高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用課后作業(yè)題

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用課后作業(yè)題，共7頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
課后素養(yǎng)落實(二)　空間向量的數(shù)量積運算(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)下列各命題中，正確的有(　　)A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2aABC　[∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正確；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正確；a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝b·a＋c·a＝(b＋c)·a，故C正確；a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正確．]2.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點，則·＝(　　)A．　　　　 B．C．   D．B　[由題意得＝，所以·＝·＝×1×1×cos 60°＝.故選B．]3.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列計算結(jié)果一定不等于0的是(　　)A．·B．·C．·D．·D　[根據(jù)數(shù)量積的幾何意義知，所求的問題即為兩個向量所在的直線一定不垂直．當該長方體各棱長都相等，即為正方體時，AD1⊥B1C，故A不符合；同理，正方體中，易證AC⊥平面BDD1，從而有AC⊥BD1，故B不符合；事實上，對任意長方體，都有DC⊥平面AD1，從而DC⊥AD1，故C不符合；對于D項，連接CD1(圖略)，易證△BCD1為直角三角形，其中∠BCD1＝90°，所以∠CBD1≠90°，而BC∥B1C1，即異面直線BD1與B1C1所成的角即為∠CBD1，所以異面直線BD1與B1C1不垂直，即·一定不為0.]4.如圖，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　)A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．D　[因為＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－，所以||＝.故選D．]5．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，〈，〉等于(　　)A．60° B．90°  C．135° D．120°D　[＝＋，||＝a，＝＋，||＝a.∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2.∴cos〈，〉＝＝－.∴〈，〉＝120°.]二、填空題6．已知空間四邊形ABCD每條邊長和對角線長都等于1，點E，F分別是CD，AD的中點，則·＝________.－　[∵∥，〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.又∵＝，∴·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－.]7．已知線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，線段AC⊥α，若AB＝a，BD＝b，AC＝c，則||＝________.　[||2＝|＋－|2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋c2＋2abcos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab，∴||＝.]8．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．　[∵＝－，＝＋，∴·＝·＋·－·－·＝0＋1－0－2×1×＝2.易知||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.]三、解答題9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)＝a，＝b，＝c.(1)試用a，b，c表示出向量；(2)求BM的長．[解]　(1)∵M是PC的中點，∴＝(＋)＝[＋(－)]＝[b＋(c－a)]＝－a＋b＋c.(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1，由于＝(－a＋b＋c)，||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝.∴||＝，∴BM的長為.10.如圖，正四棱錐P-ABCD的各棱長都為a.(1)用向量法證明BD⊥PC；(2)求|＋|的值．[解]　(1)證明：∵＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴⊥，∴BD⊥PC．(2)∵＋＝＋＋，∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.1．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題正確的有(　　)A．(＋＋)2＝32B．·(－)＝0C．與的夾角為60°D．正方體的體積為|··|AB　[如圖，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；與的夾角是與夾角的補角，而與的夾角為60°，故與的夾角為120°；正方體的體積為||||||.故選AB．]2．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1.則a與b所成的角是(　　)A．30° B．45°  C．60° D．90°C　[∵·＝(＋＋)·＝2＝1，∴cos〈，〉＝＝＝.∴AB與CD所成的角為60°，即異面直線a，b所成的角為60°.]3.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點，則·＝________，與所成角的大小為________．1　60°　[法一：連接A1D，則∠PA1D就是與所成角．連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即與所成角的大小為60°.因此·＝××cos 60°＝1.法二：根據(jù)向量的線性運算可得·＝(＋)·＝2＝1.由題意可得PA1＝B1C＝，則××cos〈，〉＝1，從而〈，〉＝60°.]4．四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱長均為1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，則點B與點D1之間的距離為________．　[∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱長均為1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，∴＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，∴||＝.∴點B與點D1兩點間的距離為.]如圖，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點．(1)求證：CE ⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．[解]　(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D．(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.