人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式隨堂練習(xí)題

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式隨堂練習(xí)題，共5頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
七　基本不等式(30分鐘　60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2021·長沙高一檢測)下列結(jié)論正確的是(　　)A．當(dāng)x>1時，＋≥2B．當(dāng)x≠0時，x＋的最小值是2C．當(dāng)x<時，4x－2＋的最小值是5D．設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝2，則＋的最小值是【解析】選D.A選項：當(dāng)x>1時，>1，＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立，但等號取不到，故＋>2，A選項錯誤；B選項：當(dāng)x>0時，x＋的最小值是2；當(dāng)x<0時，x＋的最大值是－2，B選項錯誤；C選項：當(dāng)x<時，4x－5<0，則4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝即x＝1時等號成立，C選項錯誤；D選項：當(dāng)x>0，y>0，＋＝··＝·≥·＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時等號成立，D選項正確．2．(2021·南京高一檢測)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是(　　)A．80元    B．120元    C．160元    D．240元【解析】選C.設(shè)長方體底面邊長分別為x，y，則y＝，所以容器總造價為z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20＋80，由基本不等式得，z＝20＋80≥160，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)酌鏋檫呴L為2的正方形時，總造價最低．3．(2021·沈陽高一檢測)若0<x<，則y＝x的最大值為(　　)A．1    B．    C．    D．【解析】選C.因為0<x<，所以y＝x＝＝≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)4x2＝1－4x2，即x＝時取等號，則y＝x的最大值為.4．(多選題)(2021·臺州高一檢測)已知正實數(shù)a，b滿足2a＋＋b＋－10＝0，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．2a＋b的最大值為5＋B．2a＋b的最大值為9C．2a＋b的最小值為5－D．2a＋b的最小值為1【解析】選BD.由題意，設(shè)2a＋b＝t(t>0)，則t＋＋－10＝0，即＋＝10－t，所以0<t<10，由基本不等式得，(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時，等號成立，所以(2a＋b)≥9，即t≥9，解得1≤t≤9，所以1≤2a＋b≤9，即2a＋b的最大值為9，最小值為1.二、填空題(每小題5分，共10分)5．若正實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．【解析】因為x2＋y2＋xy＝1，所以(x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－≤1，所以(x＋y)2≤，x＋y≤.答案：6．爬山是一種簡單有趣的野外運動，有益于身體健康，但要注意安全，準(zhǔn)備好必需物品，控制好速度．現(xiàn)有甲、乙兩人相約爬山，若甲上山的速度為v1，下山(原路返回)的速度為v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是(v1＋v2)(兩人途中不停歇)，則甲、乙兩人上下山所用時間之比為________；甲、乙兩人上下山所用時間之和最少的是________(填甲或乙).【解析】設(shè)上山路程為1，則甲上下山所用時間為＋＝，乙上下山所用時間為2·＝，所以甲、乙兩人上下山所用時間之比為＝.因為v1≠v2，所以>＝，<＝，所以>，即乙上下山所用時間之和最少．答案：　乙三、解答題(每小題10分，共30分)7．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；(2)已知－1<x<，求y＝(1＋x)(1－2x)的最大值．【解析】(1)因為x>0，所以x＋≥4，所以y＝2－x－＝2－≤2－4＝－2，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2>0，函數(shù)y＝2－x－的最大值為－2.(2)因為－1<x<，所以1＋x>0，1－2x>0，所以y＝(1＋x)(1－2x)＝(1－2x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)2＋2x＝1－2x，即x＝－∈時，y＝(1＋x)(1－2x)的最大值為.8．已知a>0，b>0.(1)求證：a2＋3b2≥2b(a＋b)；(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．【解析】(1)因為a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，所以a2＋3b2≥2b(a＋b).(2)因為a>0，b>0，所以2ab＝a＋b≥2，即2ab≥2，所以≥1，所以ab≥1.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，此時ab取最小值1.9．揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°(如圖)，考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9 m2，且高度不低于 m．記防洪堤橫斷面的腰長為x(m)，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y(m).(1)用x表示y，并指出x的取值范圍；(2)防洪堤的腰長x為多少米時，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即斷面的外周長最小)？求此時外周長的值．【解析】(1)9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，由，得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋，(2≤x<6).(2)y＝＋≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2時等號成立．所以外周長的最小值為6 m，此時腰長為2 m.