
∴，
∴，
∴點M的縱坐標為，
∵BM∥OC，
∴可設直線BM的解析式為．
∵，
∴，
∴，
∴直線BM的解析式為，
∴，
∴，即點M的橫坐標為，
∵點M在拋物線上，
∴，
又∵m≠0，
∴m＝﹣6．
∴C（3，﹣5），M（5，﹣5），
∴CM＝2．
∴S平行四邊形OBMC＝2×5＝10．
（3）由（2）可知，C（3，﹣5），M（5，﹣5），D（3，﹣9），A（6，0），
∴CM＝2，CD＝4，
∵△CDM為直角三角形，
①當∠AGH＝90°，＝時，
△AGH∽△MCD，
∴＝，
設G（x，0），
∴＝，
∴x1＝2，x2＝6（舍），
∴G（2，0），H（2，﹣8），
②時，即，
∴x1＝6（舍），x＝，
∴G（，0），H（，﹣），
③點G在O點左側(cè)，
，
∴x1＝﹣2，x2＝6（舍去），
∴G（﹣2，0），H（﹣2，16），
＝，
∴x1＝6（舍），x＝﹣，
∴G（﹣，0），H（﹣，）．